Definition 1.A rectilinear figure i

Definition 1.
A rectilinear figure is said to be inscribed in a rectilinear figure when the respective angles of the inscribed figure lie on the respective sides of that in which it is inscribed.
Definition 2.
Similarly a figure is said to be circumscribed about a figure when the respective sides of the circumscribed figure pass through the respective angles of that about which it is circumscribed.
Definition 3.
A rectilinear figure is said to be inscribed in a circle when each angle of the inscribed figure lies on the circumference of the circle.
Definition 4.
A rectilinear figure is said to be circumscribed about a circle when each side of the circumscribed figure touches the circumference of the circle.
Definition 5.
Similarly a circle is said to be inscribed in a figure when the circumference of the circle touches each side of the figure in which it is inscribed.
Definition 6.
A circle is said to be circumscribed about a figure when the circumference of the circle passes through each angle of the figure about which it is circumscribed.
Definition 7.
A straight line is said to be fitted into a circle when its ends are on the circumference of the circle.
Propositions

Proposition 1.
To fit into a given circle a straight line equal to a given straight line which is not greater than the diameter of the circle.
Proposition 2.
To inscribe in a given circle a triangle equiangular with a given triangle.
Proposition 3.
To circumscribe about a given circle a triangle equiangular with a given triangle.
Proposition 4.
To inscribe a circle in a given triangle.
Proposition 5.
To circumscribe a circle about a given triangle.
Corollary. When the center of the circle falls within the triangle, the triangle is acute-angled; when the center falls on a side, the triangle is right-angled; and when the center of the circle falls outside the triangle, the triangle is obtuse-angled.

Proposition 6.
To inscribe a square in a given circle.
Proposition 7.
To circumscribe a square about a given circle.
Proposition 8.
To inscribe a circle in a given square.
Proposition 9.
To circumscribe a circle about a given square.
Proposition 10.
To construct an isosceles triangle having each of the angles at the base double the remaining one.
Proposition 11.
To inscribe an equilateral and equiangular pentagon in a given circle.
Proposition 12.
To circumscribe an equilateral and equiangular pentagon about a given circle.
Proposition 13.
To inscribe a circle in a given equilateral and equiangular pentagon.
Proposition 14.
To circumscribe a circle about a given equilateral and equiangular pentagon.
Proposition 15.
To inscribe an equilateral and equiangular hexagon in a given circle.
Corollary. The side of the hexagon equals the radius of the circle.

And, in like manner as in the case of the pentagon, if through the points of division on the circle we draw tangents to the circle, there will be circumscribed about the circle an equilateral and equiangular hexagon in conformity with what was explained in the case of the pentagon.

And further by means similar to those explained in the case of the pentagon we can both inscribe a circle in a given hexagon and circumscribe one about it.

Proposition 16.
To inscribe an equilateral and equiangular fifteen-angled figure in a given circle.
Corollary. And, in like manner as in the case of the pentagon, if through the points of division on the circle we draw tangents to the circle, there will be circumscribed about the circle a fifteen-angled figure which is equilateral and equiangular.

