Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vo

Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol. 7, 2012, no. 42, 2053 - 2059
Fibonacci Identities as Binomial Sums II
Mohammad K. Azarian
Department of Mathematics
University of Evansville
1800 Lincoln Avenue, Evansville, IN 47722, USA
[e-mail]
Abstract
As in [2], our goal in this article is to write some more prominent and
fundamental identities regarding Fibonacci numbers as binomial sums.
Mathematics Subject Classification: 05A10, 11B39
Keywords: Fibonacci numbers, Fibonacci sequence, Fibonacci identities
1. Introduction
The most well-known linear homogeneous recurrence relation of order two
with constant coefficients is
Fn+2 = Fn+1 + Fn, where F0 = 0, F1 = 1, and n ≥ 0.
This recurrence relation produces the most popular and widely-used integer
sequence 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., namely, the famous Fibonacci sequence. As
in [2], to facilitate rapid numerical calculations of identities pertaining to Fibonacci
numbers we write some of these fundamental identities as binomial
sums.
Hundreds of Fibonacci identities have been developed over the centuries
by numerous mathematicians and number enthusiasts. They have been published
in various journals and books for at least the past two centuries. The
Fibonacci Quarterly is a good source for those Fibonacci identities that have
been published since 1962. An impressive collection of over 200 known Fibonacci
identities, and in most cases along with the name of the original author,
can be found in [15], by Thomas Koshy. Another source for some well-known
Fibonacci identities is [4], by Marjorie Bicknel and Verner E. Hoggatt. Like
many ideas in mathematics it may not be possible to find the true and genuine
2054 M. K. Azarian
author of some of the Fibonacci identities. However, the following individuals
authored at least one of the identities that we have presented in this paper: R.
H. Anglin [1], G. Candido [5], L. Carlitz [6], J. Ginsburg [7], H. W. Gould [8],
R. L. Graham [9], J. H. Halton [10], V. E. Hoggatt Jr. [11, 12], V. E. Hoggatt
Jr. and G. E. Bergum [13], J. A. H. Hunter [14], T. Koshy [15-17], D. Lind
[18], P. Mana [19], G. C. Padilla [20, 21], C. B. A. Peck [22], C. W. Raine [23],
K. S. Rao [24], R. S. Seamons [25], M. N. S. Swamy [27, 28], G. Wulczyn [29],
C. C. Yalavigi [30], D. Zeitlin and F. D. Parker [31].
2. Identities
It is known that the left-hand side of Fibonacci identities in Theorems 2.2-
2.7 can be written as a (power of a ) single Fibonacci number. We acknowledge
that we have not independently verified the validity of some of these identities.
To proceed, first we recall the following theorem from [1].
Theorem 2.1 [1]. If Fn is any Fibonacci number, then
Fn+1 =
n
0

+
n − 1
1

+
n − 2
2

+ ... +
n − n
2  + 1
n
2  − 1

+
n − n
2 
n
2 

=
n
2 

i=0

n − i
i

, n ≥ 0.
To prove Theorems 2.2-2.7 we can simply use Theorem 2.1, and the fact
that each Fibonacci identity on the left-hand side can be written as a (power
of a ) single Fibonacci number. Or, we could use the principle of mathematical
induction, combinatorial arguments, or just simple algebra to prove these
theorems. However, we caution the reader that some of these identities have
been somewhat modified to fit a desired format and they may not look exactly
as they appear in the literature.
Theorem 2.2.
(i) Fn+1(FnFn+2 − F2
n+1)=(−1)n+1
n
2 

i=0
n−i
i

(ii) F2
n + F2
n+4 − 
4F2
n+2 + F2
n+3
= 1
2 [1 + (−1)n] +n
i=0
FiFi+1
= Fn+1Fn+2 −n
i=0
F2
i = 1
2 [1 + (−1)n]+(n + 1)Fn+1Fn+2 −n+1
i=0
iF2
i
Fibonacci Identities as binomial sums II 2055
=
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
2
(iii) F3
n+3 + 2F3
n+2 − 1
3
(F3
n + F3
n+4) =
⎡
⎣
n
2 

