2 Objective structures and material

2 Objective structures and materially uniform bodies
2.1 Objective structures
Following [6,20] an objective atomic structure is a collection ofNmass points in which the atomic environment
of any two points can be precisely related to each other by orthogonal transformations and translations. In
mathematical terms forNfinite or infinite and for points represented by position vectorsJ={x1,...,xN},
there exist orthogonal matrices{R1,...,RN}such thatJcan be written as
J={xi +Ri(xj −x1),j =1,...,N}. (1)
When such matrices exist,Jis called an objective atomic structure.
For objective molecular structures, the condition analogous to Eq. (1) reads
J={xi,k+Ri,k(xn,m−x1,k), n=1,...,N, m=1,...,M}, (2)
wherexi,j is the position vector of atom j in molecule i. The NM matrices Ri,j
are orthogonal;Ncan be
infinite while Mis finite. An objective molecular structure consists of Nmolecules each of which hasM
atoms such that the atomic environment of thei atom of any two molecules is precisely related to each other
by orthogonal transformations and translations.
Energy for such systems is introduced through the Born–Opennheimer approximation [20]; for an objective
atomic structure, it has the following invariance
φ(x(i),...,x(N))=φ(x1,...,xN)=φ(Qx1+c,...,QxN+c). (3)
The first equality (permutation invariance) essentially means that the interchange of two points adds nothing
to the system’s energy. The second equality stems from frame indifference. In an analogous fashion, for an
objective molecular structure, the energy is invariant as follows
φ(x(1,1),...,x(1,M),...,x(N,1),...,x(N,M))
=φ(x1,1,...,x1,M,...,xN,1,...,xN,M)
=φ(Qx1,1+c,...,Qx1,M+c,...,QxN,1+c,...,QxN,M+c). (4)
In line with previously, the first equality means that an interchange of the same atoms between different
molecules adds nothing to the energy of the system. Frame indifference is expressed through the second
equality. Standard permutation is denoted by(n,m).
Forces are derivatives of the energy with respect to the atomic position. For an objective atomic structure
f
i =−
∂φ
∂xi
, (5)
while for an objective molecular structure
f
i,j =−
∂φ
∂xi,j
. (6)
These forces participate to Newton’s second law
M¨ x=−∇φ, (7)
which is the field equation for the discrete problem. It is important to note that for objective atomic structures,
equilibrium of one atom implies equilibrium of all atoms since forces transform according to the formula
−
∂φ
∂xi
=−Ri
∂φ
∂x1
. (8)
402 D. Sfyris
For objective molecular structures, the analogous formula reads
−
∂φ
∂xi,j
=−Ri,j
∂φ
∂x1,j
(9)
and reduces the 3MN equations of equilibrium to 3M equations.
The isometry group for objective structures is denoted byGand is the set of orthogonal transformations and
translations that restore the structure. For an objective atomic structure, it is the pair(Q,c),Q∈O(3),c∈R
3
such that
Qxn+c=x(n), n=1,...,N. (10)
For objective molecular structures, the same equation reads
Qxn,m+c=x(n,m), n=1,...,N. (11)
The main idea behind objective structures is permutation invariance. Essentially, it says that the interchange
of atoms and molecules does not alter the energy of the system. What makes the theory of objective molecular
dynamics more general than the periodic molecular dynamics is the action of the group on the fundamental
domain. Whereas in periodic molecular dynamics, the group chosen is translations; for objective structures,
this can be generalized thereby producing a plethora of very interesting cases, even nonperiodic ones.