And further, by proofs similar to those in the case of the pentagon, we can both inscribe a circle in the given fifteen-angled figure and circumscribe one about it.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นิยามที่ 1กล่าวตัวเลขที่เป็นเส้นตรงจะถูกจารึกไว้ในรูปที่เป็นเส้นตรงเมื่อแต่ละมุมของรูปจารึกไว้อยู่บนด้านที่มีจารึกไว้ข้างละนิยามที่ 2ในทำนองเดียวกัน ตัวเลขจะกล่าวอ้างเกี่ยวกับรูปเมื่อด้านข้างตามลำดับของตัวเลขอ้างผ่านมุมนั้น ๆ ที่ซึ่งมันจะอ้างนิยามที่ 3กล่าวตัวเลขที่เป็นเส้นตรงจะถูกจารึกไว้ในวงกลมเมื่อแต่ละมุมของรูปจารึกไว้อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมนิยามที่ 4ตัวเลขที่เป็นเส้นตรงจะกล่าวอ้างเกี่ยวกับวงกลมเมื่อสัมผัสแต่ละด้านของตัวเลขที่อยู่ในเส้นรอบวงของวงกลมนิยาม 5ในทำนองเดียวกัน วงกล่าวว่า จารึกในรูปเมื่อสัมผัสเส้นรอบวงของวงกลมแต่ละด้านของรูปในที่ที่มันถูกจารึกไว้ด้วยนิยามที่ 6วงกลมจะกล่าวอ้างเกี่ยวกับรูปเมื่อเส้นรอบวงของวงกลมผ่านจากแต่ละมุมของรูปซึ่งมันจะอ้างคำจำกัดความของ 7เส้นตรงมีกล่าวถึงประกอบเป็นวงกลมเมื่อปลายบนเส้นรอบวงของวงกลมข้อเสนอเรื่องที่ 1พอดีเป็นวงกลมให้เป็นเส้นตรงเท่ากับเส้นตรงที่กำหนดซึ่งไม่มากกว่าเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมเสนอ 2จารึกในวงกำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมเท่ากับรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดข้อเสนอที่ 3การ circumscribe เกี่ยวกับวงกลมกำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมเท่ากับรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดเรื่องที่ 4จารึกเป็นวงกลมในรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดเรื่องที่ 5การ circumscribe วงเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดCorollary เมื่อศูนย์กลางของวงกลมอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมเป็นเฉียบพลันมุม เมื่อศูนย์กลางตั้งอยู่ด้านบน สามเหลี่ยมเป็น angled ขวา และเมื่อศูนย์กลางของวงกลมอยู่นอกสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมเป็นมุม obtuseเรื่องที่ 6จารึกในวงที่กำหนดเรื่องที่ 7การ circumscribe สแควร์เกี่ยวกับวงกลมกำหนดเรื่องที่ 8จารึกเป็นวงกลมในสี่เหลี่ยมที่กำหนดเรื่องที่ 9การ circumscribe วงเกี่ยวกับตารางกำหนดเรื่องที่ 10การสร้าง รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมที่ฐานแต่ละคู่หนึ่งเหลือเรื่องที่ 11จารึกเป็นรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า และมุมเท่าเป็นวงกลมที่กำหนดเรื่องที่ 12ให้ circumscribe เป็นรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า และมุมเท่าเกี่ยวกับวงกลมกำหนดเรื่องที่ 13จารึกเป็นวงกลมในรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า และมุมเท่าที่กำหนดเรื่องที่ 14การ circumscribe วงเกี่ยวกับรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า และมุมเท่าที่กำหนดเรื่องที่ 15จารึกเป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า และมุมเท่าเป็นวงกลมที่กำหนดCorollary ด้านของรูปหกเหลี่ยมเท่ากับรัศมีของวงกลมและ เหมือนอย่างเช่นในกรณีของเพนตากอน ถ้าผ่านจุดของส่วนบนวงกลม ที่เราวาด tangents ไปยังวงกลม มีจะสามารถอ้างเกี่ยวกับวงกลมเป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า และมุมเท่าทำอะไรถูกอธิบายในกรณีของรูปห้าเหลี่ยมและเพิ่มเติม ด้วยวิธีการคล้ายกับที่อธิบายในกรณีของรูปห้าเหลี่ยม เราสามารถทั้งจารึกวงในหกเหลี่ยมกำหนด และ circumscribe หนึ่งเกี่ยวกับมันเรื่องที่ 16จารึกด้านเท่า และมุมเท่ามุมสิบห้ารูปเป็นวงกลมที่กำหนดCorollary และ เหมือนอย่างเช่นในกรณีของเพนตากอน ถ้าผ่านจุดของส่วนบนวงกลม ที่เราวาด tangents ไปยังวงกลม มีจะสามารถอ้างเกี่ยวกับรูปวงกลมห้ามุม ที่ด้านเท่ามุมเท่าและต่อไป โดยหลักฐานเหมือนกับในกรณีของรูปห้าเหลี่ยม เราสามารถทั้งจารึกวงในกำหนดสิบห้ามุมภาพ และ circumscribe หนึ่งเกี่ยวกับเรื่องนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความหมาย 1.
ร่างเป็นเส้นตรงกล่าวคือจะต้องจารึกไว้ในรูปที่เป็นเส้นตรงเมื่อมุมที่เกี่ยวข้องของการโกหกตัวเลขที่จารึกไว้บนด้านที่เกี่ยวข้องที่อยู่ในที่ที่มันจะถูกจารึกไว้.
นิยาม 2.
ในทำนองเดียวกันรูปกล่าวคือจะต้อง circumscribed เกี่ยวกับตัวเลข เมื่อฝ่ายที่เกี่ยวข้องของร่าง circumscribed ผ่านมุมที่เกี่ยวข้องของที่เกี่ยวกับการที่มันเป็น circumscribed.
นิยาม 3.
รูปเป็นเส้นตรงกล่าวคือจะต้องจารึกไว้ในวงกลมเมื่อมุมของรูปที่ถูกจารึกไว้ในแต่ละอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม
นิยาม 4.
รูปเป็นเส้นตรงกล่าวจะ circumscribed เกี่ยวกับวงกลมเมื่อด้านข้างของร่าง circumscribed แต่ละสัมผัสเส้นรอบวงของวงกลม.
นิยาม 5.
ในทำนองเดียวกันวงกลมกล่าวคือจะต้องจารึกไว้ในรูปเมื่อเส้นรอบวงของวงกลมสัมผัสแต่ละ ด้านข้างของตัวเลขในการที่จะถูกจารึกไว้.
นิยาม 6.
วงกลมกล่าวจะ circumscribed เกี่ยวกับตัวเลขเมื่อเส้นรอบวงของวงกลมผ่านมุมของรูปแต่ละเกี่ยวกับการที่มันเป็น circumscribed.
นิยาม 7.
เป็นเส้นตรงมีการกล่าว ที่จะติดตั้งเป็นวงกลมเมื่อปลายอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม. การ
ข้อเสนอ