i=0
n − i
i
⎤
⎦
3
(iv) F2
n+2(F2
n+2 − 4FnFn+1) + F2
n(2F2
n+1 − F2
n)
= 1
2
(F2
n +F2
n+1 +F2
n+2)
2 −(F4
n +F4
n+2)=2 
2F2
n+1 − (−1)n2
−(F4
n +F4
n+2)
=
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
4
(v) F5
n+2 + 5FnFn+1Fn+2(FnFn+1 − F2
n+2) − F5
n =
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
5
(vi) 2[2F2
n+1 − (−1)n]
3 + 3F2
nF2
n+1F2
n+2 − (F6
n + F6
n+2) =
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
6
(vii) 8F2
nF2
n+1(F4
n + F4
n+1 + 4F2
nF2
n+1 + 3FnFn+1F2n+1) − (F8
n + F8
n+2)
+2[2F2
n+1 − (−1)n]
4 =
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
8
Theorem 2.3.
(i) F2
n+1 + FnFn+3 =
⎡
⎣
n+1
2 

i=0
n+1−i
i

⎤
⎦
2
(ii) F3
n + F3
n+1 + 3FnFn+1Fn+2 =
⎡
⎣
n+1
2 

i=0
n+1−i
i

⎤
⎦
3
(iii) F5
n + F5
n+1 + 5FnFn+1Fn+2[2F2
n+1 − (−1)n] =
⎡
⎣
n+1
2 

i=0
n+1−i
i

⎤
⎦
5
(iv) F7
n + F7
n+1 + 7FnFn+1Fn+2[2F2
n+1 − (−1)n]
2 =
⎡
⎣
n+1
2 

i=0
n+1−i
i

⎤
⎦
7
2056 M. K. Azarian
Theorem 2.4.
(i) 2(F2
n+1 + F2
n+2) − F2
n =
⎡
⎣
n+2
2 

i=0
n+2−i
i

⎤
⎦
2
(ii) F3
n + F3n+3 + 3Fn+1Fn+2Fn+3 =
⎡
⎣
n+2
2 

i=0
n+2−i
i

⎤
⎦
3
(iii) 55(F4
n+8 − F4
n+2) − 385(F4
n+6 − F4
n+4) + F4
n =
⎡
⎣
n+9
2 

i=0
n + 9 − i
i
⎤
⎦
4
Theorem 2.5.
(i) F2
n + F2
n+1 = n
i=0
2n−i
i

(ii) F2
n+2 − F2
n = Fn+1(Fn + Fn+2) =
2n+1
2 

i=0
2n+1−i
i

(iii) F2
2n+2(F2n+1F2n+3 − F2
2n+2) = n
i=0
F4i+2 =
⎡
⎣
2n+1
2 

i=0
2n+1−i
i

⎤
⎦
2
(iv) Fn+2Fn+3 − FnFn+1 = n+1
i=0
2n + 2 − i
i

(v) (FnFn+3)2 + (2Fn+1Fn+2)2 =


n+1
i=0
2n+2−i
i

2
Theorem 2.6.
(i) Fn+1 
5F2
n+1 − 3(−1)n
= F3
n+3 − F3
n − 3Fn+1Fn+2Fn+3
= F3
n+1 + F3
n+2 − F3
n =
3n+2
2 

i=0
3n+2−i
i

(ii) 10n+1
i=0
F3
i − [5 + 6(−1)nFn] =
3n+4
2 

i=0
3n + 4 − i
i

(iii) F3n + 4F3n+3 = 1
3

F3
n+4 + F3
n − 3F3
n+2
=
3n+5
2 

i=0

3n + 5 − i
i

Fibonacci Identities as binomial sums II 2057
Theorem 2.7.
(i) 3 + 25n
i=1

i
j=1
F2
2j−1 − 5n(n + 1) − F4n+3 = 
2n
i=0
4n − i
i

(ii) 1+2n + 5n
i=0
F2
2i =
4n+1
2 

i=0
4n+1−i
i

(iii) 5n
i=0
F2
2i+1 − 2(n + 1) =
4n+3
2 

i=0
4n+3−i
i

3. Conclusion
Out of hundreds of Fibonacci identities that have been developed over the
centuries, we have presented just a sample of known Fibonacci identities as
binomial sums here and in [2]. Also, we are hoping that these two articles may
serve as a catalyst for the reader to write her/his favorite Fibonacci identities
as binomial sums. Additionally, in a forthcoming article we will present some
other prominent identities involving Lucas or Lucas and Fibonacci numbers as
binomial sums.
References
[1] R. H. Anglin, Problem B-160, The Fibonacci Quarterly, Vol. 8, No. 1,
Feb. 1970, p. 107.
[2] M. K. Azarian, Fibonacci Identities as Binomial Sums, International
Journal of Contemporary Mathematical Sciences, Vol. 7, No. 38, 2012, pp.
1871 - 1876.
[3] M. K. Azarian, The Generating Function for the Fibonacci Sequence,
Missouri Journal of Mathematical Sciences, Vol. 2, No. 2, Spring 1990, pp.
78-79.
[4] M. Bicknel and V. E. Hoggatt, Fibonacci’s Problem Book, The Fibonacci