2.2 Materially uniform bodies
Roughly speaking, a body is materially uniform if it is made of the same material at different points. To describe
this rigorously, Noll [26] introduced the idea of a material isomorphism. If we denote the elastic solution by
ϕ, points in the referenceBRand the current configurationBCare related byx=ϕ(X,t). The tangent of this
mapping is the deformation gradient written asF=
∂ϕ
∂X
. The tangent space of a manifold Bat a pointXis
denoted byTXB. For a hyperelastic simple material, the stored energy is then a function W=W(F,X).A
material isomorphism is defined to be a mapping
PXY: TYBR→TXBR (12)
such that for the energy it holds
W(F,Y)=W(FPXY,X). (13)
Namely, the material is indistinguishable at pointsX,Yat the level of energy. The collection of material
isomorphisms for every pair of material points is then called material uniformity. If a material uniformity
exists, then the body is made of the same material and is named materially uniform. The set of all material
isomorphisms between points XandYis denoted bygXY.
For a materially uniform body, energy should not depend onXexplicitly. Being an equivalence class
between points, material uniformity can be brought “out” of the body and described by a field, sayK(see
[10]). One may then prove [26] the existence of an energy function such that
W(F,X)=WU(M), (14)
whereM=FK. This decomposition is essentially the classical multiplicative decomposition of finite elastoplasticity, even though nothi

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2 วัตถุประสงค์โครงสร้างและร่างกายสม่ำเสมอลยุติธรรม2.1 วัตถุประสงค์โครงสร้างต่อ [6,20] โครงสร้างอะตอมที่มีวัตถุประสงค์คือ จุด ofNmass ที่ซึ่งแวดล้อมอะตอมคะแนนทั้งสองสามารถอย่างแม่นยำสัมพันธ์กัน โดยแปลงมุมฉากและแปล ในforNfinite คำคณิตศาสตร์หรืออนันต์ และสำหรับจุดที่แสดง โดยตำแหน่ง vectorsJ = {x1,..., xN },มีมุมฉากเมทริกซ์ {R1,... RN } thatJcan ดังกล่าวสามารถเขียนเป็นJ = { xi + Ri (xj −x1), j = 1,..., N } (1)เมื่อเมทริกซ์ดังกล่าวมีอยู่ Jis เรียกว่าโครงสร้างอะตอมที่มีวัตถุประสงค์สำหรับโครงสร้างระดับโมเลกุลที่ประสงค์ เงื่อนไขคล้ายกับอ่าน Eq. (1)J={xi,k+Ri,k(xn,m−x1,k), n = 1,..., N, m = 1,..., M }, (2)wherexi, j คือเวกเตอร์ตำแหน่งของอะตอมในโมเลกุลผม เมทริกซ์ NM Ri, jเป็นมุมฉาก สามารถ Ncanอนันต์ในขณะที่ระบบสารสนเทศจำกัด โครงสร้างโมเลกุลที่มีวัตถุประสงค์ประกอบด้วย Nmolecules แต่ละของ hasM ซึ่งอะตอมที่ล้อมอะตอมของอะตอมดิดของโมเลกุลใด ๆ สองแม่นยำเกี่ยวข้องกับแต่ละอื่น ๆโดยแปลงมุมฉากและการแปลพลังงานสำหรับระบบดังกล่าวถูกนำมาใช้ผ่านประมาณเกิด – Opennheimer [20]; สำหรับวัตถุประสงค์โครงสร้างอะตอม มี invariance ต่อไปนี้Φ(x (i), ..., x (N))=φ(x1,...,xN)=φ(Qx1+c,...,QxN+c) (3)หลักความเสมอภาคแรก (invariance เรียงสับเปลี่ยน) หมายความ ว่า การแลกเปลี่ยนของสองจุดเพิ่มอะไรพลังงานของระบบ ภาคสองมาจากเฟรมไม่แยแส ในแฟชั่นคล้าย สำหรับการวัตถุประสงค์โครงสร้างโมเลกุล พลังงานจะไม่เป็นดังนี้Φ(x (1,1), ..., x (1, M), x (N, 1),...,..., x (N, M))=Φ(x1,1,...,x1,M,...,xN,1,...,xN,M)= Φ(Qx1,1+c,...,Qx1,M+c,...,QxN,1+c,...,QxN,M+c) (4)มีก่อนหน้านี้ ความเสมอภาคแรกหมายความ ว่า การแลกเปลี่ยนของอะตอมเดียวกันแตกต่างกันระหว่างโมเลกุลเพิ่มอะไรให้พลังงานของระบบ ไม่แยแสเฟรมจะแสดงผ่านที่สองความเสมอภาค เรียงสับเปลี่ยนมาตรฐานจะเขียนแทนด้วย (n, m)กองเป็นอนุพันธ์ของพลังงานเกี่ยวกับตำแหน่งอะตอม สำหรับโครงสร้างอะตอมที่มีวัตถุประสงค์fฉัน =−∂Φ∂xi, (5)ในขณะที่สำหรับโครงสร้างระดับโมเลกุลที่มีวัตถุประสงค์fi, j =−∂Φ∂xi, j. (6)เข้าร่วมกองกำลังเหล่านี้กฎข้อสองของนิวตันM¨ x =−∇φ, (7)ซึ่งเป็นเขตข้อมูลสมการปัญหาไม่ต่อเนื่อง มันเป็นสิ่งสำคัญโปรดทราบว่าสำหรับวัตถุประสงค์โครงสร้างอะตอมสมดุลของอะตอมหนึ่งหมายถึงสมดุลของอะตอมทั้งหมดเนื่องจากกองกำลังเปลี่ยนตามสูตร−∂Φ∂xi= −Ri∂Φ∂x1. (8)402 D. Sfyrisสำหรับวัตถุประสงค์โครงสร้างโมเลกุล อ่านสูตรคล้าย−∂Φ∂xi, j= −Ri, j∂Φ∂x1, j(9)และลดสมการ 3MN สมดุลกับสมการ 3Mกลุ่ม isometry สำหรับวัตถุประสงค์โครงสร้างสามารถเขียนแทน byGand เป็นชุดแปลงมุมฉาก และแปลที่คืนค่าโครงสร้าง สำหรับโครงสร้างวัตถุประสงค์อะตอม การ pair(Q,c), Q∈O (3), c∈R3ดังกล่าวว่าQxn + c = x (n), n = 1,..., n. (10)สำหรับวัตถุประสงค์โครงสร้างโมเลกุล อ่านสมการเดียวกันQxn, m + c = x (n, m), n = 1,..., n. (11)ความคิดหลักเบื้องหลังโครงสร้างวัตถุประสงค์เป็น invariance เรียงสับเปลี่ยน เป็นหลัก กล่าวว่า การแลกเปลี่ยนของอะตอมและโมเลกุลเปลี่ยนพลังงานของระบบ สิ่งที่ทำให้ทฤษฎีของวัตถุประสงค์ระดับโมเลกุลdynamics ทั่วไปมากขึ้นกว่าการเปลี่ยนแปลงโมเลกุลเป็นครั้งคราวเป็นการกระทำของกลุ่มบนพื้นฐานการโดเมน ในขณะที่ในงวดโมเลกุล dynamics กลุ่มที่เลือกจะแปล สำหรับโครงสร้างวัตถุประสงค์นี้สามารถนาไปสรุปผลผลิตกรณีน่าสนใจมากมาย แม้กระทั่งคน nonperiodic2.2 ร่างกายสม่ำเสมอลยุติธรรมพูดประมาณ ร่างกายเป็นนัยสำคัญเหมือนกันถ้ามันทำจากวัสดุเดียวกับที่เวลาต่าง ๆ เพื่ออธิบายนี้อย่างจริงจัง Noll [26] แนะนำความคิดของ isomorphism เป็นวัสดุ ถ้าเราแทนโซลูชั่นยืดหยุ่นโดยΦ จุดใน referenceBRand configurationBCare ปัจจุบันที่เกี่ยวข้องกับ byx=ϕ(X,t) แทนเจนต์ของนี้การแม็ปคือ ไล่แมพที่เขียน asF =∂Φ∂X. พื้นที่สัมผัสของท่อร่วมไอดีแบบค้างคาว pointXisแทน byTXB สำหรับวัสดุเรียบง่าย hyperelastic พลังงานที่เก็บไว้แล้วคือ ฟังก์ชัน W=W(F,X) Aมีกำหนดวัสดุ isomorphism จะ การแม็ปPXY: TYBR→TXBR (12)ซึ่งพลังงานที่มันมีW(F,Y)=W(FPXY,X) (13)คือ วัสดุที่มีนั้นที่ pointsX ซุนระดับของพลังงาน การเก็บรวบรวมวัสดุisomorphisms สำหรับทุกคู่ของจุดวัสดุแล้วเรียกว่าความสม่ำเสมอของวัสดุ ถ้ามีความสม่ำเสมอของวัสดุมีอยู่ แล้วร่างกายที่ทำจากวัสดุเดียวกัน และชื่อลยุติธรรมเหมือนกัน ชุดของวัสดุทั้งหมดisomorphisms ระหว่างจุด XandYis แทน bygXYสำหรับร่างกายสม่ำเสมอลยุติธรรม พลังงานควรขึ้นกับ onXexplicitly เป็นคลาสที่สมมูลมีระหว่างจุด ความสม่ำเสมอของวัสดุที่สามารถนำ "ออก" ของร่างกาย และอธิบาย โดยฟิลด์ sayK (ดู[10]) . หนึ่งแล้วอาจพิสูจน์ [26] การดำรงอยู่ของฟังก์ชันการพลังงานดังกล่าวว่าW(F,X)=WU(M), (14)whereM = FK การสลายตัวนี้เป็นหลักการคลาสสิกคูณแยกส่วนประกอบของมีจำกัด elastoplasticity แม้ว่า nothi

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2 โครงสร้างวัตถุประสงค์และสาระสำคัญร่างเครื่องแบบ
2.1 โครงสร้างวัตถุประสงค์
ดังต่อไปนี้ [6,20] โครงสร้างอะตอมวัตถุประสงค์เป็นจุดคอลเลกชัน ofNmass ซึ่งในสภาพแวดล้อมที่อะตอม
ของสองจุดใดสามารถเป็นได้อย่างแม่นยำที่เกี่ยวข้องกับแต่ละอื่น ๆ โดยการแปลงมุมฉากและคำแปล ใน
แง่ทางคณิตศาสตร์ forNfinite หรือไม่มีที่สิ้นสุดและจุดแสดงโดยตำแหน่ง vectorsJ = {X1, ... , xN}
มีอยู่การฝึกอบรมมุมฉาก {R1, ... , RN} เช่น thatJcan จะเขียนเป็น
J = {Xi + Ri (XJ -x1) J = 1, ... , N} (1)
เมื่อการฝึกอบรมดังกล่าวอยู่ประเทศญี่ปุ่นเรียกว่าโครงสร้างอะตอมวัตถุประสงค์.
สำหรับโครงสร้างโมเลกุลวัตถุประสงค์สภาพคล้ายคลึงกับสมการ (1) อ่าน
J = {Xi, K + Ri, k (xn, M-X1, k), N = 1, ... , N, M = 1, ... , m}, (2)
wherexi, J เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของอะตอมใน J ฉันโมเลกุล นาโนเมตรเมทริกซ์รี J
เป็นมุมฉาก; ก็จะมองเป็น
อนันต์ขณะที่ Mis จำกัด โครงสร้างโมเลกุลวัตถุประสงค์ประกอบด้วย Nmolecules ซึ่งแต่ละ hasM
อะตอมดังกล่าวว่าสภาพแวดล้อมอะตอมของอะตอมของพวกเขาใด ๆ สองโมเลกุลเป็นอย่างแม่นยำที่เกี่ยวข้องกับแต่ละอื่น ๆ
โดยการแปลงมุมฉากและคำแปล.
