Where Vno(r – Rj) is the free atomi

Where Vno(r – Rj) is the free atomic potential of the Rjth atom. The wave functions for the crystal orbitals may be expressed in term of a Bloch sum, which is given by
()()()1/21jikrRikrknreerNVφφ−−⋅⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠
()1/21ikrkeurNV⋅⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ (4.88)
Where uk(r) is the Bloch function. In Eq. (4.88), the atomic wave functions are being normalized (i.e., N represents the total number of atoms in the crystal). The factor (1/NV)1/2 is the normalization constant for the Bloch sum if overlapping of the atomic orbitals centered at different atomic sites is negligible. Thus, Eq. (4.88) is a good approximation for the crystal orbitals, provided that the energy levels of the atomic orbits are nondegenerate and overlapping between the orbital wave functions of the neighboring atoms is negligible. This condition can be expressed by
()()*njnirRrRdr φφ−−=∫ (4.89)
Note that in Eq.(4.89), δij = 0 if i ≠ j. Now, substituting Eq. (4.88) into Eq. (4.87), multiplying Eq. (4.87) by the conjugate wave functions, φn*(r - Ri), and integrating the expression over the entire space, one obtains
()()*3kkkErHrφφ=∫
()()()()22*312jiikRRninojnjijerRVrRrRdrNVmφφ⋅−⎧⎡⎤∇⎪⎛⎞=−−+−⎨⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎪⎣⎦⎩Σ∫h
()()()()*jiikRRnjjnjijerRVrRrRdrφφ⋅−⎫⎪′+−−−⎬⎪⎭Σ∫ (4.90)
Using Eq. (4.89), Eq. (4.90) can be rewritten as follows:
()ijijikRknonnijREERe⋅=−−Σαβ (4.91)
Where Rij = Rj – Ri, and
22*12nonnonENVmφ∇=−+⎡⎤⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫h (4.92)
()()2nnijrRVrRdrαφ′=−−−∫ (4.93)
()()()*nnijnjrRVrRrRdrβφφ′=−−−−∫ (4.94)
()()()jnojjVrRVrRVrR′−=−+− (4.95)
As shown in Figure 4.8, Vno(r – Rj) is the unperturbed atomic potential centered at Rj, and V′(r – Rj) is the perturbed crystal potential due to atoms other than the Rjth atom.
In general, the atomic orbital wave functions φn(r) falls off exponentially with the distance r, and hence overlapping of each atomic orbital wave function φn(r) is assumed to be negligibly small. Therefore, it is expected that the contribution to βn will come from a rather restricted range of r. Furthermore, it is also expected that βn will decrease rapidly with increasing distance between the neighboring atoms. Figure 4.8 illustrates the potential V′(r – Rj), which plays the role of the perturbing potential, is practically zero in the vicinity of Rj. The LCAO method may be applied to construct the energy band structures of the s-like states for a simple cubic lattice and a body-centered cubic lattice. This is discussed next.
4.6.1. The S-like States for a Simple Cubic Lattice
The LCAO method is first applied to the calculations of the energy band structure of the s-like states for a simple cubic lattice. In a simple cubic lattice, there are six nearest-neighbor atoms located at an equal distance, a, from any chosen atomic site. Therefore, the value of βn(a), given by Eq. (4.94), is the same for all six nearest-neighbor atoms. Since the perturbing potential V′(r) is negative, and the atomic wave functions are of the same sign in the region of overlapping, values for both αn and βn(a) are positive. Thus, the energy dispersion relation (E vs. k) for s-like states of a simple cubic lattice can be derived by substituting Rij = (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a), (–a, 0, 0), (0, –a, 0), (0, 0, –a) into Eq. (4.91), and the result yields
()yyxxzzikaikaikaikaikaikakonnEEeeeeee−−−=−+++++−αβ
()()2coscoscosnoxyznnEakaka=+−−αβ (4.96)
Equation (4.96) shows the E-k relation for the s-like states of a simple cubic lattice. Figure 4.9a and b show the energy band diagrams plotted in the kx - direction and the kx–ky plane, respectively, as calculated from Eq. (4.96). The width of the energy band for this case is equal to 12 βn(a). It is of interest to note that the shape of the E-k plot is independent of the value of αn or βn used, but depends only on the geometry of the crystal lattice. Two limiting cases deserve special mention, namely, (i) near the top of the band and (ii) near the bottom of the band. First, in the case of
near the bottom of the band, the value of k is very small, and the cosine terms in Eq. (4.96) may be expanded for small ka [i.e., cos ka (1 – k≈2a2/2)]. If only the first-order term is retained, then the energy E is found to vary with k2 near the bottom of the band. This result is identical to the free-electron case. Under this condition, the E–k relation for the s-like states in a simple cubic lattice is reduced to
()()226knonnnEEaaka=−−+αββ (4.97)
From Eq. (4.97), the electron effective mass m* for small ka can be expressed as
