In summary, mathematical truth and

In summary, mathematical truth and proof rest on deduction and logic. But logic irself lacks certain foundations. It too rests on irreducible assumptions. Thus the dependence on logical deduction increases the set of assumptions on which mathematical truth rests, and these cannot be neutralized by the ‘if-thenist’ strategy.
A further presumption of the absolutist view is that mathematics is fundamentally free from error. For inconsistency and absolutism are clearly incompatible. But this cannot be demonstrated. Mathematics consists of theories (e.g., group theory, categoly theory) which are studied within mathematical systems, based on sets of assumptions (axioms). To establish that mathematical systems are safe (i.e., consistent), for any but the simplest systems we are forced to expand the set of assumption of the system (Godel’s Second Incompleteness Theorem, 1931 ). We have therefore to assume the consistency of a stronger system to demonstrate that of a weaker. We cannot therefore know that any but the most trivial mathematical systems are secure, and the possibility of error and inconsistency must always remain. Belief in the safety of mathematics must be based either on empirical grounds (no contradictions have yes been found in our current mathematical systems) or on faith, neither providing the certain that absolutism requires.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในสรุป ความจริงทางคณิตศาสตร์และหลักฐานวางตัวบนหักและตรรกะ แต่ตรรกะ irself ขาดรากฐานบางอย่าง มันเกินไปวางอยู่บนสมมติฐานอย่างต่ำ จึง พึ่งหักตรรกะเพิ่มชุดของสมมติฐานซึ่งความจริงทางคณิตศาสตร์อยู่ และเหล่านี้ไม่สามารถ neutralized โดยกลยุทธ์ 'ถ้า-thenist'
ข้อสันนิษฐานเพิ่มเติมของ absolutist ได้ว่า คณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานปราศจากข้อผิดพลาด อันทรงภูมิธรรมและไม่สอดคล้องกันอย่างชัดเจน แต่นี้ไม่แสดง คณิตศาสตร์ประกอบด้วยทฤษฎี (เช่น กลุ่มทฤษฎี ทฤษฎี categoly) ซึ่งได้ศึกษาในระบบทางคณิตศาสตร์ ตามชุดของสมมติฐาน (สัจพจน์) เพื่อกำหนดว่า ระบบคณิตศาสตร์มีความปลอดภัย (เช่น สอดคล้องกัน), ใด ๆ แต่ระบบที่ง่ายที่สุดที่เราถูกบังคับให้ขยายชุดของสมมติฐานของระบบ (ของ Godel สองเกอเดลทฤษฎีบท 1931) เรามีจึงถือเอาความสอดคล้องของระบบที่แข็งแกร่งแสดงให้เห็นถึงความแข็งแกร่งของ เราจึงไม่รู้ว่า มีแต่ระบบทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เล็กน้อยมีความปลอดภัย และความเป็นไปได้ของข้อผิดพลาดและความไม่สอดคล้องต้องอยู่เสมอ ต้องใช้ความเชื่อในความปลอดภัยของคณิตศาสตร์ ในเหตุผลประจักษ์ (ฮฺที่ไม่ใช่พบในระบบทางคณิตศาสตร์ของเราปัจจุบัน) หรือในความเชื่อ ไม่ให้บางอันทรงภูมิธรรมที่ต้องการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในการสรุปความจริงทางคณิตศาสตร์และส่วนที่เหลือหลักฐานในการหักและตรรกะ แต่ตรรกะ irself ขาดรากฐานบางอย่าง มันก็วางอยู่บนสมมติฐานที่ลดลง ดังนั้นการพึ่งพาการหักตรรกะเพิ่มชุดของสมมติฐานที่ความจริงทางคณิตศาสตร์อยู่และสิ่งเหล่านี้ไม่สามารถทำให้เป็นกลางโดย 'ถ้า-thenist กลยุทธ์
ข้อสันนิษฐานต่อไปของมุมมองที่เป็นสมบูรณาญาว่าคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานฟรีจากข้อผิดพลาด สำหรับความไม่ลงรอยกันและสมบูรณาญาสิทธิราชย์อย่างชัดเจนเข้ากันไม่ได้ แต่นี้ไม่สามารถแสดงให้เห็นถึง คณิตศาสตร์ประกอบด้วยทฤษฎี (เช่นทฤษฎีกลุ่มทฤษฎี categoly) ซึ่งได้มีการศึกษาในระบบทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับชุดของสมมติฐาน (หลักการ) การสร้างที่ระบบทางคณิตศาสตร์ที่มีความปลอดภัย (เช่นสอดคล้อง) สำหรับใด ๆ แต่ระบบที่ง่ายที่สุดที่เราถูกบังคับให้ขยายชุดของสมมติฐานของระบบ (เกอเดลที่สองขาดทฤษฎีบท 1931) ดังนั้นเราจึงต้องถือว่าความสอดคล้องของระบบที่แข็งแกร่งแสดงให้เห็นว่าการปรับตัวลดลง เราไม่สามารถจึงรู้ว่าใด ๆ แต่ระบบทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจมากที่สุดคือการรักษาความปลอดภัยและความเป็นไปได้ของข้อผิดพลาดและไม่สอดคล้องกันจะต้องยังคงอยู่เสมอ ความเชื่อในความปลอดภัยของคณิตศาสตร์จะต้องขึ้นทั้งในบริเวณเชิงประจักษ์ (ไม่มีความขัดแย้งได้ใช่ถูกพบในระบบทางคณิตศาสตร์ของเราในปัจจุบัน) หรือบนความเชื่อที่ไม่ให้บางอย่างที่ต้องใช้สมบูรณาญาสิทธิราชย์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กล่าวโดยสรุป ความจริงทางคณิตศาสตร์และหลักฐานไปหักและตรรกะ แต่เหตุผล irself ขาดบางอย่างพื้นฐาน มันวางอยู่บนสมมติฐานที่ลด . ดังนั้น การพึ่งพาการหักตรรกะเพิ่มชุดของสมมติฐานที่ความจริงทางคณิตศาสตร์อยู่ และเหล่านี้ไม่สามารถแก้โดยถ้ากลยุทธ์ thenist '
ข้อสันนิษฐานเพิ่มเติมของมุมมอง Absolutist คือคณิตศาสตร์พื้นฐานฟรีจากข้อผิดพลาด เพื่อความชัดเจน และการรวบรวมข้อมูล เข้ากันไม่ได้ แต่นี้ไม่ได้แสดงให้เห็นถึง คณิตศาสตร์ประกอบด้วยทฤษฎี ( ทฤษฎี categoly เช่นทฤษฎีกลุ่ม ) ซึ่งจะเรียนในระบบทางคณิตศาสตร์ โดยใช้ชุดของสมมติฐาน ( หลักการ )เพื่อสร้างระบบทางคณิตศาสตร์ที่ปลอดภัย ( เช่น สอดคล้อง สำหรับใด ๆแต่ที่ง่ายที่สุดระบบบังคับให้เราต้องขยายชุดของสมมติฐานของระบบ ( เกอเดลที่สองขาดความเชื่อ , 1931 ) เราจึงถือว่า ความสอดคล้องของระบบที่แข็งแกร่งแสดงให้เห็นว่าเป็น weaker . เราไม่สามารถทำให้ทราบว่า แต่ไม่สำคัญที่สุดทางคณิตศาสตร์ระบบปลอดภัยและความเป็นไปได้ของข้อผิดพลาดและไม่สอดคล้องกันจะยังคงอยู่เสมอ เชื่อมั่นในความปลอดภัยของคณิตศาสตร์ต้องขึ้นอยู่บนลานเชิงประจักษ์ ( ไม่ใช่ความขัดแย้งได้ถูกพบในระบบคณิตศาสตร์ของเราในปัจจุบัน ) หรือตามศรัทธา และให้แน่ใจว่า การอภัยโทษต้อง .