พลังงานสำหรับระบบดังกล่าวเป็นที่รู้จักผ่านเกิด Opennheimer ประมาณ [20 ]; สำหรับวัตถุประสงค์
โครงสร้างอะตอมก็มีดังต่อไปนี้ไม่แปรเปลี่ยน
φ (x (i), ... , X? (N)) = φ (x1, ... , xN) = φ (QX1 + C ... , QxN + C) (3)
เท่าเทียมกันครั้งแรก (เปลี่ยนแปลงแปรเปลี่ยน) เป็นหลักหมายความว่าการแลกเปลี่ยนของสองจุดเพิ่มอะไร
ให้เป็นพลังงานของระบบ ความเสมอภาคที่สองเกิดจากกรอบไม่แยแส ในแฟชั่นคล้ายคลึงสำหรับ
โครงสร้างโมเลกุลวัตถุประสงค์พลังงานเป็นค่าคงที่ดังต่อไปนี้
φ (x (1,1), ... , X? (1, M), ... , X? (N, 1) , ... , x? (N, M))
= φ (x1,1, ... , X1, M, ... , xN, 1, ... , xN, M)
= φ (Qx1,1 + C, ... , QX1, M + C, ... , QxN 1 + C, ... , QxN, C + M) (4)
ในบรรทัดที่มีก่อนหน้านี้ความเท่าเทียมกันครั้งแรกหมายความว่าการแลกเปลี่ยนของอะตอมเดียวกันแตกต่างกันระหว่าง
โมเลกุลเพิ่มอะไรที่จะใช้พลังงานของระบบ กรอบไม่แยแสจะแสดงผ่านสอง
เท่าเทียมกัน การเปลี่ยนแปลงมาตรฐานจะแสดงโดย (N, ม.)
กองกำลังเป็นอนุพันธ์ของพลังงานที่เกี่ยวกับตำแหน่งของอะตอม สำหรับโครงสร้างอะตอมวัตถุประสงค์
F
i = -
∂φ
∂xi
(5)
ในขณะที่สำหรับโครงสร้างโมเลกุลวัตถุประสงค์
F
I, J = -
∂φ ∂xiเจ

(6)
กองกำลังเหล่านี้มีส่วนร่วมในการของนิวตันกฎข้อที่สอง
ม. x = -∇φ, (7)
ซึ่งเป็นสมการสนามสำหรับปัญหาที่เกิดขึ้นต่อเนื่อง มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะทราบว่าสำหรับโครงสร้างอะตอมวัตถุประสงค์
สมดุลของอะตอมหนึ่งหมายถึงความสมดุลของอะตอมทั้งหมดตั้งแต่กองกำลังเปลี่ยนตามสูตร
-
∂φ
∂xi
= -Ri
∂φ ∂x1

(8)
402 D. Sfyris
สำหรับโครงสร้างโมเลกุลวัตถุประสงค์สูตรคล้ายอ่าน
-
∂φ
∂xi, J
= -Ri เจ
∂φ
∂x1, J
(9)
. และลดสมการ 3 ล้านสมดุลสม 3M
isometry กลุ่มสำหรับโครงสร้างวัตถุประสงค์คือเข็มทิศ byGand เป็นชุดของการเปลี่ยนแปลงมุมฉากและ
คำแปลที่เรียกคืนโครงสร้าง สำหรับโครงสร้างอะตอมวัตถุประสงค์ก็เป็นคู่ (Q, C) Q∈O (3), c∈R
3
ดังกล่าวว่า
Qxn + C = X? (N), N = 1, ... , N (10)
สำหรับโครงสร้างโมเลกุลวัตถุประสงค์สมเดียวกันอ่าน
Qxn, M + C = X? (n, m) n = 1, ... , N (11)
ความคิดหลักที่อยู่เบื้องหลังโครงสร้างวัตถุประสงค์คือการเปลี่ยนแปลงไม่แปรเปลี่ยน โดยพื้นฐานแล้วมันบอกว่าแลก
ของอะตอมและโมเลกุลไม่เปลี่ยนแปลงพลังงานของระบบ สิ่งที่ทำให้ทฤษฎีของโมเลกุลวัตถุประสงค์
Dynamics ทั่วไปมากขึ้นกว่าการเปลี่ยนแปลงโมเลกุลระยะคือการกระทำของกลุ่มที่อยู่บนพื้นฐาน
โดเมน ในขณะที่การเปลี่ยนแปลงโมเลกุลธาตุกลุ่มที่ได้รับการแต่งตั้งเป็นคำแปล; สำหรับโครงสร้างวัตถุประสงค์
นี้สามารถทั่วไปดังนั้นการผลิตมากมายเหลือเฟือของกรณีที่น่าสนใจมากแม้กระทั่ง nonperiodic ได้.