()2*212222knaaEmk−=⎛⎞∂=⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠βhh (4.98)
Which shows that the constant energy surface near the bottom of the band is parabolic (i.e.,), and the effective mass of electrons is a scalar quantity. Similarly, the E-k relation near the top of the band (i.e., k ≈ π/a) can be obtained by expanding cos(ka) in Eq. (4.96) at k22*/2kEk=h x = ky = kz = π/a. This is carried out by substituting kx = π/a-kx’, ky =π/a- ky’,and kz =π/a-kz’ into Eq.(4.96), (where kx’, ky’, kz’, are small wave vectors), which yields
22'*'2kkECm=+h (4.99)
Where C is a constant, and m* is given by
()2*22nmaa=−βh (4.100)
Equation (4.100) shows that the electron effective mass m* is negative near the top of the band. It is noted that the effective masses given by Eqs. (4.98) and (4.100) represent the curvatures of the bottom and top of the s-like energy band, respectively. The effective mass is an important physical parameter in that it measures the curvature of the (E–k) energy band diagram. It is noted that a positive m* means that the band is bending upward, and a negative m* implies that the band is bending downward. Moreover, an energy band with a large curvature corresponds to a small effective mass, and an energy band with a small curvature represents a large effective mass. The effective mass concept is important since the mobility of electrons in a band is inversely proportional to the effective mass of electrons. For example, by examining the curvature of the energy band diagram near the bottom of the conduction band one can obtain qualitative information concerning the effective mass and the mobility of electrons in the
conduction band. A detailed discussion of the effective masses for electrons (or holes) in the bottom (or top) of an energy band will be given in Section 4.8.
4.6.2. The S-like States for a Body-Centered Cubic Lattice
For a body-centered cubic (BCC) lattice, there are eight nearest-neighbor atoms for each chosen atomic site that are located at Rij = (±a/2, ±a/2, ±a/2). If one substitutes these values in Eq. (4.101), the E–k relation for the s-like states of the BCC crystal can be expressed as
()/2/2/28cos()cos()cos()knonnxyzEEkakaka=−−αβ (4.101)
In Eq. (4.101), values of k must be confined to the first Brillouin zone in order to have nondegenerate energy states. Using Eq. (4.101), the 2-D constant-energy contour plotted in the first quadrant of the kx–ky plane for the s-like states of a body-centered cubic lattice is shown in Figure 4.10. Although the constant energy surfaces are spherical near the zone center and zone boundaries, the constant-energy contours depart considerably from the spherical shape for other values of k. For small values of k near the zone center and for large values of k near the zone boundaries, the electron energy E is proportional to k2, and the effective mass of electrons can be derived from Eq. (4.101), which yields
()2*28nmaa=βh (4.102)
From Eq. (4.101), it can be shown that the total width of the allowed energy band for the s-like states in a body center cubic crystal lattice is equal to 16βn(a).
It is clear from the above examples that the tight-binding approximation is indeed applicable for calculating the energy states of the core electrons, such as the s-like states in the cubic crystals.
4.7. ENERGY BAND STRUCTURES FOR SOME SEMICONDUCTORS
Calculations of energy band structures for the elemental (Si, Ge) and III-V compound semiconductors (e.g., GaAs, InP, etc.) have been widely reported in the literature. As a result a great deal of information is available for the band structures of semiconductors from both the theoretical and experimental sources. In most cases theoretical calculations of the energy band structures for these semiconductor materials are guided by the experimental data from the optical absorption, photoluminescence, and photoemission experiments in which the fundamental absorption process is closely related to the density of states and the transitions from the initial to the final states of
the energy bands. The energy band structures for some elemental and III-V compound semiconductors calculated from the pseudopotential method are discussed in this section. In general, the exact calculations of the energy band structures for semiconductors are much more complex than those of the NFE approximation and the LCAO method described in this chapter. In fact, both of these approximations can only provide a qualitative description of the energy bands in a crystalline solid. For semiconductors, the two most commonly used methods for calculating the energy band structures are the pseudopotential and the orthogonalized plane wave methods. They are discussed briefly as follows.
