The Mathematical Association is col

The Mathematical Association is collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extend access to The Mathematical Gazette
.
http://www.jstor.org
Euler's Contribution to Number Theory
Author(s): Peter Shiu
Source: The Mathematical Gazette, Vol. 91, No. 522 (Nov., 2007), pp. 453-461
Published by: The Mathematical Association
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/40378418
Accessed: 17-05-2015 14:54 UTC
Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms & Conditions of Use, available at http://www.jstor.org/page/
info/about/policies/terms.jsp
JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range of content
in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new forms of scholarship.
For more information about JSTOR, please contact [e-mail].
This content downloaded from 110.164.170.1 on Sun, 17 May 2015 14:54:10 UTC
All use subject to JSTOR Terms and ConditionsEULERS CONTRIBUTION TO NUMBER THEORY 453
Euler's contribution to number theory
PETER SHIU
1. Introduction
Individuals who excel in mathematics have always enjoyed a well
deserved high reputation. Nevertheless, a few hundred years back, as an
honourable occupation with means to social advancement, such an individual
would need a patron in order to sustain the creative activities over a long
period. Leonhard Euler (1707-1783) had the fortune of being supported
successively by Peter the Great (1672-1725), Frederich the Great (1712-
1786) and the Great Empress Catherine (1729-1791), enabling him to
become the leading mathematician who dominated much of the eighteenth
century. In this note celebrating his tercentenary, I shall mention his work in
number theory which extended over some fiftyears. Although it makes up
only a small part of his immense scientific output (it occupies only four
volumes out of more than seventy of his complete work) it is mostly through
his research in number theory that he will be remembered as a
mathematician, and it is clear that arithmetic gave him the most satisfaction
and also much frustration. Gazette readers will be familiar with many of his
results which are very well explained in H. Davenport's famous text [1], and
those who want to know more about the historic background, together with
the rest of the subject matter itself, should consult A. Weil's definitive
scholarly work [2], on which much of what I write is based. Some of the
topics being mentioned here are also set out in Euler's own Introductio in
analysin infinitorum (1748), which has now been translated into English [3].
Number theory, as a branch of mathematics concerned with the
properties of whole numbers, can be said to date from the discoveries of
Fermât (1601-1665). There is little doubt that he had proofs for many of the
results discovered by him, but he did not publish them and was content with
private communications with other interested scientists. It was thus left to
Euler to set out the proofs for the mathematical community, and it will not
be out of place here to quote G. H. Hardy: 'In number theory, proof is
everything!' Euler took up Fermat's writing in 1730 and found many
interesting statements concerning primes and sums of squares. As Weil [2]
put it, 'He had discovered a topic which was to haunt him all his life.'
Besides admiration from Lagrange (1736-1813) and Goldbach (1690-1764),
there was not much enthusiasm for Euler's research in arithmetic among
fellow scientists. Even his old friend Daniel Bernoulli (1700-1782)
sometimes spoke disparagingly about such work - for example, when
replying to a letter from Nicolas Fuss (1755-1826) reporting on what Euler
had discovered, his less than enthusiastic reply might be paraphrased as 'So
what! Why does the great man pay so much attention to prime numbers?
Personally I value more your research into the strength of beams.'
In the following I shall, of course, make use of the congruence notation
introduced by Gauss (1777-1855). However, readers should remember that
This content downloaded from 110.164.170.1 on Sun, 17 May 2015 14:54:10 UTC
All use subject to JSTOR Terms and Conditions454 THE MATHEMATICAL GAZETTE
this vital tool, which not only simplifies the arithmetic involved but also
leads at once to the abstract notion of congruence classes, was not available
to Euler. Again even the useful Legendre symbol for the quadratic character
of a number, which would have simplified and perhaps enhanced much of
his work, was introduced only towards the end of the period concerned.
Incidentally, on the notion of congruence classes, Davenport [1] wrote The
fact that there are only a finite number of essentially different numbers in
arithmetic to a modulus m means that there are algebraic relations which are
satisfied by every number in that arithmetic. There is nothing analogous to
these relations in ordinary arithmetic' and Weil [2] wrote 'Noteworthy is
Euler's increasing awareness that in such matters he is dealing, not with
individual integers, but with what we would call congruence classes.'