Association, 1974.
[5] G. Candido, A Relationship Between the Fourth Powers of the Terms
of the Fibonacci Series, Scripta Mathematica, Vol. 17, No. 3-4, Sept. – Dec.
1951, p. 230.
[6] L. Carlitz, Problem B-110, The Fibonacci Quarterly, Vol. 5, No. 5,
Dec. 1967, pp. 469-470.
[7] J. Ginsburg, A Relationship Between Cubes of Fibonacci Numbers,
Scripta Mathematica, Vol. 19, Dec. 1953, p. 242.
[8] H. W. Gould, Problem B-7, The Fibonacci Quarterly, Vol. 1, No. 3,
Oct. 1963, p. 80.
2058 M. K. Azarian
[9] R. L. Graham, Problem H-45, The Fibonacci Quarterly, Vol. 3, No. 2,
April 1965, pp. 127-128.
[10] J. H. Halton, On a General Fibonacci Identity, The Fibonacci Quarterly,
Vol. 3, No. 1, Feb. 1965, pp. 31-43.
[11] V. E. Hoggatt Jr., Problem H-39, The Fibonacci Quarterly, Vol. 2,
No. 2, April 1964, p. 124.
[12] V. E. Hoggatt Jr., Problem H-77, The Fibonacci Quarterly, Vol. 5,
No. 3, Oct. 1967, pp. 256-258.
[13] V. E. Hoggatt Jr., and G. E. Bergum, A Problem of Fermat and the
Fibonacci Sequence, The Fibonacci Quarterly, Vol. 15, No. 4, Oct. 1977, pp.
323-330.
[14] J. A. H. Hunter, Fibonacci Yet Again, The Fibonacci Quarterly, Vol.
4, No. 3, Oct. 1966, p. 273.
[15] T. Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, John Wiley
& Sons, Inc., 2001.
[16] T. Koshy, The Convergence of a Lucas Series, The Mathematical
Gazette, Vol. 83, July 1999, p. 272-274.
[17] T. Koshy, New Fibonacci and Lucas Identities, The Mathematical
Gazette, Vol. 82, Nov. 1988, pp.481-484.
[18] D. Lind, Problem B-85, The Fibonacci Quarterly, Vol. 4, No. 4, Dec.
1966, pp. 376-377.
[19] P. Mana, Problem B-152, The Fibonacci Quarterly, Vol. 7, No. 3,
Oct. 1963, p. 336.
[20] G. C. Padilla, Problem B-173, The Fibonacci Quarterly, Vol. 8, No.
4, Oct. 1970, p. 445.
[21] G. C. Padilla, Problem B-172, The Fibonacci Quarterly, Vol. 8, No.
4, Oct. 1970, pp. 444-445.
[22] C. B. A. Peck, Editorial Note, The Fibonacci Quarterly, Vol. 8, No.
4, Oct. 1970, p. 392.
[23] C. W. Raine, Pythagorean Triangles from the Fibonacci Series 1,1,2,3,5,8,
Scripta Mathematica, Vol. 14, 1948, p. 164.
[24] K. S. Rao, Some Properties of Fibonacci Numbers, The American
Mathematical Monthly, Vol. 60, No. 10, Dec. 1953, pp. 680-684.
[25] R. S. Seamons, Problem B-107, The Fibonacci Quarterly, Vol. 5, No.
1, Feb. 1967, p. 107.
[26] N. J. Sloan, http://oeis.org/A000045&A007318.
[27] M. N. S. Swamy, Problem H-150, The Fibonacci Quarterly, Vol. 8,
No. 4, Oct. 1970, pp. 391-392.
[28] M. N. S. Swamy, Problem B-84, The Fibonacci Quarterly, Vol. 4, No.
1, Feb. 1966, p. 90.
Fibonacci Identities as binomial sums II 2059
[29] G. Wulczyn, Problem B-384, The Fibonacci Quarterly, Vol. 17, No.
3, Oct. 1979, p. 283.
[30] C. C. Yalavigi, Problem B-169, The Fibonacci Quarterly, Vol. 8, No.
2, April 1970, pp. 329-330.
[31] D. Zeitlin and F. D. Parker, Problem H-14, The Fibonacci Quarterly,
Vol. 1, No. 2, April 1963, p. 54.
Received: June, 2012