The main difficulty of band calculations in a real crystal is that the only wave functions, which satisfy the boundary conditions imposed by the Bloch theorem in a simple manner are plane waves, but plane wave expressions do not converge readily in the interior of an atomic cell. The pseudopotential method is based on the concept of introducing the pseudopotential for a crystal that will lead to the same energy levels as the real crystal potential but do not have the same wave functions. The pseudopotential technique can greatly improve the convergence of the series of the plane waves that represent the pseudowave functions of electrons in a crystal.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ซึ่ง Vno (r-Rj) อยู่เป็นอะตอมอิสระของอะตอม Rjth ฟังก์ชันคลื่นสำหรับ orbitals คริสตัลอาจแสดงในเทอมของผลเม็ดเลือดขาว ซึ่งถูกกำหนดโดย()()() 1/21jikrRikrknreerNVφφ−−⋅⎛⎞ =−⎜⎟⎝⎠() 1/21ikrkeurNV⋅⎛⎞ =⎜⎟⎝⎠ (4.88)ที่ uk(r) เป็นการทำงานของเม็ดเลือดขาว มีอยู่ตามปกติใน Eq. (4.88), ฟังก์ชันคลื่นอะตอม (เช่น N แทนจำนวนของอะตอมในผลึก) ตัว (1/NV) 1/2 คือ ค่าคงฟื้นฟูสำหรับผลเม็ดเลือดขาวถ้าซ้อนทับกันของ orbitals อะตอมที่แปลกที่เว็บไซต์อะตอมแตกต่างกันเป็นระยะ ดังนั้น Eq. (4.88) เป็นการประมาณที่ดีสำหรับ orbitals คริสตัล ที่มีระดับพลังงานของวงโคจรอะตอม nondegenerate และทับซ้อนกันระหว่างฟังก์ชันคลื่นของวงโคจรของอะตอมใกล้เคียงเป็นระยะ เงื่อนไขนี้สามารถแสดงได้โดย()() * njnirRrRdr φφ−− =∫ (4.89)หมายเหตุว่า ใน Eq.(4.89), δij = 0 ถ้าฉัน≠ j ตอนนี้ แทนที่ Eq. (4.88) เป็น Eq. (4.87), คูณ (4.87) Eq. conjugate คลื่นฟังก์ชัน φn * (r - Ri), และรวมนิพจน์มากกว่าพื้นที่ทั้งหมด หนึ่งเหตุผล()() * 3kkkErHrφφ =∫()()()() 22 * 312jiikRRninojnjijerRVrRrRdrNVmφφ⋅−⎧⎡⎤∇⎪⎛⎞ =−− + −⎨⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎪⎣⎦⎩Σ∫h()()()() * jiikRRnjjnjijerRVrRrRdrφφ⋅−⎫⎪′ + −−−⎬⎪⎭Σ∫ (4.90)ใช้ Eq. (4.89), Eq. (4.90) สามารถมีจิตเป็นดังนี้:ijijikRknonnijREERe⋅ () =−−Σαβ (4.91)ที่ Rij = Rj – Ri และ22 * 12nonnonENVmφ∇ =− + ⎡⎤⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫h (4.92)2nnijrRVrRdrαφ′ ()() =−−−∫ (4.93)()()() * nnijnjrRVrRrRdrβφφ′ =−−−−∫ (4.94)jnojjVrRVrRVrR′− ()()() =− + − (4.95)ดังแสดงในรูปที่ 4.8, Vno (r-Rj) เป็นอะตอมหมายทันที Rj และ V′ (r-Rj) คริสตัล perturbed อาจเกิดขึ้นเนื่องจากอะตอมไม่ใช่อะตอม Rjthทั่วไป φn(r) ฟังก์ชันคลื่นโคจรอะตอมอยู่ปิดสร้างกับ r ระยะทาง และดังนั้น ซ้อนทับกันของแต่ละอะตอมของวงโคจรคลื่นฟังก์ชัน φn(r) จะถือขนาดเล็ก negligibly ดังนั้น คาดว่า สัดส่วนการ βn จะมาจาก r ค่อนข้างจำกัด นอกจากนี้ คาดว่า βn จะลดอย่างรวดเร็ว ด้วยการเพิ่มระยะห่างระหว่างอะตอมใกล้เคียง รูป 4.8 แสดง V′ เป็น (r-Rj), ซึ่งบทบาทศักยภาพ perturbing เป็นศูนย์จริงตั้ง Rj อาจใช้วิธี LCAO การสร้างโครงสร้างแถบพลังงานของอเมริกาเหมือน s โครงตาข่ายประกอบลูกบาศก์ง่าย ๆ และเนื้อหาแปลกลูกบาศก์โครงตาข่ายประกอบ นี้จะกล่าวถึงต่อไป4.6.1.