2. The Fermat-Euler theorem
Let us begin with Fermat's 'Little Theorem', which was given in a letter
dated 18 October 1640 and states that, for a prime /?, the congruence aF = a
(mod/?) is satisfied by every a. This was generalised by Euler in 1760 to the
famous Fermat-Euler theorem
a*m) = 1 (modm),
where (p (m) counts the numbers up to m which are coprime with m, and the
congruence is satisfied by every such number a; this important result forces
us to consider the multiplicative group of integers modulo m, and indeed
marks the beginning of group theory. Fermât discovered his theorem from
'additive' considerations involving the binomial expansion. More
specifically, all the binomial coeffcients in the expansion
(a + If = d + 1 + X (íV~* 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ที่ได้ร่วมมือกับ JSTOR digitize รักษา และขยายเข้าไปประกาศทางคณิตศาสตร์.http://www.jstor.orgเงินสมทบของออยเลอร์ทฤษฎีจำนวนAuthor(s): ปีเตอร์ Shiuที่มา: คณิตศาสตร์ประกาศ ปี 91 หมายเลข 522 (พฤศจิกายน 2007), นำ 453-461ประกาศโดย: สมาคมคณิตศาสตร์มีเสถียรภาพ URL: http://www.jstor.org/stable/40378418เข้าถึงเมื่อ: 17-05-2015 14:54 UTCการใช้การเก็บถาวร JSTOR บ่งชี้ว่า คุณยอมรับข้อตกลงและเงื่อนไขของใช้ http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jspJSTOR เป็นบริการไม่สำหรับกำไรที่ ช่วยนักวิชาการ นักวิจัย นักเรียนได้ ใช้ และสร้างความหลากหลายของเนื้อหาในเก็บถาวรดิจิทัลเชื่อถือได้ เราใช้เทคโนโลยีสารสนเทศและเครื่องมือเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพ และอำนวยความสะดวกรูปแบบใหม่ของการศึกษาสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ JSTOR กรุณาติดต่อ [e-mail]เนื้อหานี้ดาวน์โหลดจาก 110.164.170.1 เมื่ออาทิตย์ 17 2015 พฤษภาคม 14:54:10 UTCใช้ทั้งหมดภายใต้เงื่อนไข JSTOR และ ConditionsEULERS ส่วนการเลขทฤษฎี 453เงินสมทบของออยเลอร์ทฤษฎีจำนวนปีเตอร์ SHIU1. บทนำผู้ใช้ excel ในคณิตศาสตร์มีความสุขดีเสมอสมควรได้รับชื่อเสียงสูง อย่างไรก็ตาม ไม่กี่ร้อยปีหลัง เป็นการยกย่องอาชีพ ด้วยวิธีดังกล่าวบุคคล ความก้าวหน้าทางสังคมต้องการสมาชิกเพื่อรักษากิจกรรมที่สร้างสรรค์กว่ายาวรอบระยะเวลา ฟอร์จูนของสนับสนุนมี Leonhard ออยเลอร์ (1707-1783)ติด ๆ กัน โดยปีเตอร์มหาราช (1672 จน-1725), Frederich มหาราช (1712-1786) และดีจักรพรรดินีแคทเธอรี (1729-ค.ศ. 1791), เปิดใช้งานเขาเป็น นักคณิตศาสตร์ชั้นนำที่ครอบงำมากที่ราชเซ็นจูรี่ ในบันทึกนี้ฉลอง tercentenary ของเขา ฉันจะพูดถึงงานของเขาทฤษฎีจำนวนที่ขยายผ่านบาง fiftyears ถึงแม้ว่ามันทำให้ค่าเพียงส่วนเล็ก ๆ ของผลผลิตทางวิทยาศาสตร์ของเขาใหญ่ (จะใช้เพียงสี่ไดรฟ์ข้อมูลจากกว่า seventy ของงานของเขาเสร็จสมบูรณ์) ก็ถือเป็นส่วนใหญ่เขาวิจัยในทฤษฎีจำนวนที่เขาจะจดจำเป็นการนักคณิตศาสตร์ และมันเป็นที่ชัดเจนว่า เลขคณิตให้เขาพึงพอใจมากที่สุดและยังแห้วมาก อ่านประกาศจะคุ้นเคยกับเขามากผลลัพธ์ที่ดีได้อธิบายในข้อความมีชื่อเสียงของดาเวนพอร์ท H. [1], และผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นหลังทางประวัติศาสตร์ กันส่วนเหลือของเรื่องเอง ควรปรึกษาทั่วไปของ A. Weilscholarly งาน [2], มากสิ่งที่ผมเขียนจะขึ้นอยู่ บางหัวข้อที่กำลังกล่าวถึงนี่ยังกำหนดใน Introductio ของออยเลอร์ในanalysin infinitorum (1748), ซึ่งขณะนี้ได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษ [3]หมายเลขทฤษฎี เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการคุณสมบัติของจำนวนเต็ม สามารถกล่าววันที่จากการค้นพบของFermât (1601-1665) มีข้อสงสัยเล็กน้อยที่เขามีหลักฐานมากมายresults discovered by him, but he did not publish them and was content withprivate communications with other interested scientists. It was thus left toEuler to set out the proofs for the mathematical community, and it will notbe out of place here to quote G. H. Hardy: 'In number theory, proof iseverything!' Euler took up Fermat's writing in 1730 and found manyinteresting