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ของดอกเบี้ย J. Contemp. คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ปี 7, 2012 หมายเลข 42, 2053-2059รหัสประจำตัวฟีโบนัชชีเป็นทวินามผล IIAzarian คุณอาหรับภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย Evansville1800 ลินคอล์น Avenue, Evansville, IN 47722 สหรัฐอเมริกา[e-mail]บทคัดย่อใน [2], เป้าหมายของเราในบทความนี้จะเขียนโดดเด่นบางมาก และข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับ Fibonacci หมายเลขเป็นทวินามผลคณิตศาสตร์เรื่องประเภท: 05A10, 11B39คำสำคัญ: หมายเลขฟีโบนัชชี ลำดับ Fibonacci, Fibonacci ประจำ1. บทนำความสัมพันธ์เชิงเส้นเหมือนเกิดรู้จักมากที่สุดลำดับ 2กับสัมประสิทธิ์คงFn + 2 = Fn, Fn + 1 ที่ F0 = 0, F1 = 1 และ n ≥ 0ความสัมพันธ์นี้เกิดขึ้นให้เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดนิยม และ ใช้กันอย่างแพร่หลายลำดับ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., ได้แก่ ลำดับที่ Fibonacci มีชื่อเสียง เป็นใน [2], เพื่อช่วยในการคำนวณตัวเลขอย่างรวดเร็วของข้อมูลเฉพาะตัวเกี่ยวกับ Fibonacciตัวเลขที่เราเขียนข้อมูลพื้นฐานเหล่านี้อย่างใดอย่างหนึ่งเป็นแบบทวินามผลรวมได้รับการพัฒนาของ Fibonacci ประจำมากกว่าอื่น ๆโดย mathematicians และหมายเลขผู้ที่ชื่นชอบมากมาย มีการเผยแพร่ในสมุดรายวันต่าง ๆ และหนังสือสำหรับที่ผ่านมาสองศตวรรษ ที่รายไตรมาสของฟีโบนัชชีเป็นแหล่งดีสำหรับ identities Fibonacci ที่มีการเผยแพร่มาตั้งแต่ปี 2505 เก็บความประทับใจของฟีโบนัชชีรู้จักกว่า 200รหัสประจำตัว และ ในกรณีส่วนใหญ่ด้วยชื่อของผู้เขียนต้นฉบับสามารถพบใน [15], โดย Thomas Koshy แหล่งอื่นบางรู้จักฟีโบนัชชีประจำอยู่ [4] , โดย Marjorie Bicknel และ Verner E. Hoggatt เช่นหลายความคิดในวิชาคณิตศาสตร์ก็อาจไม่สามารถค้นหาความจริง และเป็นของแท้Azarian คุณ 2054 เมตรผู้เขียนของประจำฟีโบนัชชี อย่างไรก็ตาม บุคคลต่อไปนี้เขียนอย่างน้อยหนึ่งข้อมูลเฉพาะตัวที่เราได้นำเสนอในเอกสารนี้: อาร์H. Anglin [1], Candido กรัม [5], L. Carlitz [6], J. Ginsburg [7] H. W. Gould [8],R. แกรแฮม L. [9], Halton H. J. [10], V. E. Hoggatt จูเนียร์ [11, 12] V. E. HoggattLind D. จูเนียร์และ G. E. Bergum [13], J. A. H. ฮันเตอร์ [14], ต. Koshy [15-17],[18], P. Mana [19], Padilla C. กรัม [20, 21], เป็ก A. B. C. [22] C. W. Raine [23],คุณเรา S. [24], Seamons S. R. [25], ม. N. S. Swamy [27, 28] Wulczyn กรัม [29],C. C. Yalavigi [30], D. Zeitlin และ F. D. คเกอร์ [31]2. รหัสประจำตัวเป็นที่รู้จักกันที่ด้านซ้ายของ Fibonacci ประจำในทฤษฎี 2.2 -2.7 สามารถเขียนเป็นแบบ (พลังงานของการ) เลขฟีโบนัชชีเดียวได้ เรายอมรับเรามีอิสระไม่ถูกต้องของข้อมูลเหล่านี้ตรวจสอบการดำเนินการ เรายกทฤษฎีบทต่อไปนี้ [1]ทฤษฎีบท 2.1 [1] ถ้า Fn หมายเลขฟีโบนัชชี แล้วFn + 1 =n0+n − 11+n − 22+ ... +n − n2 + 1n2 − 1+n − n2n2= n2ฉัน = 0n −ฉันฉัน, n ≥ 0การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 2.2-2.7 เราก็สามารถใช้ทฤษฎีบท 2.1 และความจริงว่า แต่ละ identity Fibonacci ด้านซ้ายเขียนได้เป็น (พลังงานของตัว) เลขฟีโบนัชชีเดียวกัน หรือ เราสามารถใช้หลักการทางคณิตศาสตร์เหนี่ยวนำ อาร์กิวเมนต์ปัญหา หรือพีชคณิตอย่างง่ายเพียงการพิสูจน์เหล่านี้ทฤษฎีบทความไม่ อย่างไรก็ตาม เราระวังอ่านว่า บางส่วนของตัวตนเหล่านี้ได้แล้วค่อนข้างแก้ไขให้พอดีกับที่ระบุรูปแบบและพวกเขาอาจไม่มองว่าตามที่ปรากฏในวรรณคดีทฤษฎีบทที่ 2.2(i) Fn + 1 (FnFn + 2 − F2n + 1) = (−1) n + 1 n2ฉัน = 0n−iฉัน(ii) F2n + F2n + − 44F2n + 2 + F2n + 3= 12 [1 + (−1) n] + nฉัน = 0FiFi + 1= Fn + 1Fn + 2 − nฉัน = 0F2ฉัน = 12 [1 + n (−1)] + (n + 1) Fn + 1Fn + 2 − n + 1ฉัน = 0iF2ฉันรหัสประจำตัวฟีโบนัชชีเป็นทวินามรวม II 2055=⎡⎣ n2ฉัน = 0n−iฉัน⎤⎦2(iii) F3n + 3 + 2F3n + 2 − 13(F3n + F3n + 4) =⎡⎣ n2ฉัน = 0n −ฉันฉัน⎤⎦3(iv) F2n + 2 (F2n + 2 − 4FnFn + 1) + F2n (2F2n + 1 − F2n)= 12(F2n + F2n + 1 + F2n + 2)− 2 (F4n + F4n + 2) = 2 2F2n + 1 − (−1) n 2− (F4n + F4n + 2)=⎡⎣ n2ฉัน = 0n−iฉัน⎤⎦4(v) F5n + 2 + 5FnFn + 1Fn + 2(FnFn+1 − F2n + 2) − F5n =⎡⎣ n2ฉัน = 0n−iฉัน⎤⎦5(vi) 2 [2F2n + 1 − (−1) n]3 + 3F2nF2n + 1F2n + 2 − (F6n + F6n + 2) =⎡⎣ n2ฉัน = 0n−iฉัน⎤⎦6(vii) 8F2nF2n + 1 (F4n + F4n + 1 + 4F2nF2n + 1 + 3FnFn + 1F2n + 1) − (F8n + F8n + 2)+ 2 [2F2n + 1 − (−1) n]4 =⎡⎣ n2ฉัน = 0n−iฉัน⎤⎦8ทฤษฎีบทที่ 2.3(i) F2n + 1 + FnFn + 3 =⎡⎣ n + 12ฉัน = 0n + 1−iฉัน⎤⎦2(ii) F3n + F3n + 1 + 3FnFn + 1Fn + 2 =⎡⎣ n + 12ฉัน = 0n + 1−iฉัน⎤⎦3(iii) F5n + F5n + 1 + 5FnFn + 1Fn + 2 [2F2n + 1 − (−1) n] =⎡⎣ n + 12ฉัน = 0n + 1−iฉัน⎤⎦5(iv) F7n + F7n + 1 + 7FnFn + 1Fn + 2 [2F2n + 1 − (−1) n]2 =⎡⎣ n + 12ฉัน = 0n + 1−iฉัน⎤⎦7Azarian คุณ 2056 ม.