อเมริกาเหมือน S สำหรับโครงตาข่ายประกอบลูกบาศก์อย่างก่อนมีใช้วิธี LCAO การคำนวณโครงสร้างแถบพลังงานของอเมริกาเหมือน s สำหรับโครงตาข่ายประกอบลูกบาศก์อย่าง ในเรื่องลูกบาศก์โครงตาข่ายประกอบ มีหกใกล้บ้านอะตอมมีระยะห่างเท่า ๆ a จากเว็บไซต์อะตอมใด ๆ ท่าน ดังนั้น βn(a) โดย Eq. (4.94), ค่าเป็นเหมือนกันทั้งหมดหกใกล้บ้านอะตอม เนื่องจาก V′(r) เป็น perturbing เป็นค่าลบ และฟังก์ชันคลื่นอะตอมเป็นเครื่องหมายเดียวกันในภูมิภาคของการซ้อนทับกัน ค่าสำหรับ αn และ βn(a) มีค่าเป็นบวก ดัง พลังงานกระจายตัวความสัมพันธ์ (E เทียบกับ k) สำหรับ s เหมือนอเมริกาของโครงตาข่ายประกอบลูกบาศก์อย่างสามารถได้มา โดยการแทนที่ Rij = (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0 เป็น), (-a, 0, 0), (0, -a, 0), (0, 0, –) Eq. (4.91), และผลผลิตผลลัพธ์yyxxzzikaikaikaikaikaikakonnEEeeeeee−−− () =− +++ −αβ2coscoscosnoxyznnEakaka ()() = + −−αβ (4.96)สมการ (4.96) แสดงความสัมพันธ์ E-k สำหรับอเมริกาเหมือน s ของโครงตาข่ายประกอบลูกบาศก์อย่าง รูป 4.9a และ b แสดงไดอะแกรมวงพลังงานที่พล็อตใน kx - ทิศทางและระนาบ kx-ky ตามลำดับ เป็นคำนวณจาก Eq. (4.96) ความกว้างของแถบพลังงานสำหรับกรณีนี้จะเท่ากับ 12 βn(a) มันจะสนใจสังเกตว่า รูปร่างของแปลง E-k ขึ้นอยู่กับค่าของ αn หรือ βn ที่ใช้ แต่ขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตของโครงตาข่ายประกอบคริสตัลเท่านั้น กรณีสองจำกัดสมควรพูดถึงพิเศษ ได้แก่, (i) ใกล้ด้านบนของวง และ (ii) ที่ด้านล่างของวง ครั้งแรก ในกรณีของnear the bottom of the band, the value of k is very small, and the cosine terms in Eq. (4.96) may be expanded for small ka [i.e., cos ka (1 – k≈2a2/2)]. If only the first-order term is retained, then the energy E is found to vary with k2 near the bottom of the band. This result is identical to the free-electron case. Under this condition, the E–k relation for the s-like states in a simple cubic lattice is reduced to()()226knonnnEEaaka=−−+αββ (4.97)From Eq. (4.97), the electron effective mass m* for small ka can be expressed as()2*212222knaaEmk−=⎛⎞∂=⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠βhh (4.98)Which shows that the constant energy surface near the bottom of the band is parabolic (i.e.,), and the effective mass of electrons is a scalar quantity. Similarly, the E-k relation near the top of the band (i.e., k ≈ π/a) can be obtained by expanding cos(ka) in Eq. (4.96) at k22*/2kEk=h x = ky = kz = π/a. This is carried out by substituting kx = π/a-kx’, ky =π/a- ky’,and kz =π/a-kz’ into Eq.(4.96), (where kx’, ky’, kz’, are small wave vectors), which yields22'*'2kkECm=+h (4.99)Where C is a constant, and m* is given by()2*22nmaa=−βh (4.100)Equation (4.100) shows that the electron effective mass m* is negative near the top of the band. It is noted that the effective masses given by Eqs. (4.98) and (4.100) represent the curvatures of the bottom and top of the s-like energy band, respectively. The effective mass is an important physical parameter in that it measures the curvature of the (E–k) energy band diagram. It is noted that a positive m* means that the band is bending upward, and a negative m* implies that the band is bending downward. Moreover, an energy band with a large