statements concerning primes and sums of squares. As Weil [2]put it, 'He had discovered a topic which was to haunt him all his life.'Besides admiration from Lagrange (1736-1813) and Goldbach (1690-1764),there was not much enthusiasm for Euler's research in arithmetic amongfellow scientists. Even his old friend Daniel Bernoulli (1700-1782)sometimes spoke disparagingly about such work - for example, whenreplying to a letter from Nicolas Fuss (1755-1826) reporting on what Eulerhad discovered, his less than enthusiastic reply might be paraphrased as 'Sowhat! Why does the great man pay so much attention to prime numbers?Personally I value more your research into the strength of beams.'In the following I shall, of course, make use of the congruence notationintroduced by Gauss (1777-1855). However, readers should remember thatThis content downloaded from 110.164.170.1 on Sun, 17 May 2015 14:54:10 UTCAll use subject to JSTOR Terms and Conditions454 THE MATHEMATICAL GAZETTEthis vital tool, which not only simplifies the arithmetic involved but alsoนำไปสู่แนวคิดนามธรรมของคลาสที่ลงตัว ในเวลาเดียวกันไม่มีกับออยเลอร์ อีกแม้ประโยชน์เลอฌ็องดร์สัญลักษณ์อักขระกำลังสองจำนวน ซึ่งจะมีภาษา และอาจจะเพิ่มขึ้นมากงานของเขา ถูกนำไปยังจุดสิ้นสุดของรอบระยะเวลาเกี่ยวข้องเท่านั้นบังเอิญ ในความคิดของชั้นเรียนลงตัว ดาเวนพอร์ท [1] เขียนความจริงที่ว่ามีเพียงจำนวนจำกัดเลขในหลักต่าง ๆเลขคณิตไปยังโมดูลัส m หมายความ ว่า มีความสัมพันธ์พีชคณิตซึ่งเป็นมีความสุข โดยทุกเลขที่นั่งในชั้นเรียน ไม่มีอะไรที่คล้ายคลึงกับความสัมพันธ์เหล่านี้ในทางคณิตศาสตร์ธรรมดา ' และเขียน Weil [2] ' เป็น Noteworthyออยเลอร์ของเพิ่มความตระหนักว่า ในเช่นเขาเป็นเรื่องซื้อขาย ไม่มีแต่ละจำนวนเต็ม แต่ว่าเราจะโทรเรียนลงตัว '2.ทฤษฎีบทของออยเลอร์แฟร์มาเราเริ่มต้น ด้วยของแฟร์มา 'ทฤษฎีบทเล็ก' ซึ่งถูกกำหนดในจดหมายวันที่ 18 เดือน 1640 ตุลาคม และระบุว่า สำหรับเป็นนายก / ?, ลงตัว aF =การ(mod / ?) ความพึงพอใจโดยทุก นี้มี generalised โดยออยเลอร์ใน 1760 เพื่อทฤษฎีบทของออยเลอร์แฟร์มามีชื่อเสียงเป็น * m) = 1 (modm),ที่ (p (m) นับเลขได้ถึง m ที่มี coprime เมตร และลงตัวคือพอใจตามหมายเลขดังกล่าวทุก ผลลัพธ์สำคัญนี้บังคับเราต้องพิจารณากลุ่มเชิงการคูณจำนวนเต็ม modulo m และแน่นอนทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้นของทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีบทของเขาจากการค้นพบ Fermât'สามารถ' พิจารณาที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวทวินาม เพิ่มเติมโดยเฉพาะ ทั้งหมดทวินาม coeffcients ในการขยายตัว(เป็น + ถ้า = 1 d + X (íV ~ * 1 < *คือผลคูณของ / หรือไม่ และผลจำเป็นดังต่อไปนี้ โดยการเหนี่ยวนำใน n. นี้อาร์กิวเมนต์ถูกนำเสนอ โดยออยเลอร์ใน 1742 มันสามารถยังสามารถสร้างโดยใช้'ก็ตามสูตร' เป็น Leibniz (1646-1716) ไม่ Fermât แม้จะโปรดทราบว่า ผลลัพธ์เกี่ยวข้องกับสิ่งนี้ที่เรียกว่าเป็นโรงแรมของลากรองจ์ทฤษฎีบท คือว่าสั่งของกลุ่มหลายลำดับใด ๆกลุ่มย่อย การที่ให้ นายกกับ p ถ้าเราแบ่งตัวเลข a, a2, ...โดย p remainders ต้องทำซ้ำตัวเอง นำบวกน้อยที่สุดn ให้การ = 1 (mod / ?) ดังนั้น p - สอนลงตัว 1modulo p ตกเป็นตัวตั้งแต่ละที่มีองค์ประกอบ n, n ต้องแบ่งที่/ 7-1 นี่คือข้อพิสูจน์เชิงการคูณได้ โดยออยเลอร์ประมาณ 1750 และเขาบอกว่า มันเป็นได้ดีกว่าเนื่องจากอาร์กิวเมนต์ generalises เดินไปทฤษฎีบทของออยเลอร์แฟร์มา ข้อทฤษฎีเลขประถมศึกษาให้ต่อไปนี้พิสูจน์ง่ายกว่า: ให้ h = 0 (m), และใช้เป็นสารตกค้างลดลงระบบ b, b2 •••»bh modulo m ที่เป็นชุดของหมายเลข incongruent h coprime เมตรถ้ามีคือ coprime กับ m แล้วบู ab2,..., abh ยัง ฟอร์มกล่าวยอด และดังนั้น abab2... abh = b2... bh (modm) ยกเลิกการร่วมปัจจัย b2... bh แล้วส่งผลต้องอา = 1 (modm) นี้เนื้อหานี้ดาวน์โหลดจาก 110.164.170.1 เมื่ออาทิตย์ 17 2015 พฤษภาคม 14:54:10 UTCAll use subject to JSTOR Terms and ConditionsEULER'S CONTRIBUTION TO NUMBER THEORY 455elegant proof eluded Euler, Lagrange, Legendre (1752-1833), and evenGauss; it was given in 1806 by Ivory. Again we need to remind ourselvesthat, in those days, there was no such concept as a 'field' and hence thenotion of an integereciprocal might be as difficult as that of an 'imaginarynumber'. Euler realised the significance of his 'totient function' 0(m) innumber theory, but he seemed to have overlooked the simple resultžd
