Theorem3 (Garc´ ıa). The point P li

Theorem3 (Garc´ ıa). The point P lies on the circumcircle ofΔ2. The circumcenter
of Δ2 is O, the circumcenter of Δ.
Corollary 4. The orthocenter H1 of Δ1 is antipodal to P on the circumcircle of
Δ2.
Proof. The two similarities σH,
1
2
, σG,−1
2
take the circumcircle of Δ to the circum-
circle to the midpoint triangle Δm, hence σH,2σG,−1
2
preserves the circumcircle of
Δ and hence its center O. Thus σH,2σG,−1
2
= σO,−1.
Now evaluating both sides at P we get that σH,2σG,−1
2
(P)= σH,2(Z)= H1 is
antipodal to P. 
Corollary 5. Δ2 and Δ1 are in perspective from H1.
Proof. Since Δ2 is obtained by reflection of the vertices of Δ1 across the sides of
Δ, which are parallel to the sides of Δ1, then the altitudes of Δ1 (concurrent at
H1) pass through the vertices of Δ2. 
Corollary 6. The midpoints of corresponding vertices of Δ1 and Δ2 lie on the
corresponding sides of Δ.
Proof. This follows immediately from the construction.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Theorem3 (Garc´ ıa) จุด P อยู่บน circumcircle ofΔ2 การ circumcenterของ Δ2 เป็น O, circumcenter ของδยอดCorollary 4 Orthocenter H1 ของ Δ1 เป็น antipodal กับ P บน circumcircle ของΔ2หลักฐานการ ΣH ความเหมือนที่สอง12, ΣG, −12ใช้ circumcircle ของδยอด circum-วงกลมไปยังจุดกึ่งกลางสามเหลี่ยม Δm ดังนั้น σH, 2σG, −12รักษา circumcircle ของΔยอด และด้วยเหตุนี้ศูนย์ของโอ ดังนั้น σH, 2σG, −12= ΣO, −1ตอนนี้ประเมินทั้งสองด้านที่ P เราเรียกว่า σH, 2σG, −12(P) = σH,2(Z) = H1 เป็นantipodal กับพีCorollary 5 Δ2 และ Δ1 อยู่ในมุมมองจาก H1หลักฐานการ เนื่องจาก Δ2 จะได้รับ โดย reflection ของจุดยอดของ Δ1 ในด้านของΔยอด ซึ่งเป็นคู่ขนานกับด้านของ Δ1 แล้วระดับของ Δ1 (พร้อมที่ผ่าน H1) ผ่านจุดยอดของ Δ2 Corollary 6 จ้างของของจุดยอดที่สอดคล้องกันของ Δ1 และ Δ2 อยู่ในตัวด้านที่สอดคล้องกันของδยอดหลักฐานการ นี้ต่อทันทีจากการก่อสร้าง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Theorem3 (Garc' IA) จุด P อยู่บนล้อมofΔ2 วงล้อมของΔ2เป็น O, วงล้อมของΔ. ควันหลง 4. orthocenter H1 ของΔ1เป็นตรงกันข้ามกับเท้าไปที่ P ใน circumcircle ของΔ2. หลักฐาน ทั้งสองมีลักษณะคล้ายคลึงσH, 1 2, σG, -1 2 ใช้ circumcircle ของΔไปยังสภาวะแวดล้อมวงกลมรูปสามเหลี่ยมจุดกึ่งกลางΔmจึงσH, 2σG, -1 2 รักษา circumcircle ของΔและด้วยเหตุนี้ศูนย์ทุมดังนั้นσH , 2σG, -1 2 = σO, -1. ตอนนี้การประเมินทั้งสองฝ่ายที่ P เราได้รับที่σH, 2σG, -1 2 (P) = σH 2 (Z) = H1 เป็นตรงกันข้ามกับเท้าพี? ควันหลง 5. Δ2 และΔ1อยู่ในมุมมองจาก H1. หลักฐาน ตั้งแต่Δ2จะได้รับโดยการชั้น ection ของจุดของΔ1ข้ามด้านของΔซึ่งขนานกับด้านข้างของΔ1แล้วระดับความสูงΔ1 (พร้อมกันในH1) ผ่านจุดของΔ2 ? ควันหลง 6. จุดกึ่งกลางของจุดที่สอดคล้องกันของการโกหกและΔ1Δ2ในด้านที่สอดคล้องกันของΔ. หลักฐาน นี้ต่อไปได้ทันทีจากการก่อสร้าง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

theorem3 ( garc ใหม่ı ) จุด P อยู่บน circumcircle ของΔ 2 การ circumcenter
ของΔ 2 O , circumcenter ของΔ .
ควันหลง 4 อ ์โทเซนเตอร์ที่ H1 ของΔ 1 แอนติโพแดล P บน circumcircle ของΔ 2
.
พิสูจน์ สองความคล้ายคลึงกันσ H ,
1
2
, σ G − 1
2
เอา circumcircle ของΔกับรอบ
วงกลมจุดกึ่งกลางสามเหลี่ยมΔ M จึงσ H 2 σ G − 1
2

circumcircle ของที่เก็บรักษาΔและด้วยเหตุนี้ของศูนย์โอ จึงσ H 2 σ G − 1
2
= σ O − 1 .
ตอนนี้ประเมินทั้งสองฝ่ายที่ P เราได้σ H 2 σ G − 1
2
( p ) = σ H 2 ( z ) = เป็น H1
แอนติโพแดลไปหน้า 
ควันหลง 5 Δ 2 และΔ 1 ในมุมมองจาก H1 .
พิสูจน์ ตั้งแต่Δ 2 ได้อีกครั้งfl ection ของจุดยอดของΔ 1 ในด้านของ
Δซึ่งขนานกับด้านข้างของΔ 1 แล้วความสูงของΔ 1
( พร้อมกันที่H1 ) ผ่านจุดยอดของΔ 2 ควันหลง 
6 การ midpoints ของที่จุดของΔ 1 และΔ 2 นอนบนด้านเดียวกันของΔ
.
พิสูจน์ นี้ต่อไปนี้ทันทีจากการก่อสร้าง