curvature corresponds to a small effective mass, and an energy band with a small curvature represents a large effective mass. The effective mass concept is important since the mobility of electrons in a band is inversely proportional to the effective mass of electrons. For example, by examining the curvature of the energy band diagram near the bottom of the conduction band one can obtain qualitative information concerning the effective mass and the mobility of electrons in theconduction band. A detailed discussion of the effective masses for electrons (or holes) in the bottom (or top) of an energy band will be given in Section 4.8.4.6.2. The S-like States for a Body-Centered Cubic LatticeFor a body-centered cubic (BCC) lattice, there are eight nearest-neighbor atoms for each chosen atomic site that are located at Rij = (±a/2, ±a/2, ±a/2). If one substitutes these values in Eq. (4.101), the E–k relation for the s-like states of the BCC crystal can be expressed as()/2/2/28cos()cos()cos()knonnxyzEEkakaka=−−αβ (4.101)In Eq. (4.101), values of k must be confined to the first Brillouin zone in order to have nondegenerate energy states. Using Eq. (4.101), the 2-D constant-energy contour plotted in the first quadrant of the kx–ky plane for the s-like states of a body-centered cubic lattice is shown in Figure 4.10. Although the constant energy surfaces are spherical near the zone center and zone boundaries, the constant-energy contours depart considerably from the spherical shape for other values of k. For small values of k near the zone center and for large values of k near the zone boundaries, the electron energy E is proportional to k2, and the effective mass of electrons can be derived from Eq. (4.101), which yields()2*28nmaa=βh (4.102)From Eq. (4.101), it can be shown that the total width of the allowed energy band for the s-like states in a body center cubic crystal lattice is equal to 16βn(a).It is clear from the above examples that the tight-binding approximation is indeed applicable for calculating the energy states of the core electrons, such as the s-like states in the cubic crystals.4.7. ENERGY BAND STRUCTURES FOR SOME SEMICONDUCTORSCalculations of energy band structures for the elemental (Si, Ge) and III-V compound semiconductors (e.g., GaAs, InP, etc.) have been widely reported in the literature. As a result a great deal of information is available for the band structures of semiconductors from both the theoretical and experimental sources. In most cases theoretical calculations of the energy band structures for these semiconductor materials are guided by the experimental data from the optical absorption, photoluminescence, and photoemission experiments in which the fundamental absorption process is closely related to the density of states and the transitions from the initial to the final states ofthe energy bands. The energy band