(d) = n, which was first noted by Gauss.3. Sums of two and four squares; quadratic formsThe identity{a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + {ad - be)2is generally attributed to Fibonacci (11707-1240?), who did not claim creditfor it and instead gave an elaborate proof in 1202; there is some evidencethat Diophantus (circa 250) was aware of it, and it might have been knowneven earlier. As far as elementary number theory is concerned, the identityis vital in the study of the setW = {1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, ... }of numbers which are representable as a sum of two squares - for example,it shows that the set is ' multiplicad vely closed'. Since a square must becongruent to 0 or 1 (mod 4), numbers conguent to 3 (mod 4) cannot be in W.In fact a necessary and sufficient condition for w e W is that it can bewritten as w = AB2, where A is free of prime divisors congruent to 3(mod 4). In other words, if a prime p = 4k + 3 divides w e W then pmust divide w to an exact even power. This condition was first given by theDutch mathematician Albert Girard (1595-1632) in 1625, and again byFermât alittle later. Following from the identity, the main problem on W isto show that every prime p congruent to 1 (mod 4) is representable as a sumof two squares; this was clearly stated by Fermât in 1640, and heemphasised the uniqueness of the two squares involved. The first proofs weknow of are those published by Euler, and they include a vital initial partwhich involves the quadratic character of -1 modulo an odd prime - we saythat a is a quadratic residue, or non-residue, modulo a prime p, depending onwhether the congruence x2 = a (mod/?) is soluble, or not.After a seven-year campaign to establish all that Fermât claimedconcerning the set W, Euler was able to write to Goldbach to say that he had'at last found a conclusive proof . Concerning the quadratic character of - 1 ,Davenport [1] wrote 'The fact [...] seems to have been first proved by Euler,after repeated failure, in about 1749, whereas he did not discover hiscriterion until 1755. Lagrange, in 1773, pointed out that there is a verysimple way of giving explicitly the solution of the congruence when it issoluble [using Wilson'

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สมาคมคณิตศาสตร์จะร่วมมือกับ JSTOR รูปแบบดิจิทัลรักษาและขยายการเข้าถึงคณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษา
.
http://www.jstor.org
สมทบออยเลอร์ทฤษฎีจำนวน
ผู้เขียน (s): ปีเตอร์ Shiu
ที่มา: ราชกิจจานุเบกษาคณิตศาสตร์ฉบับ 91, ฉบับที่ 522 (พฤศจิกายน 2007), หน้า 453-461.
เผยแพร่โดย: สมาคมคณิตศาสตร์
URL เสถียร: http://www.jstor.org/stable/40378418
Accessed: 17-05-2015 14:54 UTC
ใช้เก็บ JSTOR ของคุณแสดงให้เห็นว่าคุณยอมรับข้อตกลงและเงื่อนไขในการใช้งานได้ที่ http://www.jstor.org/page/
ข้อมูล / เกี่ยวกับ / นโยบาย / terms.jsp
JSTOR เป็นบริการที่ไม่แสวงหาผลกำไรที่ จะช่วยให้นักวิชาการนักวิจัยและนักศึกษาค้นพบการใช้งานและสร้างความหลากหลายของเนื้อหา
ในการเก็บดิจิตอลที่เชื่อถือได้ เราใช้เทคโนโลยีสารสนเทศและเครื่องมือในการเพิ่มประสิทธิภาพการผลิตและอำนวยความสะดวกรูปแบบใหม่ของทุนการศึกษา.
สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยว JSTOR กรุณาติดต่อ [e-mail].
เนื้อหานี้ดาวน์โหลดได้จาก 110.164.170.1 on Sun, 17 พฤษภาคม 2015 14:54:10 UTC
ทั้งหมด อาจมีการใช้ข้อตกลงและ JSTOR ConditionsEULERS เงินสมทบจำนวน 453 ทฤษฎี
ผลงานออยเลอร์กับทฤษฎีจำนวน
PETER Shiu
1 การแนะนำ
บุคคลที่เก่งในวิชาคณิตศาสตร์มีความสุขเสมอที่ดี
สมควรได้รับชื่อเสียงสูง แต่ไม่กี่ร้อยปีที่ผ่านมาเป็น
อาชีพที่มีเกียรติด้วยวิธีการเพื่อความก้าวหน้าทางสังคมดังกล่าวของแต่ละบุคคล
จะต้องมีพระคุณเพื่อรักษากิจกรรมที่สร้างสรรค์มากกว่ายาว
ระยะเวลา Leonhard ออยเลอร์ (1707-1783) มีโชคลาภจากการสนับสนุน
อย่างต่อเนื่องโดยปีเตอร์มหาราช (1672-1725), Frederich มหาราช (1712-
1786) และมหาจักรพรรดินีแคทเธอรี (1729-1791), ทำให้เขา
กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ชั้นนำ ที่โดดเด่นมากที่สิบแปด
ศตวรรษ ในบันทึกนี้ฉลอง tercentenary ของเขาผมจะพูดถึงการทำงานของเขาใน
ทฤษฎีจำนวนที่ยื่นออกไปในช่วง fiftyears บาง แม้ว่ามันจะทำให้ขึ้น
เพียงส่วนเล็ก ๆ ของการส่งออกอันยิ่งใหญ่ทางวิทยาศาสตร์ของเขา (มันมีเพียงสี่
เล่มจากกว่าเจ็ดสิบของการทำงานที่สมบูรณ์ของเขา) เป็นส่วนใหญ่ผ่าน
การวิจัยของเขาในทฤษฎีตัวเลขที่เขาจะถูกจดจำในฐานะ
นักคณิตศาสตร์และมันเป็น ชัดเจนว่าคณิตศาสตร์ทำให้เขาพึงพอใจมากที่สุด
และยังมีความยุ่งยากมาก ผู้อ่านราชกิจจานุเบกษาจะคุ้นเคยกับหลายของ
ผลที่มีการอธิบายอย่างดีในข้อความที่มีชื่อเสียงของเอชดาเวนพอร์ [1] และ
ผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นหลังทางประวัติศาสตร์ร่วมกับ
ส่วนที่เหลือของเรื่องที่ตัวเองควรปรึกษา . ไวล์ที่ชัดเจนของ
งานวิชาการ [2] ซึ่งมากในสิ่งที่ผมเขียนเป็นไปตาม บางส่วนของ
หัวข้อที่ถูกกล่าวถึงในที่นี้จะตั้งยังออกมาในตัวเองออยเลอร์ Introductio ใน
analysin infinitorum (1748) ซึ่งได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษในขณะนี้ [3].
ทฤษฎี Number ซึ่งเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ
คุณสมบัติของตัวเลขทั้งสามารถ กล่าวได้ว่าวันที่จากการค้นพบของ
แฟร์มาต์ (1601-1665) มีข้อสงสัยเล็กน้อยว่าเขามีหลักฐานหลายเป็น
ผลการค้นพบโดยเขา แต่เขาไม่ได้เผยแพร่และเป็นเนื้อหาที่มี
การติดต่อสื่อสารส่วนตัวกับนักวิทยาศาสตร์อื่น ๆ ที่สนใจ มันถูกทิ้งจึง
ออยเลอร์จะกำหนดบทพิสูจน์สำหรับชุมชนทางคณิตศาสตร์และมันจะไม่
ออกจากสถานที่ที่นี่เพื่อพูด GH Hardy: 'ในทฤษฎีจำนวนเป็นหลักฐาน
ทุกอย่าง! ออยเลอร์เอาขึ้นการเขียนของแฟร์มาต์ใน 1730 และพบว่าหลายคน
ที่น่าสนใจเกี่ยวกับงบเฉพาะและผลรวมของสี่เหลี่ยม ในฐานะที่เป็นไวล์ [2]
วาง 'เขาได้ค้นพบหัวข้อซึ่งจะหลอกหลอนเขาตลอดชีวิตของเขา.
นอกจากนี้ยังชื่นชมจากลากรองจ์ (1736-1813) และ Goldbach (1690-1764)
มีไม่กระตือรือร้นมากสำหรับการวิจัยของออยเลอร์ใน คณิตศาสตร์ในหมู่
เพื่อนนักวิทยาศาสตร์ แม้แต่เพื่อนเก่าของเขาแดเนียล Bernoulli (1700-1782)
บางครั้งพูดเหยียบย่ำเกี่ยวกับการทำงานดังกล่าว - ตัวอย่างเช่นเมื่อ
การตอบกลับจดหมายจากนิโคลัสเอะอะ (1755-1826) รายงานเกี่ยวกับสิ่งที่ออยเลอร์
ได้ค้นพบน้อยกว่าตอบกลับความกระตือรือร้นของเขาอาจจะมีการถอดความเป็น ดังนั้น
สิ่งที่! ทำไมคนที่ยิ่งใหญ่ให้ความสนใจมากเพื่อให้ตัวเลขที่สำคัญ?
โดยส่วนตัวผมให้ความสำคัญมากขึ้นวิจัยของคุณเป็นความแข็งแรงของคาน.
