Recently many analytical methods ha

Recently many analytical methods have been used to solve Lane–Emden equations, the main difficulty arises in the singularity of the equation at x = 0. Currently most techniques in use for handling the Lane–Emden-type problems are based on either series solutions or perturbation techniques. Bender et al. [4] handled the solution of Lane–Emden equations as well as those of a variety of nonlinear problems in quantum mechanics and astrophysics by means of perturbation methods based on the existence of a small parameter. Approximate solutions to the above problems were presented by Shawagfeh [5] and Wazwaz [6,7] by applying the Adomian method which provides a convergent series solution. Nouh [8] accelerated the convergence of a power series solution of the Lane–Emden equation by using an Euler–Abel transformation and Padé approximation. Mandelzweig and Tabakin [9] applied Bellman and Kalaba’s quasilinearization method and Ramos [10] used an piecewise linearization technique based on the piecewise linearization of the Lane–Emden equation. Bozkhov and Martins [11] and later Momoniat and Harley [12] applied the Lie Group method successfully to generalized Lane–Emden equations of the first kind. Exact solutions of generalized Lane–Emden solutions of the first kind are investigated by Goenner and Havas [13]. Laio [14] solved Lane–Emden type equations by applying a homotopy analysis method. He [15] obtained an approximate analytical solution of the Lane–Emden equation by applying a variational approach which uses a semi- inverse method. Ramos [16] presented a series approach to the Lane–Emden equation and gave the comparison with He’s homotopy perturbation method. The authors of this paper, Yıldırım and Öziş [17] and also Chowdhury and Hashim [18] gave the solutions of a class of singular second-order IVPs of Lane–Emden type by using He’s homotopy perturbation method.
Recently, Dehghan and Shakeri [19] first applied an exponential transformation to the Lane–Emden equation to overcome the difficulty of a singular point at x = 0 and solved the resulting nonsingular problem by the variational iteration method. In this paper, we aim to employ the variational iteration method to a singular form of Lane–Emden type initial value
problems directly.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การใช้วิธีการวิเคราะห์หลายเพิ่งแก้สมการเลน – Emden ปัญหาหลักที่เกิดขึ้นในภาวะเอกฐานของสมการที่ x = 0 ในปัจจุบันเทคนิคส่วนใหญ่ใช้ในการจัดการปัญหาชนิดเลน – Emden อยู่ชุดโซลูชั่นหรือเทคนิค perturbation Bender et al. [4] จัดการแก้ปัญหาของสมการเลน – Emden และบรรดาหลากหลายปัญหาไม่เชิงเส้นในควอนตัมและฟิสิกส์ดาราศาสตร์โดยใช้วิธี perturbation ใช้ในการดำรงอยู่ของพารามิเตอร์ขนาดเล็ก ประมาณแก้ไขปัญหาข้างต้นได้นำเสนอ โดย Shawagfeh [5] และ Wazwaz [6,7] โดยใช้เมธอด Adomian ซึ่งช่วยให้การแก้ไขปัญหาชุด