structures for some elemental and III-V compound semiconductors calculated from the pseudopotential method are discussed in this section. In general, the exact calculations of the energy band structures for semiconductors are much more complex than those of the NFE approximation and the LCAO method described in this chapter. In fact, both of these approximations can only provide a qualitative description of the energy bands in a crystalline solid. For semiconductors, the two most commonly used methods for calculating the energy band structures are the pseudopotential and the orthogonalized plane wave methods. They are discussed briefly as follows.
The main difficulty of band calculations in a real crystal is that the only wave functions, which satisfy the boundary conditions imposed by the Bloch theorem in a simple manner are plane waves, but plane wave expressions do not converge readily in the interior of an atomic cell. The pseudopotential method is based on the concept of introducing the pseudopotential for a crystal that will lead to the same energy levels as the real crystal potential but do not have the same wave functions. The pseudopotential technique can greatly improve the convergence of the series of the plane waves that represent the pseudowave functions of electrons in a crystal.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ที่ไหนนี (R - Rj) เป็นอะตอมที่มีศักยภาพฟรีอะตอม Rjth ฟังก์ชั่นสำหรับคลื่น orbitals คริสตัลอาจจะแสดงออกในรูปของผลรวมโบลชซึ่งจะได้รับจาก
() () () 1 / 21jikrRikrknreerNVφφ - ⋅⎛⎞ = -⎜⎟⎝⎠
() 1 / 21ikrkeurNV⋅⎛⎞ = ⎜⎟⎝⎠ (4.88)
ในกรณีที่สหราชอาณาจักร (R) เป็นฟังก์ชั่นโบลช ในสมการ (4.88) ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นคลื่นอะตอมที่ถูกปกติ (เช่นไม่มีข้อความแสดงให้เห็นถึงจำนวนของอะตอมในผลึก) ปัจจัย (1 / NV) 1/2 เป็นมาตรฐานคงที่สำหรับผลรวม Bloch ถ้าที่ทับซ้อนกันของอะตอม orbitals ศูนย์กลางที่เว็บไซต์ของอะตอมที่แตกต่างกันเล็กน้อย ดังนั้นสมการ (4.88) เป็นประมาณการที่ดีสำหรับ orbitals คริสตัลโดยมีเงื่อนไขว่าระดับพลังงานของอะตอมมีวงโคจร nondegenerate และทับซ้อนกันระหว่างฟังก์ชันคลื่นโคจรของอะตอมที่อยู่ใกล้เคียงเป็นเล็กน้อย เงื่อนไขนี้สามารถแสดงโดย
() () * njnirRrRdr φφ - = ∫
(4.89). ทราบว่าในสมการ (4.89) δij = 0 ถ้าฉัน≠เจ ตอนนี้แทนสมการ (4.88) ลงในสมการ (4.87) คูณสมการ (4.87) โดยฟังก์ชั่นคลื่นคอนจูเกตที่φn * (R - Ri) และการบูรณาการการแสดงออกมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดหนึ่ง (4.90) โดยใช้สมการ (4.89), สมการ (4.90) สามารถเขียนใหม่ดังนี้() ijijikRknonnijREERe⋅ = - Σαβ (4.91) ในกรณีที่ Rij = Rj - รีและ22 * 12nonnonENVmφ∇ = - + ⎡⎤⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫h ( 4.92) () () 2nnijrRVrRdrαφ '= ∫ --- (4.93) () () () * nnijnjrRVrRrRdrβφφ' ---- = ∫ (4.94) () () () jnojjVrRVrRVrR - = - + - (4.95) ดังแสดงในรูป 4.8, นี (R - Rj) เป็นศักยภาพอะตอมใจเย็นศูนย์กลางที่ Rj และ V '(R - Rj) จะมีศักยภาพคริสตัลตกอกตกใจเนื่องจากการอะตอมอื่น ๆ กว่าอะตอม Rjth. โดยทั่วไปคลื่นโคจรอะตอม