BEST CO-APPROXIMATION IN CONE METRI

BEST CO-APPROXIMATION IN CONE METRIC SPACES
T. Sistani1, M. Abrishami-Moghaddam2 §
1Department of Mathematics
Kerman Branch
Islamic Azad University
Kerman, IRAN
2Department of Mathematics
Birjand Branch
Islamic Azad University
Birjand, IRAN
AMS Subject Classification: 41A65
KeyWords: cone metric spaces, best co-approximation, co-Chebyshev subset
1. Introduction and Preliminaries
Another kind of Approximation, called best co-approximation, was introduced
by Franchettei and Furi in 1972 [1]. Some results on best co-approximation
theory in metric and linear normed spaces have been obtained by P.L. Papini,
I. Singer, T.D. Narang, and others (see [1], [4], [5], [6]). Cone metric spaces
was introduced by Huang and Zhang in 2007 [2]; where the set of real numbers
is replaced by an ordered Banach space. They introduced the basic definition
and discuss some properties of convergence of sequences in cone metric spaces.
Recently, Sh. Rezapour has a research work on best approximation in cone
metric spaces [7]. In this paper we want to investigate the concept of best
co-approximation in cone metric spaces.
Received: September 8, 2014
c 2015 Academic Publications, Ltd.
url: www.acadpubl.eu
§Correspondence author
486 T. Sistani, M. Abrishami-Moghaddam
Let E be a real Banach space and P a subset of E. P is called a cone if:
(i) P is closed, non-empty and P 6= {0},
(ii) ax + by ∈ P for all x, y ∈ P and all non-negative real numbers a, b,
(iii) P ∩ (−P) = {0}.
For a given cone P ⊆ E, we can define a partial ordering ≤P with respect
to P by x ≤P y if and only if y − x ∈ P. In what follows we omit the index P
and write everywhere ≤ instead of ≤P . x < y will stand for x ≤ y and x 6= y,
while x ≪ y will stand for y − x ∈ intP, where intP denotes the interior of P.
In the following we always suppose that E is a Banach space, P is a cone
in E with intP 6= ∅ and ≤ is partial ordering with respect to P.
Definition 1. [2] Let X be a non-empty set. Suppose the mapping
d : X ×X → E satisfies: (d1) 0 ≤ d(x, y) for all x, y ∈ X and d(x, y) = 0 if and
only if x = y,
(d2) d(x, y) = d(y, x) for all x, y ∈ X,
(d3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) for all x, y, z ∈ X.
Then d is called a cone metric on X, and (X, d) is called a cone metric
space.
This definition is more general than that of a metric space.
Example 2. [2] Let E = R2, P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2,
X = R2 and suppose that di : X ×X → E, i = 1, 2 where defined by d1(x, y) =
(|x − y|, α|x − y|) and d2(x, y) = d2((x1, x2), (y1, y2)) = (|x1 − y1| + |x2 −
y2|, αmax(|x1 − y1|, |x2 − y2|)), where α ≥ 0 is a constant. Then (X, di), i =
1, 2, are cone metric spaces.
Example 3. [7] Let E = ℓ1, P = {{xn}n2N ∈ E : xn ≥ 0, for all n},
(X, ρ) a metric space and d : X × X → E defined by d(x, y) = {(x,y)
2n }n2N.
Then (X, d) is a cone metric space.
This example shows that the category of cone metric spaces is bigger than
the metric spaces.
Definition 4. [2] Let (X, d) be a cone metric space, x ∈ X and {xn}n2N
a sequence in X. Then {xn}n2N converges to x whenever for every c ∈ E with
0 ≪ c there is a natural number N such that d(xn, x) ≪ c for all n ∈ N. We
denote this by limn!1 xn = x or xn → x.
BEST CO-APPROXIMATION IN CONE METRIC SPACES 487
Definition 5. [7] Let (X, d) be a cone metric space and B ⊆ X. If every
sequence in B has a convergent subsequence to an element of B, then B is
called a sequentially compact subset of X.
Definition 6. Let (X, d) be a cone metric space, G a non-empty sub-
set of X and x ∈ X. We say that g0 ∈G is a best co-approximation of x
whenever d(g, g0) ≤ d(x, g) for all g ∈ G. Then, we denote the set of all best
co-approximations of x in G by RG(x). We say that G is a co-Chebyshev subset
of X if RG(x) is a singleton subset of G for all x ∈ X. Also, we say that G is a
quasi co-Chebyshev subset of X if RG(x) is sequentially compact subset of X
for all x ∈ X.