convergent Nouh [8] เร่งรัดการบรรจบกันของโซลูชันพลังงานของสมการเลน – Emden โดยใช้การแปลงออยเลอร์-Abel และประมาณ Padé ใช้วิธี quasilinearization บริการและของ Kalaba Mandelzweig และ Tabakin [9] และมีเทคนิค piecewise linearization ตาม linearization piecewise ของสมการเลน – Emden ใช้ Ramos [10] Bozkhov และ Martins [11] และภายหลัง Momoniat และฮาร์เล่ย์ [12] ใช้วิธีโกหก กลุ่มประสบความสำเร็จกับสมการเลน – Emden เมจแบบทั่วไปของชนิดการ โซลูชั่นโซลูชั่นเลน – Emden เมจแบบทั่วไปของชนิดที่แน่นอนอยู่ระหว่างสอบสวน โดย Goenner และ Havas [13] Laio [14] แก้ไขสมการชนิดเลน – Emden โดยใช้วิธีการวิเคราะห์ homotopy เขา [15] ได้รับโซลูชั่นวิเคราะห์โดยประมาณของเลน – Emden สมการ โดยใช้วิธี variational ซึ่งใช้วิธีกึ่งผกผัน Ramos [16] นำเสนอวิธีการชุดสมการเลน – Emden และให้เปรียบเทียบกับเขาคือ homotopy perturbation วิธีการ ผู้เขียนเอกสารนี้ Yıldırım และ Öziş [17] และยัง Chowdhury และฮาชิม [18] ให้โซลูชั่นของคลาสชนิด IVPs ของเลน – Emden สั่งสองเอกพจน์โดย เขาเป็น homotopy perturbation วิธีการล่าสุด Dehghan และ Shakeri [19] ครั้งแรกกับการแปลงเนนสมการเลน – Emden เพื่อเอาชนะความยากลำบากของ singular จุดที่ x = 0 และแก้ไขปัญหา nonsingular ได้ โดยวิธีการเกิดซ้ำ variational ในเอกสารนี้ เรามุ่งมั่นที่จะใช้วิธีการเกิดซ้ำ variational กับเอกพจน์ของเลน – Emden ชนิดค่าเริ่มต้นปัญหาโดยตรง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เมื่อเร็ว ๆ นี้วิธีการวิเคราะห์จำนวนมากได้รับใช้ในการแก้สมการเชิงเลนแอ็มปัญหาหลักที่เกิดขึ้นในความแปลกประหลาดของสมการที่ x = 0 ปัจจุบันเทคนิคการใช้งานมากที่สุดในการจัดการกับปัญหาที่เกิดขึ้นเลนแอ็มชนิดจะขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่งหรือชุด เทคนิคการก่อกวน เบนเดอร์และคณะ [4] การจัดการแก้ปัญหาของสมเลนแอ็มเช่นเดียวกับผู้ที่มีความหลากหลายของปัญหาไม่เชิงเส้นในกลศาสตร์ควอนตัมฟิสิกส์ดาราศาสตร์และโดยวิธีการของวิธีการก่อกวนอยู่บนพื้นฐานของการดำรงอยู่ของพารามิเตอร์ที่มีขนาดเล็ก การแก้ปัญหาโดยประมาณในการแก้ไขปัญหาดังกล่าวข้างต้นได้ถูกนำเสนอโดย Shawagfeh [5] Wazwaz [6,7] โดยการใช้วิธีการ Adomian ซึ่งให้มาบรรจบกันแก้ปัญหาชุด Nouh [8] เร่งการบรรจบกันของการแก้ปัญหาที่ชุดไฟของสมเลนแอ็มโดยใช้การเปลี่ยนแปลงออยเลอร์-อาเบลและPadéประมาณ Mandelzweig และ Tabakin [9] ใช้ยามและวิธีการ quasilinearization Kalaba และรามอส [10] ใช้เทคนิคเชิงเส้นค่บนพื้นฐานของการเชิงเส้นค่ของสมเลนแอ็ม Bozkhov และมาร์ติน [11] และต่อมา Momoniat และฮาร์เลย์ [12] ใช้วิธีการโกหกกลุ่มที่ประสบความสำเร็จในการทั่วไปสมเลนแอ็มของชนิดแรก การแก้ปัญหาที่ถูกต้องของการแก้ปัญหาทั่วไปเลนแอ็มชนิดแรกที่ได้รับการตรวจสอบโดย Goenner และ Havas [13] Laio [14] แก้สมชนิดเลนแอ็มโดยใช้วิธีการวิเคราะห์ฮอมอโท เขา [15] ได้รับการแก้ปัญหาการวิเคราะห์โดยประมาณของสมเลนแอ็มโดยใช้วิธีการแปรผันซึ่งใช้วิธีการผกผันกึ่ง รามอส [16] นำเสนอวิธีการชุดสมเลนแอ็มและให้เปรียบเทียบกับเขาเป็นวิธีการก่อกวนฮอมอโท ผู้เขียนบทความนี้, Yıldırımและ Ozis [17] และยังก่อสร้างและฮิม [18] ให้การแก้ปัญหาของชั้นเรียนของ IVPs เอกพจน์สองคำสั่งของชนิดเลนแอ็มโดยใช้เขาเป็นวิธีการก่อกวน homotopy.