2.2 สาระสำคัญร่างเครื่องแบบ
ประมาณพูดร่างกายที่เป็นสาระสำคัญเครื่องแบบถ้ามันจะทำจากวัสดุเดียวกับที่จุดที่แตกต่างกัน เพื่ออธิบาย
เรื่องนี้อย่างจริงจัง Noll [26] นำความคิดของมอร์ฟวัสดุ ถ้าเราแสดงถึงวิธีการแก้ปัญหาที่มีความยืดหยุ่นโดย
φชี้ใน referenceBRand configurationBCare ในปัจจุบันที่เกี่ยวข้อง byx = φ (x, t) สัมผัสกันนี้
การทำแผนที่คือการไล่ระดับสีเปลี่ยนรูปเขียน ASF =
∂φ ∂X

พื้นที่สัมผัสของนานาค้างคาว pointXis
แสดง byTXB สำหรับวัสดุที่เรียบง่าย hyperelastic, พลังงานที่เก็บไว้ก็คือฟังก์ชั่น w = W (F, X) ลวด Cored Metallurgical
มอร์ฟวัสดุที่ถูกกำหนดให้เป็นแผนที่
PXY: TYBR → TXBR (12)
เช่นว่าพลังงานที่มันถือ
W (F, Y) = W (FPXY, X) (13)
คือวัสดุที่จะแยกไม่ออกที่ pointsX ยัตระดับของพลังงาน คอลเลกชันของวัสดุ
isomorphisms สำหรับคู่ของจุดทุกวัสดุแล้วจะเรียกว่าวัสดุที่สม่ำเสมอ หากมีความสม่ำเสมอของวัสดุที่
มีอยู่แล้วในร่างกายที่ทำจากวัสดุเดียวกันและเป็นชื่ออย่างเป็นสาระสำคัญเครื่องแบบ ชุดของวัสดุ
isomorphisms ระหว่างจุด XandYis แสดง bygXY.
สำหรับร่างกายเครื่องแบบสาระพลังงานไม่ควรขึ้น onXexplicitly เป็นชั้นสมมูล
ระหว่างจุดสม่ำเสมอวัสดุที่สามารถนำออก "" ของร่างกายและอธิบายโดยสนาม sayK (ดู
[10]) จากนั้นหนึ่งอาจพิสูจน์ [26] การดำรงอยู่ของฟังก์ชั่นการใช้พลังงานดังกล่าวว่า
W (F, X) = WU (M), (14)
whereM = FK การสลายตัวนี้เป็นหลักการสลายตัวคูณคลาสสิกของ elastoplasticity แน่นอนแม้ว่า nothi

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

วัตถุประสงค์และโครงสร้าง 2 ( ชุดร่างกาย2.1 วัตถุประสงค์ โครงสร้างต่อไป [ 6,20 ] วัตถุประสงค์โครงสร้างอะตอมเป็นคอลเลกชัน ofnmass จุด ซึ่งสภาพแวดล้อมของอะตอมของจุดสองจุดใด ๆที่สามารถแน่นอนที่เกี่ยวข้องกับแต่ละอื่น ๆโดยการค้นคว้าและการแปล ในทางด้าน fornfinite อนันต์และจุดแสดงตำแหน่ง vectorsj = { X1 , . . . , คริสเตียน ,มีอยู่วิธีเมทริกซ์ { R1 , . . . , Rn } เช่น thatjcan จะเขียนว่าJ = { ซี + ริ ( XJ − 1 ) , j = 1 , . . . , n } ( 1 )เมื่อเช่นเมทริกซ์อยู่ประเทศญี่ปุ่นเรียกว่าวัตถุประสงค์โครงสร้างอะตอม .