ในต่อไปนี้ฉันจะแน่นอนทำให้การใช้สัญกรณ์สอดคล้องกัน
นำโดยเกาส์ (1777-1855) แต่ผู้อ่านควรจำไว้ว่า
เนื้อหานี้ดาวน์โหลดได้จาก 110.164.170.1 on Sun, 17 พฤษภาคม 2015 14:54:10 UTC
เรื่องการใช้งานทั้งหมดจะ JSTOR ข้อตกลงและ Conditions454 คณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษา
นี้เครื่องมือที่สำคัญซึ่งไม่เพียง แต่ช่วยลดความยุ่งยากทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง แต่ยัง
นำไปสู่การ ในครั้งเดียวที่จะคิดนามธรรมของการเรียนสอดคล้องกัน, ไม่สามารถใช้ได้
ในการออยเลอร์ อีกครั้งแม้จะมีประโยชน์สัญลักษณ์ช็สำหรับตัวละครกำลังสอง
ของจำนวนซึ่งจะได้ง่ายและอาจจะเพิ่มขึ้นมากจาก
การทำงานของเขาเป็นที่รู้จักเฉพาะในช่วงสุดท้ายของรอบระยะเวลาบัญชีที่เกี่ยวข้อง.
อนึ่งในความคิดของการเรียนสอดคล้องกัน, ดาเวนพอร์ [1] เขียน
ความจริงที่ว่ามีเพียงจำนวน จำกัด ของตัวเลขหลักที่แตกต่างกันใน
ทางคณิตศาสตร์ในการโมดูลัมหมายความว่ามีความสัมพันธ์กับพีชคณิตซึ่งได้รับ
ความพึงพอใจจากจำนวนทุกที่ในการคำนวณ ไม่มีอะไรที่คล้ายกับเป็น
ความสัมพันธ์เหล่านี้ในการคำนวณสามัญและ Weil [2] เขียน 'สำคัญคือ
การเพิ่มความตระหนักออยเลอร์ว่าในเรื่องดังกล่าวเขาจะจัดการไม่ได้กับ
จำนวนเต็มแต่ละบุคคล แต่กับสิ่งที่เราจะเรียกความสอดคล้องกันในชั้นเรียน.
2 แฟร์มาต์ทฤษฎีบท-ออยเลอร์
ให้เราเริ่มต้นด้วยของแฟร์มาต์ 'ลิตเติ้ลทฤษฎีบท' ซึ่งได้รับในจดหมาย
ลงวันที่ 18 ตุลาคม 1640 และกล่าวว่าสำหรับการที่สำคัญ / ?, สอดคล้อง AF =
(สมัย /?) เป็นที่พอใจโดยทุก . นี้ได้ทั่วไปโดยออยเลอร์ใน 1760 ที่จะ
มีชื่อเสียงทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ออยเลอร์-
ม. *) = 1 (modm)
ที่ (พี (เมตร) นับจำนวนได้ถึงม. ซึ่งมี coprime กับม. และ
ความสอดคล้องกันเป็นที่พอใจด้วยเช่นทุก จำนวน; ผลที่สำคัญนี้บังคับให้
เราต้องพิจารณากลุ่มคูณของจำนวนเต็มแบบโมดูโลเมตรและแน่นอน
. จุดเริ่มต้นของทฤษฎีกลุ่มแฟร์มาต์ค้นพบทฤษฎีบทของเขาจาก
การพิจารณา 'เติม' ที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวที่สองชื่ออื่น ๆ .
โดยเฉพาะอย่างยิ่งทุก coeffcients ทวินามใน การขยายตัว
(+ ถ้า = d + 1 + X (IV ~ * 1 <*เป็นทวีคูณของ / ?, และผลที่จำเป็นดังต่อไปนี้โดยการเหนี่ยวนำใน n นี้
อาร์กิวเมนต์ถูกนำเสนอโดยออยเลอร์ใน 1742; ก็ยังสามารถที่จะจัดตั้งขึ้นโดยใช้
สูตรพหุนามตามที่ไลบ์นิซ (1646-1716) ได้ แม้แฟร์มาต์จะ
ทราบว่าผลจะเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันในขณะนี้เป็นลากรองจ์
ทฤษฎีบทคือว่าคำสั่งของกลุ่มเป็นหลายของการสั่งซื้อใด ๆ ของ
กลุ่มย่อย การที่จะเป็นนายกพีถ้าเราแบ่งตัวเลขผม, a2, ...
โดยพีเหลือต้องทำซ้ำตัวเองนำไปสู่การมีขนาดเล็กที่สุดในเชิงบวก
ดังกล่าวว่า n = 1 (สมัย /?) ดังนั้นพี - 1 เรียนสอดคล้องกัน
แบบโมดูโลพีตกอยู่ในชุดเคลื่อนแต่ละคนมีองค์ประกอบ n ดังนั้น n ที่จะต้องแบ่ง
/ 7-1 นี่คือหลักฐานที่ได้จากการคูณออยเลอร์รอบ 1750 และ
เขาบอกว่ามันเป็นหนึ่งในที่ดีขึ้นตั้งแต่โต้แย้งได้อย่างง่ายดายเพื่อ generalises
ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์-ออยเลอร์ ตำราทฤษฎีจำนวนประถมศึกษาดังต่อไปนี้ให้
หลักฐานที่เรียบง่าย: Let ชั่วโมง = 0 (เมตร) และใช้ระบบสารตกค้างลดลงข , B2, •••»
BH โมดูโลเมตรที่เป็นคอลเลกชันของตัวเลขชั่วโมง coprime สอดคล้องกันกับม.