ฟังก์ชั่นφn (R) ลงไปชี้แจงกับระยะทาง r และด้วยเหตุที่ทับซ้อนกันของแต่ละฟังก์ชันคลื่นโคจรอะตอมφn (R) จะถือว่าเป็นขนาดเล็ก negligibly ดังนั้นจึงเป็นที่คาดว่ามีส่วนร่วมในการβnจะมาจากช่วงที่ จำกัด ค่อนข้างอาร์ นอกจากนี้ยังเป็นที่คาดว่าจะลดลงβnอย่างรวดเร็วด้วยระยะทางที่เพิ่มขึ้นระหว่างอะตอมที่อยู่ใกล้เคียง รูปที่ 4.8 แสดงให้เห็นถึงศักยภาพ V '(R - Rj) ซึ่งมีบทบาทศักยภาพก่อกวนเป็นศูนย์จริงในบริเวณใกล้เคียง Rj วิธี LCAO อาจนำมาใช้ในการสร้างโครงสร้างแถบพลังงานของรัฐ s เหมือนสำหรับตาข่ายลูกบาศก์ที่เรียบง่ายและมีร่างกายที่เป็นศูนย์กลางตาข่ายลูกบาศก์ นี้จะกล่าวถึงต่อไป. 4.6.1 รัฐ S เหมือนหาง่ายลูกบาศก์ Lattice วิธี LCAO ถูกนำมาใช้ครั้งแรกในการคำนวณของโครงสร้างแถบพลังงานของรัฐ s เหมือนสำหรับตาข่ายลูกบาศก์ที่เรียบง่าย ในตาข่ายลูกบาศก์ที่เรียบง่ายมีหกอะตอมเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดอยู่ที่ระยะห่างเท่ากันจากเว็บไซต์ใด ๆ ที่ได้รับการแต่งตั้งอะตอม ดังนั้นมูลค่าของβn (ก) ได้รับจากสมการ (4.94) จะเหมือนกันสำหรับทั้งหกอะตอมเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด นับตั้งแต่ที่มีศักยภาพก่อกวน V '(R) เป็นลบและฟังก์ชั่นคลื่นอะตอมที่มีเครื่องหมายเดียวกันในภูมิภาคที่ทับซ้อนกันที่ค่าสำหรับทั้งαnและβn (ก) เป็นบวก ดังนั้นความสัมพันธ์การกระจายพลังงาน (E เทียบกับ k) สำหรับรัฐ s เหมือนของตาข่ายลูกบาศก์ง่ายที่จะได้รับโดยการแทน Rij = (ก, 0, 0), (0, A, 0), (0, 0, ก) (-a, 0, 0), (0, -a, 0), (0, 0, -a) ลงในสมการ (4.91) และผลที่ได้ (4.96) สมการ (4.96) แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์เอกสำหรับรัฐ s เหมือนของตาข่ายลูกบาศก์ที่เรียบง่าย รูปที่ 4.9a และแผนภาพแสดงขวงพลังงานที่พล็อตใน KX - ทิศทางและเครื่องบิน KX-เคนตั๊กกี้ตามลำดับตามที่คำนวณได้จากสมการ (4.96) ความกว้างของแถบพลังงานสำหรับกรณีนี้จะมีค่าเท่ากับ 12 βn (ก) มันเป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่ารูปทรงของพล็อตเอกเป็นอิสระของมูลค่าของαnหรือβnที่ใช้ แต่ขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตของผลึกตาข่ายที่ ทั้งสองกรณีการ จำกัด สมควรได้รับการกล่าวถึงเป็นพิเศษคือ (i) ใกล้ด้านบนของวงและ (ii) อยู่ด้านล่างของวง ครั้งแรกในกรณีที่อยู่ด้านล่างของวงดนตรีที่มีค่าของ k ที่มีขนาดเล็กมากและเงื่อนไขโคไซน์ในสมการ (4.96) อาจจะขยายตัวเล็กค่ะ [คือ cos ka (1 - k≈2a2 / 2)] ถ้าเพียง แต่ในระยะแรกเพื่อที่จะยังคงอยู่แล้ว E พลังงานพบว่าแตกต่างกันกับ k2 อยู่ด้านล่างของวง ผลที่ได้นี้จะเหมือนกับกรณีฟรีอิเล็กตรอน ภายใต้เงื่อนไขนี้ E-k สำหรับความสัมพันธ์ของรัฐเหมือนในตาข่ายลูกบาศก์ที่เรียบง่ายจะลดลงไป() () 226knonnnEEaaka = - + αββ (4.97) จากสมการ (4.97) อิเล็กตรอนที่มีประสิทธิภาพมวลเมตร * สำหรับ ka ขนาดเล็กสามารถแสดงเป็น() 2 * 212222knaaEmk- = = ⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠βhh⎛⎞∂ (4.98) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าพื้นผิวพลังงานคงที่อยู่ด้านล่างของ วงดนตรีเป็นรูปโค้ง (เช่น) ที่มีประสิทธิภาพและมวลของอิเล็กตรอนเป็นปริมาณสเกลา ในทำนองเดียวกันความสัมพันธ์เอกใกล้ด้านบนของวงดนตรี (เช่น k ≈π / a) สามารถรับได้โดยการขยาย cos (กา) ในสมการ (4.96) ที่ k22 * / 2kEk HX = = = KY KZ = π / a ซึ่งจะดำเนินการโดยการแทน