Definition 7. Let (X, d) be a cone metric linear space i.e. X is a real
vector space and (X, d) a cone metric space. Also let G be a non-empty subset
of X. We say that G is a pseudo co-Chebyshev subset of X if there is no x ∈ X
such that RG(x) contains infinitely many linearly independent elements.
Definition 8. Let (X, d) be a cone metric linear space. An element
x ∈ X is said to be orthogonal to another element y ∈ X, and write x ⊥P y,
if d(x, 0) ≤ d(x, αy) or d(x, αy) − d(x, 0) ∈ P for all scalar α. x is said to be
orthogonal to a subset G of X (x ⊥P G) if x ⊥P y for all y ∈ G.
2. Main Results
Theorem 9. If G is a linear subspace of a cone metric space (X, d) and
g0 ∈ G, then g0 ∈ RG(x) if G ⊥P (x − g0).
Proof. If G ⊥P (x − g0), then d(g, 0) ≤ d(g, α(x − g0)) for all g ∈ G and
all α, since G is linear subspace so d(αg0, g) ≤ d(αx, g), when α = 1 we have
g0 ∈ RG(x).
Corollary 10. Let G be a linear subspace of cone metric linear space
(X, d), then RG(x) = ∅ for every x ∈ XG, if there exists no z ∈ X{0} such
that G ⊥P z.
Theorem 11. Let (X, d) be a cone metric space, G a nonempty subset of
X, g0 ∈ G and x ∈ X.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ประมาณร่วมที่ดีที่สุดในพื้นที่วัดโคนT. Sistani1, § M. Abrishami-Moghaddam21Department คณิตศาสตร์สาขาเคอร์แมนมหาวิทยาลัย Azad อิสลามเคอร์แมน อิหร่าน2Department คณิตศาสตร์สาขาบีร์จันด์มหาวิทยาลัย Azad อิสลามบีร์จันด์ อิหร่านจำแนกเรื่อง AMS: 41A65คำสำคัญ: กรวยวัดพื้นที่ ประมาณร่วมที่ดีที่สุด ชุดย่อย co Chebyshev1. แนะนำและขั้นชนิดอื่นประมาณ เรียกว่าประมาณร่วมที่ดีที่สุด แนะนำโดย Franchettei และ Furi ในปี 1972 [1] ผลลัพธ์บางอย่างบนประมาณร่วมที่ดีที่สุดทฤษฎีการวัดและพื้นที่ normed เชิงเส้นได้ถูกรับ โดยบริษัทพีแอล PapiniI. นักร้อง T.D. Narang และคนอื่น ๆ (ดู [1], [4], [5], [6]) พื้นที่วัดโคนแนะนำ โดยหวงและเตียวใน 2007 [2]; ที่ชุดของจำนวนจริงถูกแทนที่ ด้วยพื้นที่ Banach ที่สั่ง พวกเขานำคำนิยามพื้นฐานสนทนาพูดคุยบางคุณสมบัติของการลู่เข้าของลำดับในกรวยวัดพื้นที่เมื่อเร็ว ๆ นี้ Rezapour ถึงมีงานวิจัยที่ทำงานในประมาณที่ดีที่สุดในกรวยวัดพื้นที่ [7] ในเอกสารนี้ เราต้องการตรวจสอบแนวคิดที่ดีที่สุดประมาณร่วมในกรวยวัดพื้นที่รับ: 8 กันยายน 2014 ซี 2015 วิชาการสื่อสิ่งพิมพ์ จำกัดurl: www.acadpubl.euผู้เขียน §Correspondence486 T. Sistani, M. Abrishami-Moghaddamให้ E เป็นพื้นที่ Banach จริงและ P ชุดย่อยของ E. P เรียกว่ากรวยถ้า:(i) P เป็นปิด ไม่ว่าง และ 6 P = { 0 }(ii) ax + ∈ P สำหรับทุก x, y ∈ P และจำนวนจริงไม่เป็นลบทั้งหมดโดย a, b(iii) ∩ P (−P) = { 0 }สำหรับ⊆เป็นกรวยกำหนด P E เราสามารถกำหนดเป็น ≤P สั่งซื้อบางส่วน ด้วยความเคารพเพื่อ P โดย x ≤P y ถ้าหาก y − x ∈ P. ในสิ่งต่อไปนี้เราไม่ใช้ดัชนี Pและเขียนทุกที่≤แทน ≤P x < y จะยืนสำหรับ x ≤ y และ x 6 = yในขณะที่ x ≪ y ถึง y − x ∈ intP ที่ intP หมายถึงภายในของ P.ในต่อไปนี้ เราจะสมมติว่า E เป็นพื้นที่ Banach, P คือ กรวยใน E กับ intP 6 =∅และ≤บางส่วนสั่งซื้อเกี่ยวกับปนิยามที่ 1 [2] X ให้ตั้งค่าว่างได้ สมมติว่า การแม็ปd: ตอบสนอง X × X → E: (d1) d การ 0 ≤ (x, y) สำหรับทุก x, y ∈ X และ d (x, y) = 0 ถ้า และเฉพาะเมื่อ x = y(d2) d (x, y) = d (y, x) สำหรับทุก x, y ∈ X(d3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) สำหรับทุก x, y, z ∈ Xแล้ว d เรียกว่าเมตริกกรวย บน X และ (X, d) เรียกว่าการวัดโคนพื้นที่คำนิยามนี้เป็นทั่วไปมากขึ้นกว่าของพื้นที่วัดตัวอย่างที่ 2 [2] ให้ E = R2, P = {(x, y) ∈ E: x, y ≥ 0 } ⊂ R2X = R2 และสมมติว่า di: X × X → E ฉัน = 1, 2 ซึ่งกำหนด โดย d1 (x, y) =(|x − y|, α|x − y|) และ d2 (x, y) = d2 ((x1, x2), (y1, y2)) = (|x1 − y1| |x2 − +y2|, αmax (|x1 − y1|, |x2 − y2|)), ที่α≥ 0 เป็นค่าคง แล้ว di), (X ฉัน =1, 2 กรวยวัดช่องว่างตัวอย่างที่ 3 [7] ให้ E = ℓ1, P = { {xn } n2N ∈ E: xn ≥ 0 สำหรับทุก n },(X ρ) พื้นที่เมตริกและ d: X × X → E กำหนด โดย d (x, y) = {(x, y)n2N 2n }จากนั้น (X, d) กรวยวัดพื้นที่ตัวอย่างนี้แสดงว่า ประเภทของพื้นที่เมตริกโคนมีขนาดใหญ่กว่าพื้นที่ที่วัดนิยามที่ 4 [2] (X, d) ให้เป็นกรวยวัดพื้นที่ x ∈ X และ {xn } n2Nลำดับใน X จากนั้น n2N {xn } แร็คไปเมื่อใดก็ตามสำหรับทุก∈ c E กับ x≪ 0 c มีเป็นจำนวนธรรมชาติ N เช่น≪ d (xn, x) ที่ c สำหรับทุก n ∈ N. เราชีพนี้ limn โดย! 1 xn = x หรือ xn → xประมาณร่วมที่ดีที่สุดในพื้นที่วัดกรวย 487นิยาม 5 [7] ให้ (X, d) จะเป็นกรวยวัดพื้นที่และ B ⊆ X หากทุกลำดับใน B มี subsequence เป็นองค์กรเพื่อองค์ประกอบของ B, B เป็นเรียกว่าเซตย่อยของ X กะทัดรัดตามลำดับนิยามที่ 6 ให้ (X, d) จะวัดพื้นที่กรวย G ย่อยไม่ว่าง -ตั้งค่าของ X และ x ∈ X เราบอกว่า ∈G g0 ประมาณร่วมที่ดีที่สุดของ xเมื่อ d (g, g0) ≤ d (x, g) สำหรับทั้งหมด∈ g กรัม จากนั้น เราสามารถแสดงชุดของดีทั้งหมดapproximations ร่วมของ x ใน G โดย RG(x) เราบอกว่า G เป็นเซตย่อย co Chebyshevของ X ถ้า RG(x) เดี่ยวเซตย่อยของ G สำหรับ x ∈ ทั้งหมด X นอกจากนี้ เราบอกว่า G เป็นตัวนคน co-Chebyshev เซตย่อยของ X ถ้า RG(x) คือ กะทัดรัดตามลำดับย่อยของ Xสำหรับ x ∈ ทั้งหมด Xคำจำกัดความของ 7 ให้ (X, d) เป็นการวัดกรวยเชิงพื้นที่เช่น X เป็นจริงเวกเตอร์และ (X, d) กรวยวัดพื้นที่ ให้ G เป็นชุดย่อยไม่ว่างเปล่าของ X เราบอกว่า G เป็น co-Chebyshev หลอกเซตย่อยของ X ถ้ามีไม่มี x ∈ Xเช่นที่ RG(x) ประกอบด้วยองค์ประกอบอิสระเชิงเส้นหลายอย่างมากมายนิยาม 8 ให้ (X, d) มีกรวยวัดเส้นตรงพื้นที่ว่าง องค์ประกอบx ∈ X บอกว่า จะได้มุมฉากกับองค์ประกอบอื่น y ∈ X และ x ⊥P y เขียนถ้า d (x, 0) ≤ d (x, αy) หรือ− d (x, αy) d (x, 0) ∈ P สำหรับสเกลาทั้งα. x กล่าวได้ว่ามุมฉากย่อย G X (x ⊥P G) ถ้า x y ⊥P สำหรับทุก y ∈กรัม2 ผลลัพธ์หลักทฤษฎีบทที่ 9 ถ้า G เป็น subspace ที่เชิงพื้นที่เมตริกโคน (X, d) และg0 ∈ G แล้ว g0 ∈ RG(x) ถ้า G ⊥P (x − g0)หลักฐาน ถ้า G ⊥P (x − g0), จากนั้น d (g, 0) ≤ d (g α (x − g0)) สำหรับทุก g ∈ G และทั้งหมดα G เป็น เชิงเส้น subspace ดังนั้น d (αg0, g) ≤ d (αx, g), เมื่อα = 1 เรามีg0 ∈ RG(x)Corollary 10 ให้ G เป็น subspace ที่เชิงเส้นของกรวยวัดพื้นที่เชิงเส้น(X, d), แล้ว RG(x) =∅สำหรับทุก x ∈ XG ถ้ามีไม่มี z ∈ X { 0 } ดังกล่าวที่ z ⊥P Gทฤษฎีบทที่ 11 ให้ (X, d) จะวัดพื้นที่กรวย G nonempty ชุดย่อยของX, g0 ∈ G และ x ∈ X

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

BEST CO-ประมาณกรวยพื้นที่วัด
ตัน Sistani1 เมตร Abrishami-Moghaddam2 §
1 ภาควิชาคณิตศาสตร์
เคอร์แมนสาขา
Azad อิสลามมหาวิทยาลัย
เคอร์แมน, อิหร่าน
2 ภาควิชาคณิตศาสตร์
Birjand สาขา
Azad อิสลามมหาวิทยาลัย
Birjand อิหร่าน
AMS เรื่องการจัดประเภท: 41A65
คำสำคัญ: กรวยพื้นที่วัดที่ดีที่สุดร่วมประมาณร่วมเซฟกลุ่มย่อย
1 บทนำและรอบคัดเลือกโซน
อีกชนิดหนึ่งของการประมาณที่เรียกว่าดีที่สุดร่วมประมาณได้รับการแนะนำ
โดย Franchettei และ Furi ในปี 1972 [1] ผลบางอย่างเกี่ยวกับผู้ร่วมประมาณการที่ดีที่สุด
ทฤษฎีในพื้นที่ตัวชี้วัดและเกณฑ์การเชิงเส้นได้รับการได้รับโดย PL Papini,
I. นักร้อง TD Narang และอื่น ๆ (ดู [1] [4] [5] [6]) กรวยพื้นที่วัด
เป็นที่รู้จักโดยหวางเหวยในปี 2007 [2]; ที่ชุดของตัวเลขจริง
จะถูกแทนที่ด้วยพื้นที่นาคสั่งซื้อ พวกเขาแนะนำให้รู้จักความหมายพื้นฐาน
และหารือเกี่ยวกับคุณสมบัติของการบรรจบกันของลำดับในพื้นที่วัดบางกรวย.