ถ้า เป็น coprime กับม. แล้ว abu AB2, ... , ABH ยังเป็นระบบดังกล่าวและ
ดังนั้นจึง AB AB2 ... ABH b = b2 ... BH (modm) ยกเลิกการร่วมกัน
ปัจจัยข b2 ... BH แล้วส่งผลต้องอา = 1 (modm) นี้
เนื้อหานี้ดาวน์โหลดได้จาก 110.164.170.1 on Sun, 17 พฤษภาคม 2015 14:54:10 UTC
เรื่องการใช้งานทั้งหมดจะ JSTOR ข้อตกลงและ ConditionsEULER ส่วนร่วมของทฤษฎีจำนวน 455
หลักฐานที่สง่างามหลุดออยเลอร์, ลากรองจ์ช็ (1752-1833) และแม้กระทั่ง
เกาส์ ; มันถูกกำหนดไว้ใน 1806 โดยไอวอรี่ อีกครั้งที่เราต้องเตือนตัวเอง
ว่าในวันนั้นไม่พบว่ามีแนวคิดเช่น 'ฟิลด์ "และด้วยเหตุนี้
ความคิดของ integereciprocal อาจจะเป็นเรื่องยากที่ว่า 'จินตนาการ
จำนวน ' ออยเลอร์ตระหนักถึงความสำคัญของ 'totient ฟังก์ชันของเขา 0 (เมตร) ใน
ทฤษฎีจำนวน แต่ดูเหมือนว่าเขาจะได้มองข้ามผลง่าย
ZD n (ง) = n ซึ่งได้รับการตั้งข้อสังเกตเป็นครั้งแรกโดย Gauss.
3 ผลรวมของทั้งสองและสี่สี่เหลี่ยม; สมแบบฟอร์ม
ตัวตน
{a2 + b2) (c2 + d2) = (C + BD) 2 + {โฆษณา - จะ) 2
? เป็นโทษโดยทั่วไปจะ Fibonacci (11707-1240) ที่ไม่ได้เรียกร้องเครดิต
สำหรับมันและให้แทน หลักฐานที่ซับซ้อนใน 1202; มีหลักฐานบางอย่าง
ที่ Diophantus (ประมาณ 250) ได้ตระหนักถึงมันและมันก็อาจจะได้รับทราบ
แม้ก่อนหน้านี้ เท่าที่ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นเป็นห่วงตัวตนที่
มีความสำคัญในการศึกษาของชุด
W = {1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, ... }
ของตัวเลขที่มีผลรวมที่แทนได้ ของสองสี่เหลี่ยม - ตัวอย่างเช่น
มันแสดงให้เห็นว่าชุดคือ 'vely multiplicad ปิด' ตั้งแต่ตารางจะต้อง
สอดคล้อง 0 หรือ 1 (4 สมัย), ตัวเลข conguent ถึง 3 (4 สมัย) ไม่สามารถอยู่ในดับเบิลยู
ในความเป็นจริงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเรา W คือว่ามันสามารถ
เขียนเป็น W = AB2 ที่ ฟรี divisors สำคัญสอดคล้องกันถึง 3
(4 สมัย) ในคำอื่น ๆ ถ้านายก p = 4k + 3 แบ่งเรา W พีแล้ว
จะต้องแบ่งน้ำหนักที่จะใช้พลังงานมากแน่นอน เงื่อนไขนี้เป็นครั้งแรกโดย
นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์อัลเบิร์ราร์ด (1595-1632) ใน 1625 และอีกครั้งโดย
แฟร์มาต์ alittle ภายหลัง ต่อไปนี้จากตัวตนที่เป็นปัญหาหลักใน W นั้น
แสดงให้เห็นว่าทุกนายก p สอดคล้องกันถึง 1 (4 สมัย) เป็นซึ่งแสดงเป็นผลรวม
ของสองสี่เหลี่ยม; นี้ได้รับการระบุไว้อย่างชัดเจนโดยแฟร์มาต์ใน 1640 และเขา
เน้นเอกลักษณ์ของสองสี่เหลี่ยมที่เกี่ยวข้อง หลักฐานแรกที่เรา
รู้ว่าเป็นผู้ที่เผยแพร่โดยออยเลอร์และพวกเขารวมถึงส่วนเริ่มต้นที่สำคัญ
ที่เกี่ยวข้องกับตัวละครที่กำลังสองของ -1 โมดูโลนายกแปลก - เราบอก
ว่าเป็นสารตกค้างกำลังสองหรือไม่ตกค้าง, โมดูโลนายก p ขึ้นอยู่กับ
ว่า x2 สอดคล้องกัน = (สมัย /?) เป็นที่ละลายน้ำได้หรือไม่.
