Proof. The mapping◦ϕ is bijective.

Proof. The mapping
◦
ϕ is bijective. First for one-element sets we show
by induction on the complexity of the term t that
◦
ϕ is a homomorphism.
If {t} = {xk}, k ∈ {1, . . . , n}, then
◦
ϕ({xk} ·xi B) =
◦
ϕ({xk}) ·xj
◦
ϕ(B). If
t = fi(t1, . . . , tni
) and suppose that
◦
ϕ({tl} ·xi B) =
◦
ϕ({tl}) ·xj
◦
ϕ(B) for all
1 ≤ l ≤ ni
, then
16 K. Denecke, N. Sarasit
◦
ϕ({t} ·xi B)
=
◦
ϕ(Sˆn
g
({t}, {x1}, . . . , {xi−1}, B, {xi+1}, . . . , {xn}))
=
◦
ϕ(Sˆn
g
({fi(t1, . . . , tni
)}, {x1}, . . . , {xi−1}, B, {xi+1}, . . . , {xn}))
=
◦
ϕ({fi(r1, . . . , rni
) | rl ∈ Sˆn
g
({tl}, {x1}, . . . , {xi−1}, B, {xi+1}, . . . , {xn}), 1 ≤ l ≤ ni})
= {ϕ(fi(r1, . . . , rni
)) | rl ∈ Sˆn
g
({tl}, {x1}, . . . , {xi−1}, B, {xi+1}, . . . , {xn}), 1 ≤ l ≤ ni}
= {fi(ϕ(r1), . . . , ϕ(rni
)) | rl ∈ Sˆn
g
({tl}, {x1}, . . . , {xi−1}, B, {xi+1}, . . . , {xn}),
1 ≤ l ≤ ni}
since ϕ is an endomorphism of Fτ (X)
= {fi(s1, . . . , sni
) | sk ∈
◦
ϕ(Sˆn
g
({tl}, {x1}, . . . , {xi−1}, B, {xi+1}, . . . , {xn})),
1 ≤ k, l ≤ ni}
= {fi(s1, . . . , sni
) | sk ∈
◦
ϕ({tl} ·xi B), 1 ≤ k, l ≤ ni}
= {fi(s1, . . . , sni
) | sk ∈
◦
ϕ({tl}) ·xj
◦
ϕ(B), 1 ≤ k, l ≤ ni}
= {fi(s1, . . . , sni
) | sk ∈ Sˆn
g
(
◦
ϕ({tl}), {x1}, . . . , {xj−1},
◦
ϕ(B), {xj+1}, . . . , {xn})),
1 ≤ k, l ≤ ni}
= Sˆn
g
({fi(ϕ(t1), . . . , ϕ(tni
))}, {x1}, . . . , {xj−1,
◦
ϕ(B), {xj+1}, . . . , {xn})
= Sˆn
g
({ϕ(fi(t1, . . . , tni
)}, {x1}, . . . , {xj−1},
◦
ϕ(B), {xj+1}, . . . , {xn})
= Sˆn
g
(
◦
ϕ({fi(t1, . . . , tni
)}), {x1}, . . . , {xj−1},
◦
ϕ(B), {xj+1}, . . . , {xn})
=
◦
ϕ({t}) ·xj
◦
ϕ(B).
If A is an arbitrary subset of Wτ (X), then
◦
ϕ(A ·xi B)
=
◦
ϕ(
S
a∈A
{a}) ·xi B)
=
S
a∈A
◦
ϕ({a} ·xi B)
=
S
a∈A
◦
ϕ({a}) ·xj
◦
ϕ(B)
=
◦
ϕ(
S
a∈A
{a}) ·xj
◦
ϕ(B)
=
◦
ϕ(A) ·xj
◦
ϕ(B).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน การแม็ป◦Φคือ bijective ครั้งแรก สำหรับชุดองค์ประกอบหนึ่ง เราแสดงโดยเหนี่ยวนำบนความซับซ้อนของระยะที่◦Φคือ homomorphism เป็นถ้า {t } = {xk }, k ∈ {1,..., n }, แล้ว◦Φ ({xk } ·xi B) =◦Φ({xk}) ·xj◦Φ(B) ถ้าt =เน็ต (t1,... tni) และสมมุติว่า◦Φ ({tl } ·xi B) =◦Φ({tl}) ·xj◦Φ(B) ทั้งหมด1 ≤ l ≤นิจากนั้น16 K. Denecke, N. Sarasit◦Φ ({t } ·xi B)=◦Φ (Sˆnกรัม({t }, {x 1 }, ..., {xi−1 }, B, {xi + 1 }, ..., {xn }))=◦Φ (Sˆnกรัม({เน็ต (t1,... tni{) }, {x1 },..., {xi−1 }, B, {xi + 1 }, ..., {xn }))=◦Φ ({เน็ต (r1,... rni) | rl ∈ Sˆnกรัม({tl }, {x 1 }, ..., {xi−1 }, B, {xi + 1 }, ..., {xn }), 1 ≤ l ≤ ni })= {(Fi (r1,... rni ϕ)) | rl ∈ Sˆnกรัม({tl }, {x 1 }, ..., {xi−1 }, B, {xi + 1 }, ..., {xn }), 1 ≤ l ≤ ni }= {fi(ϕ(r1),..., ϕ (rni)) | rl ∈ Sˆnกรัม({tl }, {x1 },..., {xi−1 }, B, {xi + 1 }, ..., {xn }),1 ≤ l ≤ ni }ϕเป็น endomorphism เป็นของ Fτ (X)= {เน็ต (s1,... sni) | sk ∈◦Φ (Sˆnกรัม({tl }, {x 1 }, ..., {xi−1 }, B, {xi + 1 }, ..., {xn })),1 ≤ k, l ≤ ni }= {เน็ต (s1,... sni) | sk ∈◦Φ ({tl } ·xi B), 1 ≤ k, l ≤ ni }= {เน็ต (s1,... sni) | sk ∈◦Φ({tl}) ·xj◦Φ(B), 1 ≤ k, l ≤ ni }= {เน็ต (s1,... sni) | sk ∈ Sˆnกรัม(◦Φ({tl}), {x1 },..., {xj−1 },◦Φ(B), {xj + 1 }, ..., {xn })),1 ≤ k, l ≤ ni }= Sˆnกรัม({fi(ϕ(t1),..., ϕ (tni))}, {x1}, . . . , {xj−1,◦Φ(B), {xj + 1 }, ..., {xn })= Sˆnกรัม({Φ (fi (t1,... tni)}, {x1}, . . . , {xj−1},◦Φ(B), {xj + 1 }, ..., {xn })= Sˆnกรัม(◦Φ ({เน็ต (t1,... tni)}), {x1}, . . . , {xj−1},◦Φ(B), {xj + 1 }, ..., {xn })=◦Φ({t}) ·xj◦Φ(B)ถ้าเป็นการกำหนดชุดย่อยของ Wτ (X), จากนั้น◦Φ (แบบ ·xi B)=◦Φ(Sa∈A·xi {a }) B)=Sa∈A◦Φ ({} ·xi B)=Sa∈A◦Φ({a}) ·xj◦Φ(B)=◦Φ(Sa∈A·xj {a })◦Φ(B)=◦Φ(A) ·xj◦Φ(B)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พิสูจน์ การทำแผนที่
◦
ไวเป็น bijective ครั้งแรกสำหรับชุดหนึ่งองค์ประกอบที่เราจะแสดง
โดยอุปนัยกับความซับซ้อนของเสื้อคำว่า
◦
φเป็น homomorphism ได้.
ถ้า {t} = {} XK, k ∈ {1, . . , n} แล้ว
◦
ไว ({} · XK Xi B) =
◦
ไว ({} XK) · XJ
◦
ไว (B) ถ้า
t = Fi (T1,..., TNI
) และสมมติว่า
◦
ไว ({TL} · Xi B) =
◦
ไว ({TL}) · XJ
◦
ไว (B) สำหรับทุก
1 ≤ L ≤พรรณี
แล้ว
16 เค Denecke เอ็น Sarasit
◦
ไว ({T} · Xi B)
=
◦
ไว (Sn
G
({T}, {X1}... {Xi-1}, B, {Xi + 1} ,... {xn}))
=
◦
ไว (Sn
G
({Fi (T1,..., TNI
)}, {X1}... {Xi-1}, B, {Xi + 1 }, {xn}))...
=
◦
ไว ({Fi (R1, RNI...
) | RL ∈ Sn
G
({TL}... {X1}, {Xi-1} B, {Xi + 1}, {xn}) 1 ≤≤ L พรรณี})...
= {φ (FI (R1, RNI...
)) | RL ∈ Sn
G
({TL}, {X1}... {Xi-1}, B, {Xi + 1}... {xn}) 1 ≤ L ≤พรรณี}
= {Fi ( φ (R1), φ (RNI...
)) | RL ∈ Sn
G
({TL}, {X1}... {Xi-1}, B, {Xi + 1}... {xn}),
1 ≤ L ≤พรรณี}
ตั้งแต่φเป็น endomorphism ของFτ (X)
= {Fi (S1, sni...
) | SK ∈
◦
ไว (Sn
G
({TL}, {X1}... {Xi-1}, B, {Xi + 1}... {xn}))
1 ≤ K, L ≤ พรรณี}
= {Fi (... S1, SNI
) | SK ∈
◦
ไว ({} · TL Xi B) 1 ≤ K, L ≤พรรณี}
= {Fi (S1, sni...
) | SK ∈
◦
ไว ({} TL) · XJ
◦
ไว (B), 1 ≤ K, L ≤พรรณี}
= {Fi (S1, sni...
) | SK ∈ Sn
กรัม
(
◦
φ ({TL}) {X1}... {XJ-1}
◦
φ (B) {XJ + 1}... {xn}))
1 ≤ K, L ≤พรรณี}
= Sn
G
({Fi (φ (T1)..., φ (TNI
))}, {X1}... {XJ-1
◦
φ (B), { XJ + 1}... {xn})
= Sn
G
({φ (FI (T1,..., TNI
)}, {X1}... {XJ-1}
◦
φ (B ) {XJ + 1}... {xn})
= Sn
กรัม
(
◦
ไว ({Fi (T1,..., TNI
)}) {X1}... {XJ-1} ,
◦
φ (B) {XJ + 1}... {xn})
=
◦
φ ({T}) · XJ
◦
φ (B).
ถ้าเป็นเซตโดยพลการของWτ (X) แล้ว
◦
ไว (A · Xi B)
=
◦
ไว (
S
a∈A
{A}) · Xi B)
=
S
a∈A
◦
ไว ({A} · Xi B)
=
S
a∈A
◦
ไว ({A} ) · XJ
◦
ไว (B)
=
◦
ไว (
S
a∈A
{A}) · XJ
◦
ไว (B)
=
◦
ไว (A) · XJ
◦
ไว (B)