Linear Fractional TransformationA t

Linear Fractional Transformation
A transformation of the form

w=f(z)=(az+b)/(cz+d),
(1)
where a, b, c, d in C and

ad-bc!=0,
(2)
is a conformal mapping called a linear fractional transformation. The transformation can be extended to the entire extended complex plane C^*=C union {infty} by defining

f(-d/c) = infty
(3)
f(infty) = a/c
(4)
(Apostol 1997, p. 26). The linear fractional transformation is linear in both w and z, and analytic everywhere except for a simple pole at z=-d/c.

Kleinian groups are the most general case of discrete groups of linear fractional transformations in the complex plane z->(az+b)/(cz+d).

Every linear fractional transformation except f(z)=z has one or two fixed points. The linear fractional transformation sends circles and lines to circles or lines. Linear fractional transformations preserve symmetry. The cross ratio is invariant under a linear fractional transformation. A linear fractional transformation is a composition of translations, rotations, magnifications, and inversions.

To determine a particular linear fractional transformation, specify the map of three points which preserve orientation. A particular linear fractional transformation is then uniquely determined. To determine a general linear fractional transformation, pick two symmetric points alpha and alpha_S. Define beta=f(alpha), restricting beta as required. Compute beta_S. f(alpha_S) then equals beta_S since the linear fractional transformation preserves symmetry (the symmetry principle). Plug in alpha and alpha_S into the general linear fractional transformation and set equal to beta and beta_S. Without loss of generality, let c=1 and solve for a and b in terms of beta. Plug back into the general expression to obtain a linear fractional transformation.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นการเปลี่ยนแปลงของแบบฟอร์ม w=f(z)=(az+b)/(cz+d) (1), b, c, d ใน C และ ad-bc ! = 0 (2)การแมปแบบนี้เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงเศษส่วนเชิงเส้น การเปลี่ยนแปลงสามารถขยายให้ระนาบซับซ้อนขยายทั้ง C ^ * = C สหภาพ {infty } โดยการกำหนดf(-d/c) = infty (3)f(infty) =แอร์ (4)(Apostol 1997, p. 26) การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นเป็นเส้นตรงใน w และ z และวิเคราะห์ทุกที่ยกเว้นเสาเรียบง่ายที่ z =-d/cกลุ่ม Kleinian เป็นกรณีทั่วไปมากที่สุดของกลุ่มแบ่งแยกแปลงเศษส่วนเชิงเส้นในระนาบเชิงซ้อน z->(az+b)/(cz+d).การแปลงเศษส่วนทุกเส้นยกเว้น f (z) = z มีหนึ่ง หรือสองจุดถาวร การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นส่งวงกลมและเส้นวงกลมหรือบรรทัด การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นรักษาสมมาตร อัตราส่วนไขว้คือการบล็อกภายใต้การเปลี่ยนแปลงเศษส่วนเชิงเส้น การเปลี่ยนแปลงเศษส่วนเชิงเส้นเป็นองค์ประกอบของการแปล หมุนเวียน กำลังขยาย และ inversionsการตรวจสอบเฉพาะการแปลงเศษส่วนเชิงเส้น ระบุแผนที่ของสามจุดซึ่งเก็บรักษาแนว แล้วโดยเฉพาะกำหนดเฉพาะการแปลงเศษส่วนเชิงเส้น การตรวจสอบการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นทั่วไป รับสองจุดสมมาตรอัลฟาและ alpha_S กำหนด beta=f(alpha), beta ตามที่ต้องการจำกัด Beta_S. f(alpha_S) คำนวณ แล้วเท่ากับ beta_S เนื่องจากการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นคงสมมาตร (หลักการสมมาตร) เสียบอัลฟาและ alpha_S เป็นการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นทั่วไป และตั้งค่าเท่ากับเบต้าและ beta_S โดยไม่สูญเสียทั่วไป ให้ c = 1 และแก้สำหรับการ และ b ในแง่ของเบต้า เสียบเข้าไปในนิพจน์ทั่วไปเพื่อรับการเปลี่ยนแปลงเศษส่วนเชิงเส้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เป็น Linear แปลง Fractional
การเปลี่ยนแปลงของรูปแบบ

W = f (z) = (AZ + B) / (CZ + D)
(1)
ที่ A, B, C, D ใน C และ

โฆษณา-BC! = 0
(2 )
คือการทำแผนที่มาตราส่วนที่เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงที่เป็นเศษส่วนเชิงเส้น การเปลี่ยนแปลงที่สามารถขยายไปทั้งขยายซับซ้อนเครื่องบิน C ^ * = C สหภาพ {infty} โดยกำหนด

f (-d / C) = infty
(3)
f (infty) = A / C
(4)
(Apostol 1997 P . 26) การเปลี่ยนแปลงที่เป็นเศษส่วนเชิงเส้นเป็นเส้นตรงทั้งใน W และ Z, และการวิเคราะห์ทุกที่ยกเว้นสำหรับเสาง่ายที่ Z = -d / c.

