you Never walk aloneUsing the linea

you Never walk alone
Using the linear space over the binary field that related to a graph G, a sufficient and necessary condition for the chromatic number of G is obtained. KEYWORDS Vertex Coloring; Chromatic Number; Outer-Kernel Subspace; Plane Graph 1. Introduction Let (),GVE= be a graph, where V is a set of vertices and E is a set of edges of G. A vertex coloring of a graph G is a coloring to all the vertices of G with p colors so that no two adjacent vertices have the same color. Such the graph is called p-coloring. The minimal number p is called the chromatic number of G, and is de-noted by ()Gχ. The so-called Four Color Problem is that for any plane graph G, ()4Gχ≤ [1]. The coloring of a graph G is an interesting problem for many people [2]. This is mainly caused by the Four Color Problem [3]. In this paper, putting a graph into a linear space over the binary field ()2GF, we obtain the sufficient and necessary condition for the chromatic number of G. And as an application of above result, we give a characterization for a maximal plane graph to be 4-coloring. 2. The Linear Space An over GF(2) Now we introduce the linear space over the field ()2GF. Firstly, the field ()2GF contains only two members: (){}20,1GF=, where the addition and multiplication are as usual excepting that 110+=. Let {}12,,,nnVaaa= be the n vertices, the all vectors of the linear space nA are formed of the symbolic expression ()1, 2niiiiaGFαα=∈Σ. It has 2n vectors. The addition of two vectors is defined by ()111nnniiiiiiiiiiaaaαβαβ===+=+ΣΣΣ. Here, the n vertices {}12,,,naaa will serve as the most basic elements of the linear space nA. They will be as a basis of the linear space nA. For them the basic assumption is that these n vertices are linearly indepen- dent in nA.
OPEN ACCESS

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คุณไม่เคยเดินคนเดียวUsing the linear space over the binary field that related to a graph G, a sufficient and necessary condition for the chromatic number of G is obtained. KEYWORDS Vertex Coloring; Chromatic Number; Outer-Kernel Subspace; Plane Graph 1. Introduction Let (),GVE= be a graph, where V is a set of vertices and E is a set of edges of G. A vertex coloring of a graph G is a coloring to all the vertices of G with p colors so that no two adjacent vertices have the same color. Such the graph is called p-coloring. The minimal number p is called the chromatic number of G, and is de-noted by ()Gχ. The so-called Four Color Problem is that for any plane graph G, ()4Gχ≤ [1]. The coloring of a graph G is an interesting problem for many people [2]. This is mainly caused by the Four Color Problem [3]. In this paper, putting a graph into a linear space over the binary field ()2GF, we obtain the sufficient and necessary condition for the chromatic number of G. And as an application of above result, we give a characterization for a maximal plane graph to be 4-coloring. 2. The Linear Space An over GF(2) Now we introduce the linear space over the field ()2GF. Firstly, the field ()2GF contains only two members: (){}20,1GF=, where the addition and multiplication are as usual excepting that 110+=. Let {}12,,,nnVaaa= be the n vertices, the all vectors of the linear space nA are formed of the symbolic expression ()1, 2niiiiaGFαα=∈Σ. It has 2n vectors. The addition of two vectors is defined by ()111nnniiiiiiiiiiaaaαβαβ===+=+ΣΣΣ. Here, the n vertices {}12,,,naaa will serve as the most basic elements of the linear space nA. They will be as a basis of the linear space nA. For them the basic assumption is that these n vertices are linearly indepen- dent in nA.OPEN ACCESS

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คุณไม่มีวันเดินเดียวดาย
ใช้พื้นที่เชิงเส้นสนามไบนารีที่เกี่ยวข้องกับกราฟ G, เงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นสำหรับจำนวนสีของ G จะได้รับ KEYWORDS ระบายสี Vertex; รงค์หมายเลข; นอกเคอร์เนลสเปซ; เครื่องบินกราฟ 1. แนะนำ Let () = GVE เป็นกราฟที่ V คือชุดของจุดและ E คือชุดของขอบของจีเอสีจุดสุดยอดของกราฟ G เป็นสีที่จะจุดทั้งหมดของ G, P สีเพื่อให้ไม่มีสองจุดที่อยู่ติดกันมีสีเดียวกัน เช่นกราฟที่เรียกว่า P-สี จำนวนน้อยที่สุด P เรียกว่าสีจำนวนของ G และ de-ที่ระบุไว้โดย () Gχ ที่เรียกว่าปัญหาสี่สีเป็นที่สำหรับเครื่องบินใด ๆ กราฟ G () 4Gχ≤ [1] สีของกราฟ G เป็นปัญหาที่น่าสนใจสำหรับคนจำนวนมาก [2] นี้ส่วนใหญ่เกิดจากปัญหาสี่สี [3] ในบทความนี้วางกราฟเป็นเส้นตรงในพื้นที่เขตไบนารี () 2GF เราได้รับเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นสำหรับจำนวนรงค์กรัมและเป็นแอพลิเคชันของผลข้างต้นเราจะให้ตัวละครสำหรับกราฟเครื่องบินสูงสุด จะต้องมี 4 สี 2. เส้นพื้นที่กว่า GF (2) ตอนนี้เราแนะนำพื้นที่เชิงเส้นมากกว่าสนาม () 2GF ประการแรกฟิลด์ () 2GF มีเพียงสองสมาชิก: () {} = 20,1GF ที่บวกและการคูณมีตามปกติยกเว้นที่ 110 + = Let {} 12 ,,, nnVaaa = เป็นจุด n, เวกเตอร์ทั้งหมดของพื้นที่เชิงเส้น nA จะเกิดขึ้นของการแสดงออกทางสัญลักษณ์ () 1 2niiiiaGFαα = ∈Σ มันมีพาหะ 2n นอกเหนือจากสองเวกเตอร์จะถูกกำหนดโดย () 111nnniiiiiiiiiiaaaαβαβ === + + = ΣΣΣ ที่นี่จุด n {} 12 ,,, naaaจะทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบพื้นฐานที่สุดของพื้นที่เชิงเส้น nA พวกเขาจะเป็นพื้นฐานของพื้นที่เชิงเส้นนา สำหรับพวกเขาสมมติฐานพื้นฐานคือว่าสิ่งเหล่านี้เป็นจุด n บุ๋มอิสระเป็นเส้นตรงในนา.
เปิด