เมื่อเร็ว ๆ นี้ Dehghan และ Shakeri [ 19] ครั้งแรกที่ใช้การเปลี่ยนแปลงที่จะชี้แจงสมเลนแอ็มที่จะเอาชนะความยากลำบากของจุดเอกพจน์ที่ x = 0 และแก้ไขปัญหา nonsingular ผลโดยวิธีการทวนแปรผัน ในบทความนี้เรามีจุดมุ่งหมายที่จะใช้วิธีการทวนแปรผันให้อยู่ในรูปเอกพจน์ประเภทเลนแอ็มค่าเริ่มต้น
ปัญหาโดยตรง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

วิธีการวิเคราะห์หลายๆ เคยใช้แก้เลน–มเดนสมการปัญหาหลักที่เกิดขึ้นในความเป็นเอกเทศของสมการที่ x = 0 ในปัจจุบันส่วนใหญ่ใช้เทคนิคในการจัดการช่อง–มเด็นประเภทปัญหาตามด้วยชุดโซลูชั่นหรือเทคนิคการรบกวน ดัด et al .[ 4 ] จัดการโซลูชั่นของเลน–มเดนสมการเช่นเดียวกับความหลากหลายของปัญหาไม่เชิงเส้นในกลศาสตร์ควอนตัมและดาราศาสตร์โดยวิธีสมการขึ้นอยู่กับการดำรงอยู่ของพารามิเตอร์ขนาดเล็ก การแก้ไขปัญหาดังกล่าวถูกนำเสนอโดย shawagfeh [ 5 ] และ wazwaz [ 6 , 7 ] โดยการใช้วิธี adomian ซึ่งให้บริการโซลูชั่นชั่วกัลปาวสาน .ป่าว [ 8 ] เร่งการลู่เข้าของอนุกรมกำลังของเลนโซลูชั่นสำหรับสมการออยเลอร์ - มเดน โดยใช้การแปลง และ́ Pade เบลประมาณ และ mandelzweig tabakin [ 9 ] และใช้ยาม kalaba เป็นวิธี quasilinearization รามอส [ 10 ] ใช้เทคนิคเชิงเส้นเป็นช่วงตามเชิงเส้นเป็นช่วงของเลน–มเดนสมการและ bozkhov มาร์ติน [ 11 ] และ momoniat ในภายหลัง และฮาร์เลย์ [ 12 ] ใช้วิธีโกหกกลุ่มเรียบร้อยแล้วตัวเลน–มเดนสมการของชนิดแรก โซลูชั่นที่ตรงกับของตัวเลน–มเดนโซลูชั่นของชนิดแรก โดย goenner และ havas [ 13 ] laio [ 14 ] แก้สมการโดยใช้เลน–มเด็นประเภทวิเคราะห์ฮอมอโทปีวิธีเขา [ 15 ] ได้ประมาณวิเคราะห์คำตอบของสมการมเดนเลน–โดยใช้วิธีการที่ใช้แบบกึ่ง - วิธีผกผัน รามอส [ 16 ] นำเสนอชุดแนวทางเลน–มเดนสมการและให้เปรียบเทียบกับเขาแบบคงที่ของฮอมอโทปี . ผู้เขียนของบทความนี้ ,Y ı LD ıı M O R ̈ซิส̧ [ 17 ] และ Chowdhury และฮิ [ 18 ] ให้โซลูชั่นของรุ่นที่สองของเลน ivps เอกพจน์–มเด็นชนิดโดยใช้เขาเป็นฮอมอโทปีขนมปังวิธี .
เมื่อเร็วๆ นี้และ dehghan shakeri [ 19 ] แรกใช้ชี้แจงการแปลงเลน–มเดนสมการที่จะเอาชนะความยากของจุดเอกพจน์ที่ x = 0 และแก้ไขปัญหาที่เกิด nonsingular โดยวิธีทำซ้ำแบบ . ในกระดาษนี้เรามุ่งใช้วิธีทำซ้ำแบบในรูปแบบเอกพจน์ของเลน–มเด็นประเภทค่าเริ่มต้น

ปัญหาโดยตรง