มีโครงสร้างโมเลกุล เงื่อนไขคล้ายคลึงกับ อีคิว ( 1 ) อ่านJ = { Xi , K + ริ , K ( คริสเตียน , m − 1 k ) n = 1 , . . . , N , M = 1 , . . m , } , ( 2 )wherexi J เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของอะตอมในโมเลกุล J . nm เมทริกซ์รีเจซึ่งจะเป็น ;อนันต์ ในขณะที่ระบบสารสนเทศจำกัด มีโครงสร้างโมเลกุลที่ประกอบด้วย nmolecules ซึ่งแต่ละ hasmอะตอมเช่นสภาพแวดล้อมที่บ้านของอะตอมใดอะตอมสองโมเลกุลคือเหตุผลที่เกี่ยวข้องกับแต่ละอื่น ๆโดยการค้นคว้าและการแปลพลังงานสำหรับระบบดังกล่าวเป็นที่รู้จักผ่านการเกิดและการ opennheimer [ 20 ] ; สำหรับวัตถุประสงค์โครงสร้างอะตอม มันมีความไม่แปรเปลี่ยนตามφ ( X ( i ) , . . . , x ( n ) = φ ( x1 , . . . , คริสเตียน ) = φ ( qx1 + C , . . . , qxn + C ) ( 3 )ความเท่าเทียมกันก่อน ( วิธีเรียงสับเปลี่ยนแปรเปลี่ยน ) เป็นหลัก หมายความว่า การแลกเปลี่ยนของ 2 จุดเพิ่มอะไรพลังงานของระบบ ภาคที่สองเกิดจากกรอบไม่ต่างกัน ในแฟชั่นที่คล้ายกันสำหรับมีโครงสร้างโมเลกุล พลังงานเป็นค่าคงที่ดังต่อไปนี้φ ( X ( , 1 , 1 ) , . . . , x ( , 1 ) , . . . , x ( , 1 ) , . . . , x ( , m ) )= φ ( x1,1 , . . . , x1 M , . . . , คริสเตียน , 1 , . . . , คริสเตียน , M )= φ ( qx1,1 + C , . . . , qx1 , m + C , . . . , qxn 1 + C , . . . , qxn , M + c ) ( 4 )สอดคล้องกับก่อนหน้านี้ อย่างแรกหมายถึงการแลกเปลี่ยนของอะตอมเดียวกันระหว่างที่แตกต่างกันโมเลกุลเพิ่มอะไรกับพลังงานของระบบ กรอบความไม่แยแสจะแสดงผ่านที่สองความเสมอภาค การเปลี่ยนแปลงมาตรฐานเขียนโดย ( n , m )บังคับเป็นอนุพันธ์ของพลังงานที่มีต่อตำแหน่งของอะตอม สำหรับวัตถุประสงค์โครงสร้างอะตอมเอฟผม = −∂φ∂ซี( 5 )ในขณะที่วัตถุประสงค์โครงสร้างโมเลกุลเอฟฉัน , J = −∂φ∂ ซี เจ. ( 6 )กองกำลังเหล่านี้เข้าร่วมกับกฎข้อที่สองของนิวตันM ตั้ง x = −∇φ ( 7 )ซึ่งเป็นสมการสนามสำหรับปัญหาที่ไม่ต่อเนื่อง มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะทราบว่าสำหรับวัตถุประสงค์ โครงสร้างอะตอมสมดุลของอะตอมแสดงถึงสมดุลของทุกอะตอมตั้งแต่กองกำลังเปลี่ยนตามสูตรบริษัท เวสเทิร์น∂φ∂ซี= −ริ∂φ∂ X1. ( 8 )402 . sfyrisโครงสร้าง วัตถุประสงค์ โมเลกุล สูตรแบบอ่านบริษัท เวสเทิร์น∂φ∂ ซี เจ= −ริเจ∂φ∂ x1 J( 9 )และลด 44s สมการสมดุลกับ 3M สมการกลุ่ม isometry โครงสร้างวัตถุประสงค์ กล่าวคือ bygand คือชุดของการแปลง ) และแปลว่า ฟื้นฟูโครงสร้าง สำหรับ วัตถุประสงค์ โครงสร้างอะตอม เป็นคู่ ( Q , c ) q ∈ O ( 3 ) , C ∈ R3 .