หลังจากที่แคมเปญเจ็ดปีที่จะสร้างสิ่งที่แฟร์มาต์อ้าง
เกี่ยวกับ W ชุด, ออยเลอร์ก็สามารถที่จะเขียนถึง Goldbach ที่จะบอกว่าเขามี
' ที่ผ่านมาพบว่าหลักฐานยืนยัน เกี่ยวกับตัวละครที่กำลังสองของ - 1,
ดาเวนพอร์ [1] เขียน 'ความเป็นจริง [... ] ดูเหมือนว่าจะได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นครั้งแรกโดยออยเลอร์
หลังจากความล้มเหลวซ้ำแล้วซ้ำอีกในประมาณ 1749 ในขณะที่เขาไม่ได้ค้นพบของเขา
เกณฑ์จนถึง 1755 Lagrange, ใน 1773 ชี้ให้เห็นว่ามีมาก
วิธีที่ง่ายของการให้อย่างชัดเจนการแก้ปัญหาของความสอดคล้องกันเมื่อมันเป็น
ที่ละลายน้ำได้ [ใช้วิลสัน '

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สมาคมคณิตศาสตร์จะร่วมมือกับบริการรูปแบบ รักษา และขยายการเข้าถึง
ราชกิจจานุเบกษาคณิตศาสตร์ .
http : / / www.jstor . org
ข้อความคาดการณ์ของบริจาคให้ผู้เขียนทฤษฎี
หมายเลข ( s ) : แหล่งที่มาของปีเตอร์ ชิว
: คณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษา ฉบับที่ 91 ฉบับที่ 522 ( พ.ย. 2550 ) 453-461
. เผยแพร่โดย : สมาคมคณิตศาสตร์
คงที่ URL : http : / / www.jstor . org / มั่นคง / 40378418
เข้าถึงได้ :17-05-2015 14 : 54 UTC
ใช้ของบริการเก็บแสดงว่าคุณยอมรับเงื่อนไข&เงื่อนไขการใช้งานได้ที่ http : / / www.jstor . org / หน้า /
ข้อมูล / เกี่ยวกับ / นโยบาย / เงื่อนไข JSP
บริการเป็นบริการไม่หวังผลกำไรที่ช่วยให้นักวิชาการ นักวิจัย และนักศึกษาค้นพบและสร้างขึ้นใช้ หลากหลายเนื้อหา
ในความไว้วางใจดิจิตอลเก็บเราใช้เทคโนโลยี สารสนเทศ และเครื่องมือในการเพิ่มผลผลิตและบริการรูปแบบใหม่ของทุนการศึกษา
สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับบริการโปรดติดต่อบริการสนับสนุน @ . org .
นี้เนื้อหาที่ดาวน์โหลดจาก 110.164.170.1 บน Sun , 17 พฤษภาคม 2015 14:54:10 UTC
ทั้งหมดใช้บริการเงื่อนไขและ conditionseulers ผลงานเรื่องทฤษฎีจำนวน 453
ข้อความคาดการณ์ของบริจาคทฤษฎีจำนวน
ปีเตอร์ชิว
1บทนำ
บุคคลที่เก่งคณิตศาสตร์มีความสุขเสมอดี
สมควรได้รับชื่อเสียงสูง อย่างไรก็ตาม ไม่กี่ร้อยปี กลับไปเป็นอาชีพมีเกียรติด้วย
หมายถึงความก้าวหน้าทางสังคม เช่นแต่ละ
ต้องการอุปถัมภ์เพื่อสนับสนุนกิจกรรมสร้างสรรค์ในระยะยาว

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ( 1707-1783 ) มีโชคลาภได้รับการสนับสนุน
อย่างต่อเนื่อง โดย ปีเตอร์ มหาราช ( 1672-1725 ) frederich มหา ( 1712 -
1 ) และมหาจักรพรรดินีแคทเธอรีน ( 1729-1791 ) ทำให้เขากลายเป็นนัก

ชั้นนำที่โดดเด่นมากของศตวรรษที่สิบแปด

ในบันทึกนี้ ร่วมฉลองครบรอบ 300 ปี ของเขา ผมจะพูดถึงผลงานของเขาในทฤษฎีจำนวนซึ่งขยายไปบ้าง
fiftyears . แต่มันก็ทำให้ขึ้น
เพียงส่วนเล็ก ๆของผลผลิตทางวิทยาศาสตร์อันยิ่งใหญ่ของเขา ( มันใช้แค่ 4
) จากกว่า 70 งานสมบูรณ์ของเขา ) เป็นส่วนใหญ่ผ่าน
การวิจัยของเขาในทฤษฎีจำนวนที่เขาจะถูกจดจำในฐานะ
นักคณิตศาสตร์และเป็นที่ชัดเจนว่าคณิตศาสตร์ให้ความพึงพอใจมากที่สุดและยังแห้ว
มากครับ ผู้อ่านหนังสือพิมพ์จะคุ้นเคยกับหลายของเขา
ผลลัพธ์ที่ได้เป็นอย่างดีอธิบายในดาเวนพอร์ทที่มีชื่อเสียง . ข้อความ [ 1 ] และ
ผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับประวัติความเป็นมาทางประวัติศาสตร์พร้อมกับ
ส่วนที่เหลือของเรื่องตัวเอง ควรปรึกษาช่าง . Weil เด็ดขาด
งานวิชาการ [ 2 ] ซึ่ง มากในสิ่งที่ผมเขียนตาม บางส่วนของหัวข้อที่ถูกกล่าวถึง
ที่นี่ยังมีกำหนดไว้ในข้อความคาดการณ์ของเอง
introductio ใน