ข้อเสนอที่ 1.
เพื่อให้พอดีกับวงกลมที่กำหนดเป็นเส้นตรงเท่ากับเป็นเส้นตรงที่กำหนดซึ่งไม่ได้เป็นใหญ่กว่าเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม.
โจทย์ 2
จารึกในวงกลมที่กำหนดมีมุมทุกมุมเท่ากันรูปสามเหลี่ยมที่มีรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด.
โจทย์ 3.
เพื่อ จำกัด วงเกี่ยวกับวงกลมที่กำหนดมีมุมทุกมุมเท่ากันรูปสามเหลี่ยมที่มีรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด.
โจทย์ 4.
จารึกวงกลมในรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด.
โจทย์ 5.
เพื่อ จำกัด วงวงกลม เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด.
ควันหลง เมื่อศูนย์กลางของวงกลมที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมรูปสามเหลี่ยมเป็นแบบเฉียบพลันมุม; เมื่อศูนย์ตรงกับด้านสามเหลี่ยมเป็นมุมฉาก; และเมื่อศูนย์กลางของวงกลมที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมรูปสามเหลี่ยมเป็นป้าน-มุม.

โจทย์ 6.
จารึกตารางในวงกลม.
โจทย์ 7.
การ จำกัด วงตารางเกี่ยวกับวงกลม.
Proposition 8
จารึกวงกลม ในตารางที่กำหนด.
โจทย์ 9.
การ จำกัด วงวงกลมเกี่ยวกับตารางที่กำหนด.
โจทย์ 10.
การสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีแต่ละมุมที่ฐานคู่ที่เหลืออีกหนึ่ง.
โจทย์ 11.
จารึกด้านเท่ากันหมดและมีมุมทุกมุมเท่ากันในเพนตากอน รับวงกลม.
โจทย์ 12.
การ จำกัด วงด้านเท่ากันหมดและมีมุมทุกมุมเท่ากันเพนตากอนเกี่ยวกับวงกลม.
โจทย์ 13.
จารึกวงกลมในสามเหลี่ยมด้านเท่าที่กำหนดและมีมุมทุกมุมเท่ากันเพนตากอน.
โจทย์ 14.
การ จำกัด วงวงกลมประมาณสามเหลี่ยมด้านเท่าที่กำหนดและมีมุมทุกมุมเท่ากันเพนตากอน.
โจทย์ 15 .
จารึกด้านเท่ากันหมดและหกเหลี่ยมมีมุมทุกมุมเท่ากันในวงกลมที่กำหนด.
ควันหลง ด้านของรูปหกเหลี่ยมเท่ากับรัศมีของวงกลม.

และในทำนองเดียวกันเช่นในกรณีของเพนตากอนถ้าผ่านจุดของการแบ่งวงกลมที่เราวาดเสียบ้างเพื่อวงกลมจะมี circumscribed เกี่ยวกับวงกลมด้านเท่ากันหมด และหกเหลี่ยมมีมุมทุกมุมเท่ากันให้สอดคล้องกับสิ่งที่ได้อธิบายในกรณีของเพนตากอน.

และต่อไปโดยวิธีการคล้ายกับที่อธิบายในกรณีของเพนตากอนที่เราทั้งสองสามารถจารึกวงกลมในรูปหกเหลี่ยมที่กำหนดและ จำกัด วงหนึ่งเกี่ยวกับเรื่องนี้.

โจทย์ 16.
การ จารึกด้านเท่ากันหมดและมีมุมทุกมุมเท่ากันรูปที่สิบห้ามุมในวงกลมที่กำหนด.
ควันหลง และในทำนองเดียวกันเช่นในกรณีของเพนตากอนถ้าผ่านจุดของการแบ่งวงกลมที่เราวาดเสียบ้างเพื่อวงกลมจะมี circumscribed เกี่ยวกับวงกลมเป็นตัวเลขที่สิบห้ามุมซึ่งเป็นด้านเท่ากันหมดและมีมุมทุกมุมเท่ากัน.