ทฤษฎีบทที่ 2.4(i) 2 (F2n + 1 + F2n + 2) − F2n =⎡⎣ n + 22ฉัน = 0n + 2−iฉัน⎤⎦2(ii) F3F3n n + 3 + 3Fn + 1Fn + 2Fn + 3 =⎡⎣ n + 22ฉัน = 0n + 2−iฉัน⎤⎦3(iii) 55 (F4n + − 8 F4n + 2) − 385 (F4n + 6 − F4n + 4) + F4n =⎡⎣ n + 92ฉัน = 0n + 9 −ฉันฉัน⎤⎦4ทฤษฎีบทที่ 2.5(i) F2n + F2n + 1 = nฉัน = 02n−iฉัน(ii) F2n + 2 − F2n = Fn + 1 (Fn + Fn + 2) = 2n + 12ฉัน = 02n + 1−iฉัน(iii) F22n + 2 (F2n + 1F2n + 3 − F22n + 2) = nฉัน = 0F4i + 2 =⎡⎣ 2n + 12ฉัน = 02n + 1−iฉัน⎤⎦2(iv) Fn + 2Fn + FnFn 3 − + 1 = n + 1ฉัน = 02n + 2 −ฉันฉัน(v) (FnFn + 3) 2 + (2Fn + 1Fn + 2) 2 =n + 1ฉัน = 02n + 2−iฉัน2ทฤษฎีบท 2.6(i) Fn + 1 5F2n + 1 − 3 (−1) n = F3n + 3 − F3n − 3Fn + 1Fn + 2Fn + 3= F3n + 1 + F3n + 2 − F3n = วัน 3 คืน + 22ฉัน = 0วัน 3 คืน + 2−iฉัน(ii) 10 n + 1ฉัน = 0F3ฉัน− [5 + 6 (−1) nFn] = วัน 3 คืน + 42ฉัน = 0วัน 3 คืน + 4 −ฉันฉัน(iii) F3n + 4F3n + 3 = 13F3n + 4 + F33F3 n −n + 2= วัน 3 คืน + 52ฉัน = 0วัน 3 คืน + 5 −ฉันฉันรหัสประจำตัวฟีโบนัชชีเป็นทวินามรวม II 2057ทฤษฎีบท 2.7n (i) 3 + 25ฉัน = 1ฉันj = 1F22j−1 − 5n F4n − (n + 1) + 3 =2nฉัน = 04n −ฉันฉัน(ii) 1 + 2n + 5 nฉัน = 0F22i = 4n + 12ฉัน = 04n + 1−iฉันn (iii) 5ฉัน = 0F22i + 1 − 2 (n + 1) = 4n + 32ฉัน = 04n + 3−iฉัน3. สรุปจาก Fibonacci ประจำที่ได้รับการพัฒนามากกว่าหลายร้อยแบบมานานหลายศตวรรษ เราได้นำเสนอเพียงตัวอย่างของ Fibonacci ตัวตนที่รู้จักกันเป็นผลทวินามที่นี่ และ ใน [2] ยัง เราหวังว่า บทความทั้งสองเหล่านี้อาจเป็น catalyst สำหรับอ่านเขียนประจำฟีโบนัชชี her/his ชื่นชอบเป็นผลทวินาม นอกจากนี้ ในบทความหน้า เราจะนำเสนอบางส่วนเอกลักษณ์โดดเด่นอื่น ๆ เกี่ยวข้องกับ Lucas หรือ Lucas และ Fibonacci หมายเลขเป็นผลทวินามการอ้างอิง[1] Anglin ปัญหา B-160, Fibonacci รายไตรมาส ปี 8 หมายเลข 1, H. R.1970 ก.พ. p. 107[2] เมตรคุณ Azarian, Fibonacci ประจำเป็นทวินามผล นานาชาติสมุดรายวันของสมัยคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์ ปี 7 หมายเลข 38, 2012, pp1871 - 1876[3] Azarian คุณเมตร ฟังก์ชันสร้างสำหรับลำดับ Fibonacciมิสซูรีสมุดของคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์ ปี 2 หมายเลข 2 ฤดูใบไม้ผลิปี 1990, pp78-79[4] Bicknel เมตรและ V. E. Hoggatt สมุดปัญหาของ Fibonacci, Fibonacciสมาคม 1974[5] Candido กรัม ความสัมพันธ์ระหว่างอำนาจสี่เงื่อนไขของลำดับ Fibonacci, Scripta Mathematica, 17 หมายเลข 3-4 กันยายนธันวาคม1951, p. 230[6] L. Carlitz ปัญหา B-110, Fibonacci รายไตรมาส ปี 5 หมายเลข 5ธันวาคมค.ศ. 1967 นำ 469 470[7] เจ Ginsburg ความสัมพันธ์ระหว่างลูกบาศก์ของเลขฟีโบนัชชีScripta Mathematica ปี 19, 1953 ธันวาคม p. 242[8] H. ปริมาณ Gould ปัญหา B-7, Fibonacci รายไตรมาส ปี 1 เลข 31963 ตุลาคม p. 80Azarian คุณ 2058 เมตร[9] R. L. เกรแฮม ปัญหา H-45, Fibonacci รายไตรมาส ปี 3 หมายเลข 22508 เมษายน นำ 127-128[10] J. H. Halton บนทั่วไป Fibonacci ตัว รายไตรมาส ฟีโบนัชชี3 หมายเลข 1 1965 ก.