เมื่อเร็ว ๆ นี้ Sh Rezapour มีงานวิจัยเกี่ยวกับการประมาณการที่ดีที่สุดในกรวย
พื้นที่วัด [7] ในบทความนี้เราต้องการตรวจสอบแนวคิดของการที่ดีที่สุด
ร่วมประมาณในพื้นที่วัดกรวย.
ที่ได้รับ: 8 กันยายน 2014
C 2015 วิชาการพิมพ์ จำกัด
URL: www.acadpubl.eu
§Correspondenceเขียน
486 ตัน Sistani เมตร Abrishami -Moghaddam
ให้ E จะเป็นพื้นที่ Banach จริงและ P เป็นส่วนหนึ่งของอีพีเรียกว่ากรวยหาก:
(i) P จะปิดไม่ว่างเปล่าและ P 6 = {0}
(ii) ขวาน + โดย∈ P สำหรับ ทั้งหมด x, y ∈ P และทุกตัวเลขที่ไม่ใช่เชิงลบจริง A, B,
(iii) P ∩ (-P) = {0}.
สำหรับให้กรวย P ⊆ E เราสามารถกำหนด≤Pสั่งซื้อบางส่วนที่เกี่ยวกับ
การ P โดย x ≤P Y และถ้าหาก Y - x ∈พีในสิ่งต่อไปนี้เราละเว้นดัชนี P
และเขียนทุก≤แทน≤P X <Y จะยืน x ≤ Y และ x 6 = Y,
ในขณะที่ x « Y จะยืน Y - X ∈ INTP ที่ INTP หมายถึงการตกแต่งภายในของพี
ในต่อไปนี้เรามักจะคิดว่า E เป็นพื้นที่ Banach, P เป็นรูปกรวย
ใน E กับ INTP 6 = ∅และ≤จะสั่งซื้อบางส่วนที่เกี่ยวกับพี
นิยาม 1. [2] ให้ X เป็นชุดที่ไม่ว่างเปล่า สมมติว่าการทำแผนที่
D: น่าพอใจ X × X → E: (D1) 0 ≤ d (x, y) สำหรับทุก x, y ∈ X และ d (x, y) = 0 ถ้าและ
เพียงถ้า X = Y,
(D2) d (x, y) = D (y, x) สำหรับทุก x, y ∈เอ็กซ์
(D3) d (x, y) ≤ d (x, z) + D (Z, Y) สำหรับทุก x, y, Z ∈เอ็กซ์
จากนั้นจะเรียกว่า D เมตริกกรวยบน X และ (X, D) เรียกว่ากรวยเมตริก
พื้นที่.
คำนิยามนี้เป็นทั่วไปมากขึ้นกว่าที่ของพื้นที่ตัวชี้วัด.
ตัวอย่างที่ 2 [2] ขอ E = R2, P = {(x, y) ∈ E: x, y ≥ 0} ⊂ R2,
x = R2 และสมมติว่า di: x × x → E, i = 1, 2 ที่กำหนดโดย D1 (x, y) =
( | x - Y |, α | x - Y |) และ D2 (x, y) = D2 ((X1, X2), (Y1, Y2)) = (| X1 - Y1 | + | X2 -
Y2 |, αmax (| X1 - Y1, | | X2 - Y2 |)) ซึ่งα≥ 0 เป็นค่าคงที่ จากนั้น (x, di) i =
1, 2, ช่องว่างกรวยเมตริก.
ตัวอย่าง 3. [7] ขอ E = ℓ1, P = {{xn} n2N ∈ E: Xn ≥ 0, ทั้งหมด n}
(X , ρ) พื้นที่ตัวชี้วัดและ D: {(x, y) x × x → E กำหนดโดย d (x, y) =
2n}. n2N
. แล้ว (x, D) เป็นรูปกรวยพื้นที่ตัวชี้วัด
ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่า หมวดหมู่ของพื้นที่วัดกรวยมีขนาดใหญ่กว่า
พื้นที่เมตริก.
นิยาม 4. [2] ให้ (x, D) เป็นรูปกรวยพื้นที่เมตริก x ∈ {x และ xn} n2N
ลำดับเอ็กซ์จากนั้น {xn} ลู่ n2N ไป x เมื่อใดก็ตามที่ทุกค∈ E กับ
0 « C มีจำนวนธรรมชาติไม่มีข้อความดังกล่าวว่า D (xn, x) « C สำหรับ n ∈ N. ทั้งหมดเรา
หมายถึงนี้โดยการบรรยาย 1 xn = x หรือ Xn → x.