และต่อไป โดยหลักฐานอันคล้ายกับผู้ที่อยู่ในกรณีของเพนตากอนที่เราทั้งสองสามารถจารึกวงกลมในรูปที่กำหนดสิบห้ามุมและ จำกัด วงหนึ่งเกี่ยวกับเรื่องนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความละเอียด 1รูปเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง จึงถูกจารึกไว้ในรูปซึ่งเป็นเส้นตรงเมื่อแต่ละมุมของรูปสลักนอนบนด้านข้างของที่นั้นๆ ซึ่งมันสลักว่านิยาม 2ในรูปว่า เป็น พื้นที่ที่ จํากัด เกี่ยวกับตัวเลข เมื่อฝ่ายที่เกี่ยวข้องของพื้นที่ที่ จํากัด รูปผ่านมุมนั้นๆ ของเรื่อง ซึ่งเป็นพื้นที่ที่ จํากัด .คำนิยาม 3รูปเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง จึงถูกจารึกไว้เป็นวงกลม เมื่อแต่ละมุมของรูปสลักอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมความละเอียด 4 .รูปเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง อยู่ในพื้นที่ที่ จํากัด เป็นวงกลม เมื่อแต่ละด้านของพื้นที่ที่ จํากัด รูปสัมผัสเส้นรอบวงของวงกลมนิยาม 5เหมือนกับวงกลมกล่าวจะจารึกไว้ในรูปเมื่อเส้นรอบวงของวงกลมที่สัมผัสกับแต่ละด้านของรูปซึ่งมันสลักว่าความละเอียด 6วงกลม อยู่ในพื้นที่ที่ จํากัด เป็นรูปเมื่อเส้นรอบวงของวงกลมผ่านมุมมองของแต่ละรูป ซึ่งเป็นพื้นที่ที่ จํากัด .ความละเอียด 7 .เส้นตรงกล่าวจะติดตั้งเป็นวงกลมเมื่อสิ้นสุดบนเส้นรอบวงของวงกลมข้อเสนอข้อเสนอที่ 1พอดีเข้าไปให้วงกลมเส้นตรงเท่ากับให้ตรงบรรทัดที่ไม่ใหญ่กว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมข้อเสนอที่ 2จารึกในให้วงกลมรูปสามเหลี่ยมมุมเท่ากับให้สามเหลี่ยมโจทย์ที่ 3การจำกัดเรื่องให้วงกลมรูปสามเหลี่ยมมุมเท่ากับให้สามเหลี่ยมข้อเสนอที่ 4 .จารึกเป็นวงกลมที่ระบุในสามเหลี่ยมข้อเสนอ 5เพื่อจำกัดวงเกี่ยวกับให้สามเหลี่ยมควันหลง . เมื่อศูนย์กลางของวงกลมอยู่ภายในสามเหลี่ยม , สามเหลี่ยมแหลมมุม เมื่อศูนย์ตกข้าง สามเหลี่ยมคือมุมขวา และเมื่อกลางวงกลมตกอยู่นอกสามเหลี่ยม , สามเหลี่ยมเป็นป้านมุม .ข้อเสนอ 6ไปลงชื่อตารางที่ระบุในวงกลมข้อเสนอ 7เพื่อจำกัดตารางเกี่ยวกับให้วงกลมข้อเสนอ 8จารึกเป็นวงกลมในสี่เหลี่ยมให้ .ข้อเสนอ 9การทำให้ล้อมรอบเป็นวงกลมเป็นสี่เหลี่ยมให้ .ข้อเสนอ 10การสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมที่ฐานของแต่ละคู่อีกหนึ่งข้อเสนอ 11จารึกเป็นรูปห้าเหลี่ยมและในมุมเท่าของปาสกาลให้วงกลมข้อเสนอ 12การจำกัดการมีด้านเท่ากันหมด และมุมเท่าเพนตากอนเกี่ยวกับให้วงกลมข้อเสนอ 13จารึกเป็นวงกลมในที่กําหนดของปาสกาลมุมเท่าและเพนตาก้อนข้อเสนอ 14เพื่อจำกัดวงของปาสกาลมุมเท่าเกี่ยวกับให้และเพนตาก้อนข้อเสนอ 15ซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้าน และจารึกเป็นหกเหลี่ยมมุมเท่าที่ระบุในวงกลมควันหลง . ด้านข้างของหกเหลี่ยมเท่ากับรัศมีของวงกลมและเหมือนอย่างในกรณีของเพนตากอน ถ้าผ่านจุด ส่วนที่วงกลมที่เราวาด tangents เพื่อวงกลม จะมีพื้นที่ที่ จํากัด เกี่ยวกับวงการของปาสกาลหกเหลี่ยมมุมเท่าและสอดคล้องกับสิ่งที่ถูกอธิบายในกรณีของเพนตากอนและเพิ่มเติมด้วยวิธีการที่คล้ายกับที่อธิบายในกรณีของเพนตากอน เราทั้งสองสามารถจารึกเป็นวงกลมในให้และรูปหกเหลี่ยมเป็นหย่อมๆหนึ่งเกี่ยวกับมันข้อเสนอ 16ซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้าน และจารึกชื่อไว้ที่มุมรูปในมุมเท่าสิบห้าให้วงกลมควันหลง . และเหมือนอย่างในกรณีของเพนตากอน ถ้าผ่านจุด ส่วนที่วงกลมที่เราวาด tangents เพื่อวงกลม จะมีพื้นที่ที่ จํากัด เกี่ยวกับวงกลมห้ารูปซึ่งเป็นมุมของปาสกาล และมุมเท่า .และต่อไป โดยหลักฐานที่คล้ายคลึงกับในกรณีของเพนตากอน เราทั้งคู่สามารถจารึกเป็นวงกลมในรูป และจำกัดให้สิบห้ามุมหนึ่งเกี่ยวกับมัน