กลุ่ม Kleinian เป็นกรณีทั่วไปส่วนใหญ่ของกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่องของการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นเศษส่วนในที่ซับซ้อนเครื่องบิน Z -> ( AZ + B) / (CZ + D).

ทุกการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นเศษยกเว้น f (z) = Z มีหนึ่งหรือสองจุดคงที่ การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นเศษส่วนส่งวงกลมและเส้นวงกลมหรือเส้น แปลงเศษส่วนเป็น Linear รักษาสมมาตร อัตราส่วนข้ามคงอยู่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงเศษส่วนเชิงเส้น การเปลี่ยนแปลงที่เป็นเศษส่วนเชิงเส้นเป็นองค์ประกอบของการแปลผลัดกำลังขยายและพลิกกลับได้.

การตรวจสอบโดยเฉพาะอย่างยิ่งการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นเศษระบุแผนที่สามจุดซึ่งรักษาปฐมนิเทศ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นเศษจากนั้นก็มุ่งมั่นที่ไม่ซ้ำกัน เพื่อตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงทั่วไปเศษส่วนเชิงเส้นให้เลือกสองจุดสมมาตรอัลฟาและ alpha_S กำหนดเบต้า = f (alpha) จำกัด เบต้าตามที่ต้องการ Compute beta_S f (alpha_S) แล้วเท่ากับ beta_S ตั้งแต่การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นเศษแยมสมมาตร (หลักการสมมาตร) Plug ในอัลฟาและ alpha_S เข้าสู่การเปลี่ยนแปลงทั่วไปเศษส่วนเชิงเส้นและตั้งค่าเท่ากับรุ่นเบต้าและ beta_S โดยไม่สูญเสียของทั่วไปให้ C = 1 และแก้ปัญหาสำหรับ A และ B ในแง่ของเบต้า เสียบกลับเข้ามาในการแสดงออกทั่วไปที่จะได้รับการเปลี่ยนแปลงที่เป็นเศษส่วนเชิงเส้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เศษส่วนการแปลงเชิงเส้นการเปลี่ยนแปลงของรูปแบบW = f ( z ) = ( AZ + b ) / ( CZ + D )( 1 )ที่ที่ A , B , C , D C และAD BC ! = 0( 2 )เป็นมาตราส่วนแผนที่เรียกว่าเศษส่วนเชิงเส้นการแปลง การเปลี่ยนแปลงสามารถขยายทั้งขยายซับซ้อนเครื่องบิน C = C ( ^ * { infty } โดยกำหนดF ( D / C ) = infty( 3 )f ( infty ) = แอร์( 4 )( สาวกคนอื่นๆ พ.ศ. 2540 , 26 หน้า ) การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นเป็นเส้นตรงทั้ง W และ Z และวิเคราะห์ทุกที่ยกเว้นวิเสาที่ Z = - D / Cกลุ่ม kleinian เป็นกรณีทั่วไปมากที่สุดของกลุ่มของเศษส่วนการแปลงเชิงเส้นไม่ต่อเนื่องในซับซ้อนเครื่องบินซี - > ( AZ + b ) / ( CZ + D )ทุกการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นเศษ ยกเว้น f ( z ) = Z มีหนึ่งหรือสองจุดคงที่ . การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นวงกลมและเส้นวงกลม หรือส่งสาย เศษส่วนการรักษาเชิงสมมาตร อัตราส่วนไขว้เป็นค่าคงที่อยู่ใต้เส้นเศษส่วนการแปลง เศษส่วนเชิงเส้นการแปลงเป็นองค์ประกอบของการแปล , rotations magnifications และ inversions .เพื่อตรวจสอบเฉพาะเชิงเส้นเศษ การกำหนดแผนที่สามจุดซึ่งรักษาวาง . โดยเฉพาะการแปลงเชิงเส้นเศษแล้ว โดยกำหนด เพื่อตรวจสอบทั่วไปเชิงเส้นเศษ การเลือกแบบสองจุดอัลฟ่าและเบต้า alpha_s กําหนด = F ( Alpha ) ปิดกั้นเบต้า ตามที่ต้องการ คำนวณ beta_s F ( alpha_s ) แล้วมีค่าเท่ากับ beta_s ตั้งแต่การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นรักษาความสมมาตรสมมาตรหลักการ ) เสียบในอัลฟาและ alpha_s เป็นเศษส่วนการแปลงเชิงเส้นทั่วไปและการตั้งค่าเท่ากับเบต้าและ beta_s โดยไม่มีการสูญเสียโดยทั่วไป ให้ C = 1 และแก้สำหรับ A และ B ในแง่ของเบต้า เสียบกลับเข้าไปในนิพจน์ทั่วไปเพื่อให้ได้เส้นเศษส่วนการแปลง