เช่นว่าqxn + C = x ( n ) n = 1 , . . . . . . . . ( 10 ) ,มีโครงสร้างโมเลกุล เดิมๆ อ่านqxn , m + C = x ( n , m , n = 1 , . . . , N . ( 11 )ความคิดหลักของโครงสร้างมีการเปลี่ยนแปลงเชิงโครงสร้าง . เป็นหลัก , ก็กล่าวว่า .ของอะตอมและโมเลกุลที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงพลังงานของระบบ อะไรที่ทำให้ทฤษฎีของวัตถุประสงค์ของโมเลกุลพลศาสตร์ทั่วไปมากกว่าแบบพลศาสตร์โมเลกุลคือการกระทำของกลุ่มบนพื้นฐานโดเมน พลศาสตร์โมเลกุลธาตุ ส่วนในกลุ่มที่เลือกแปล ; โครงสร้างวัตถุประสงค์นี้สามารถทั่วไปงบผลิตด้วยคดีที่น่าสนใจมาก แม้ nonperiodic คน2.2 เครื่องมือชุดร่างกายประมาณพูด ร่างกายเป็นวัตถุ เครื่องแบบ ถ้ามันทำจากวัสดุเดียวกันที่จุดอื่น เพื่ออธิบายนี้อย่างจริงจัง โนลล์ [ 26 ] , แนะนำความคิดของวัสดุก้อน . ถ้าเราแสดงแบบโดยโซลูชั่นϕจุดใน referencebrand ในปัจจุบันที่เกี่ยวข้องกับบิ๊ก configurationbcare = ϕ ( x , t ) การสัมผัสนี้แผนที่มีการไล่ระดับ ลึก = เขียน∂ϕ∂ x. การสัมผัสพื้นที่ของอเนก pointxis ค้างคาวกล่าวคือ bytxb . สำหรับ hyperelastic ง่ายวัสดุพลังงานที่เก็บไว้แล้วฟังก์ชัน w = w ( F , X )วัสดุแรงงานที่กำหนดไว้เป็นแผนที่pxy tybr → keyboard - key - name txbr ( 12 ) :ที่ให้พลังงาน มันถือW ( F , Y ) = W ( fpxy , X ) ( 13 )คือ วัสดุก็ไม่ต่างอะไรกับที่ pointsx ยัต , ระดับของพลังงาน คอลเลกชันของวัสดุisomorphisms สำหรับคู่ของจุดวัสดุทุกแล้วเรียกภาพวัสดุ ถ้าวัสดุสามัคคีมีอยู่แล้ว ร่างกายที่ถูกสร้างจากวัสดุเดียวกันและเป็นชื่อที่ระบุชุด ชุดของวัสดุทั้งหมดisomorphisms ระหว่างจุด xandyis กล่าวคือ bygxy .ข่าวประชาสัมพันธ์พลังงานสำหรับร่างกายสม่ำเสมอ ไม่ควรพึ่ง onxexplicitly . เป็นชั้นสมมูลระหว่างจุด เปลี่ยนแปลงวัสดุที่สามารถนำ " ออก " ของร่างกาย และบรรยายโดย ฟิลด์ sayk ( ดู[ 10 ] ) หนึ่งอาจพิสูจน์ [ 26 ] การดำรงอยู่ของฟังก์ชันพลังงานเช่นW ( F , X ) = อู๋ ( M ) , ( 14 )wherem = FK . นี้คือการได้รับ