พ. นำ 31-43[11] V. E. Hoggatt จูเนียร์ ปัญหา H-39, Fibonacci รายไตรมาส ปี 2หมายเลข 2 เดือน 1964 เมษายน p. 124[12] V. E. Hoggatt จูเนียร์ ปัญหา H-77, Fibonacci รายไตรมาส ปี 5เลขที่ 3, 1967 ตุลาคม นำ 256-258[13] V. E. Hoggatt จูเนียร์ และ G. E. Bergum ปัญหาของแฟร์มาและลำดับ Fibonacci, Fibonacci รายไตรมาส ปี 15 หมายเลข 4, 1977 ตุลาคม pp323-330[14] ฮันเตอร์ J. A. H., Fibonacci ยังอีกครั้ง การฟีโบนัชชีรายไตร มาส ปี4 หมายเลข 3, 1966 ตุลาคม p. 273[15] ต. Koshy ฟีโบนัชชี และ เลข Lucas กับ จอห์น Wileyและบุตร Inc., 2001[16] ต. Koshy การบรรจบกันของชุด Lucas ทางคณิตศาสตร์ประกาศ ปี 83, 1999 กรกฎาคม p. 272-274[17] Koshy ต. Fibonacci ใหม่ และ Lucas ประจำ ทางคณิตศาสตร์ประกาศ ปี 82, 1988 พฤศจิกายน pp.481-484[18] D. Lind ปัญหา B-85, Fibonacci รายไตรมาส ปี 4 เลขที่ 4 ธันวาคม1966 นำ 376-377[19] P. Mana ปัญหา B-152, Fibonacci รายไตรมาส ปี 7 หมายเลข 31963 ตุลาคม p. 336[20] กรัม C. Padilla ปัญหา B-173, Fibonacci รายไตรมาส ปี 8 หมายเลข4, 1970 ตุลาคม p. 445[21] กรัม C. Padilla ปัญหา B-172, Fibonacci รายไตรมาส ปี 8 หมายเลข4, 1970 ตุลาคม นำ 444 445[22] C. เกิดอ.เป็ก หมายเหตุบรรณาธิการ Fibonacci รายไตรมาส ปี 8 หมายเลข4, 1970 ตุลาคม p. 392[23] C. ปริมาณ Raine สามเหลี่ยมพีทาโกรัสจากลำดับ Fibonacci 1,1,2,3,5,8Scripta Mathematica ปี 14, 1948, p. 164[24] คุณ S. ราว คุณสมบัติบางอย่างของตัวเลข Fibonacci อเมริกันที่คณิตศาสตร์เดือน ปี 60 หมายเลข 10, 1953 ธันวาคม นำ 680-684[25] อาร์เอส Seamons ปัญหา B-107, Fibonacci รายไตรมาส ปี 5 หมายเลข1 กุมภาพันธ์ 1967. p. 107[26] N. J. สโลน http://oeis.org/A000045&A007318[27] เมตรตอนเหนือ S. Swamy ปัญหา H-150, Fibonacci รายไตรมาส ปี 8เลขที่ 4, 1970 ตุลาคม นำ 391-392[28] เมตรตอนเหนือ S. Swamy ปัญหา B-84, Fibonacci รายไตรมาส ปี 4 หมายเลข1 กุมภาพันธ์ 1966. p. 90รหัสประจำตัวฟีโบนัชชีเป็นทวินามผล II 2059[29] กรัม Wulczyn ปัญหา B-384, Fibonacci รายไตรมาส ปี 17 หมายเลข3, 1979 ตุลาคม p. 283[30] C. C. Yalavigi ปัญหา B-169, Fibonacci รายไตรมาส ปี 8 หมายเลข2 เดือน 1970 เมษายน นำ 329-330[31] D. Zeitlin และ F. D. ปาร์คเกอร์ ปัญหา H-14 รายไตรมาส ฟีโบนัชชีปี 1 ที่ 2 หมายเลข 1963 เมษายน p. 54รับ: เดือนมิถุนายน 2012