ที่ดีที่สุด CO-ประมาณกรวยพื้นที่วัด 487
นิยาม 5. [7] ขอ (X, D) จะเป็นตัวชี้วัดเอ็กซ์กรวยพื้นที่และ B ⊆หากทุก
ลำดับ B มี subsequence บรรจบกับองค์ประกอบของ B แล้ว B จะ
เรียกว่า กลุ่มย่อยที่มีขนาดกะทัดรัดตามลำดับของเอ็กซ์
นิยามปี 6 (x, D) เป็นรูปกรวยพื้นที่เมตริก G ย่อยที่ไม่ว่างเปล่า
ชุดของ x และ x ∈เอ็กซ์เรากล่าวว่า G0 ∈Gเป็นที่ดีที่สุดร่วมประมาณของ x
เมื่อใดก็ตามที่ D (G, G0) ≤ d (x, g) สำหรับทุก∈ G กรัมจากนั้นเราจะแสดงว่าชุดทั้งหมดที่ดีที่สุด
ร่วมประมาณของ x ใน G โดย RG (x) เราบอกว่า G เป็นกลุ่มย่อยร่วมเซฟ
ของ X ถ้า RG (x) เป็นส่วนหนึ่งเดี่ยวของ G สำหรับทุก x ∈เอ็กซ์นอกจากนี้เรายังบอกว่า G เป็น
เสมือนกลุ่มย่อยร่วมเซฟของ X ถ้า RG (x) คือ กลุ่มย่อยที่มีขนาดกะทัดรัดตามลำดับของ x
สำหรับทุก x ∈เอ็กซ์
นิยาม 7. Let (x, D) จะเป็นตัวชี้วัดกรวยพื้นที่เชิงเส้นเช่น x เป็นจริง
ปริภูมิเวกเตอร์และ (x, D) กรวยพื้นที่ตัวชี้วัด ยังช่วยให้ G เป็นกลุ่มย่อยที่ไม่ว่างเปล่า
ของ X. เรากล่าวว่า G เป็นกลุ่มย่อยหลอกร่วมเซฟของ X ถ้าไม่มี x ∈ X
ดังกล่าวว่า RG (x) มีองค์ประกอบ linearly อิสระหลายอย่างมากมาย.
นิยาม 8. Let '( X, D) จะเป็นตัวชี้วัดกรวยพื้นที่เชิงเส้น องค์ประกอบ
x ∈ X กล่าวจะตั้งฉากกับอีกหนึ่งองค์ประกอบ Y ∈ X และเขียน x ⊥P Y,
ถ้า d (x, 0) ≤ d (x, αy) หรือ D (x, αy) - D (x, 0) ∈ P สำหรับทุกαเกลา X กล่าวจะ
ตั้งฉากกับส่วนย่อยของ G X (x ⊥PG) ถ้า x ⊥P Y Y สำหรับทุก∈กรัม
2 ผลการค้นหาหลัก
ทฤษฏี 9. หาก G เป็นสเปซเชิงเส้นของรูปกรวยพื้นที่ตัวชี้วัด (X, D) และ
G0 ∈ G จากนั้น G0 ∈ RG (x) ถ้า G ⊥P (x - G0).
หลักฐาน หาก G ⊥P (x - G0) แล้ว D (g, 0) ≤ D (G, α (x - G0)) สำหรับทุก∈ G G และ
αทั้งหมดตั้งแต่ G เป็นเชิงเส้นสเปซเพื่อ D (αg0, กรัม) ≤ D (αx, g) เมื่อα = 1 เรามี
G0 ∈ RG (x).
ควันหลง 10. ให้ g เป็นสเปซเชิงเส้นของรูปกรวยพื้นที่เชิงเส้นตัวชี้วัด
(x, D) แล้ว RG (x) = ∅สำหรับทุก x ∈ x G, ถ้ามีไม่มี Z ∈ x {0} เช่น
ว่า G ⊥P Z.
ทฤษฎีบท 11. Let (x, D) เป็นรูปกรวยพื้นที่เมตริก G เซตย่อยว่างของ
x, G0 ∈ G และ x ∈เอ็กซ์