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

Int . J . contemp . คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ , ฉบับที่ 7 , 2012 , ฉบับที่ 42 , 2 , 053 - 2059
Fibonacci เอกลักษณ์เป็นแบบผลรวม 2
Mohammad K . azarian
ภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยวิลล์

1800 Lincoln Avenue , วิลล์ ใน 47722 USA
azarian @ Evansville . edu

เป็นนามธรรมใน [ 2 ] เป้าหมายของเราในบทความนี้คือ เขียนบางโดดเด่นมากขึ้นและข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับตัวเลข Fibonacci

เป็นแบบผลรวมคณิตศาสตร์เรื่องหมวดหมู่ : 05a10 11b39
, คำหลัก : ตัวเลข Fibonacci ลำดับฟีโบนัชชี เอกลักษณ์ฟิโบนักชี
1 บทนำ
ส่วนใหญ่ที่รู้จักกันดีเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นลำดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่า

FN 2 = Fn 1 FN ที่ละ = 0 F1 = 1 และ n ≥ 0
นี้ความสัมพันธ์เวียนเกิดผลิตที่เป็นที่นิยมมากที่สุดและใช้กันอย่างแพร่หลายลำดับจำนวนเต็ม
0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , .. . . . . . . คือ ลำดับ Fibonacci ที่มีชื่อเสียง โดย
ใน [ 2 ] เพื่อความสะดวกรวดเร็วตัวเลขการคำนวณเกี่ยวกับตัวเลขฟีโบนัชชี่
เราเขียนบางส่วนของข้อมูลพื้นฐานเหล่านี้เป็นแบบ

ร้อยผลรวม อัตลักษณ์ Fibonacci ถูกพัฒนาในศตวรรษ
โดยนักคณิตศาสตร์มากมายและผู้สนใจจำนวน พวกเขาได้รับการตีพิมพ์