KX = π / a-KX 'เคนตั๊กกี้ = π / a- เคนตั๊กกี้' และ KZ = π / a-KZ 'ลงในสม. (4.96), (ที่ KX' เคนตั๊กกี้ 'KZ' เป็นพาหะคลื่นขนาดเล็ก) ซึ่งอัตราผลตอบแทน22 '*' 2kkECm + = h (4.99) ในกรณีที่ C เป็นค่าคงที่และม. * จะได้รับจาก() 2 * 22nmaa = -βh (4.100) สมการ (4.100) แสดงให้เห็นว่า อิเล็กตรอนมวลเมตรที่มีประสิทธิภาพ * เป็นลบใกล้ด้านบนของวง เป็นที่สังเกตว่ามวลชนที่มีประสิทธิภาพที่ได้รับจาก EQS (4.98) และ (4.100) เป็นตัวแทนของโค้งของด้านล่างและด้านบนของแถบพลังงาน s เหมือนตามลำดับ มวลที่มีประสิทธิภาพเป็นตัวแปรทางกายภาพที่สำคัญในการที่จะวัดความโค้งของ (E-k) แผนภาพวงพลังงาน มันเป็นข้อสังเกตที่เป็นบวกม. * หมายความว่าวงดนตรีที่มีการดัดขึ้นและเชิงลบม. * หมายความว่าวงดนตรีที่มีการดัดลง นอกจากนี้กลุ่มพลังงานที่มีความโค้งขนาดใหญ่สอดคล้องกับมวลที่มีประสิทธิภาพขนาดเล็กและกลุ่มพลังงานที่มีความโค้งขนาดเล็กหมายถึงมวลขนาดใหญ่ที่มีประสิทธิภาพ แนวคิดมวลที่มีประสิทธิภาพเป็นสิ่งสำคัญเนื่องจากการเคลื่อนไหวของอิเล็กตรอนในวงดนตรีที่จะแปรผกผันกับมวลของอิเล็กตรอนที่มีประสิทธิภาพ ตัวอย่างเช่นโดยการตรวจสอบความโค้งของแผนภาพแถบพลังงานอยู่ด้านล่างของการนำวงดนตรีที่หนึ่งสามารถได้รับข้อมูลเชิงคุณภาพเกี่ยวกับมวลที่มีประสิทธิภาพและความคล่องตัวของอิเล็กตรอนในวงการนำ การอภิปรายรายละเอียดของมวลชนที่มีประสิทธิภาพสำหรับอิเล็กตรอน (หรือหลุม) ในด้านล่าง (หรือบน) ของวงดนตรีพลังงานจะได้รับในข้อ 4.8. 4.6.2 รัฐ S-เหมือนร่างกายเป็นศูนย์กลางลูกบาศก์ตาข่ายสำหรับร่างแน่นิ่งลูกบาศก์(BCC) ตาข่ายมีแปดอะตอมที่ใกล้ที่สุดเพื่อนบ้านสำหรับแต่ละที่เลือกเว็บไซต์ของอะตอมที่อยู่ใน Rij = (±บาร์ / 2 ± / การ 2 ±บาร์ / 2) หากหนึ่งในค่าทดแทนเหล่านี้ในสมการ (4.101) ความสัมพันธ์ E-k สำหรับรัฐ s เหมือนของคริสตัล BCC สามารถแสดงเป็น() / 2/2 / 28cos () cos () cos () knonnxyzEEkakaka = - αβ (4.101) ในสมการ (4.101) ค่า k จะต้องถูกคุมขังในโซน Brillouin แรกเพื่อให้มีพลังงาน nondegenerate รัฐ โดยใช้สมการ (4.101) 2-D รูปร่างคงที่พลังงานวางแผนในด้านแรกของเครื่องบิน KX-เคนตั๊กกี้สำหรับรัฐ s เหมือนของตาข่ายร่างแน่นิ่งลูกบาศก์แสดงในรูปที่ 4.10 แม้ว่าพื้นผิวพลังงานคงเป็นทรงกลมอยู่ใกล้กับศูนย์กลางเขตพื้นที่และขอบเขตโซนรูปทรงคงที่พลังงานออกมากจากรูปทรงกลมค่าอื่น ๆ ของ k สำหรับค่าเล็ก ๆ ของ k อยู่ใกล้กับศูนย์กลางโซนและค่า k ขนาดใหญ่ที่อยู่ใกล้เขตแดนโซนพลังงานอิเล็กตรอน E เป็นสัดส่วนกับ k2 และมวลของอิเล็กตรอนที่มีประสิทธิภาพจะได้รับจากสมการ (4.101) ซึ่งผลตอบแทนถัวเฉลี่ย() 2 * 28nmaa = βh (4.102) จากสมการ (4.101) ก็สามารถที่จะแสดงให้เห็นว่ามีความกว้างรวมของแถบพลังงานที่ได้รับอนุญาตสำหรับรัฐ s เหมือนในศูนย์ร่างกายลูกบาศก์ตาข่ายคริสตัลเท่ากับ16βn (ก). มันเป็นที่ชัดเจนจากตัวอย่างข้างต้นที่ว่าแน่นผูกพัน ประมาณแน่นอนมีผลบังคับใช้สำหรับการคำนวณรัฐพลังงานของอิเล็กตรอนหลักเช่นสหรัฐฯ s เหมือนในผลึกลูกบาศก์. 4.7 ENERGY โครงสร้าง BAND สำหรับบางเซมิคอนดักเตอร์การคำนวณของโครงสร้างแถบพลังงานสำหรับธาตุ(ศรีจีอี) และสารประกอบ III-V เซมิคอนดักเตอร์ (เช่น GaAs, InP ฯลฯ ) ได้รับรายงานอย่างกว้างขวางในวรรณคดี เป็นผลให้การจัดการที่ดีของข้อมูลที่สามารถใช้ได้สำหรับโครงสร้างกลุ่มเซมิคอนดักเตอร์จากทั้งแหล่งที่มาของทฤษฎีและการทดลอง ในกรณีส่วนใหญ่การคำนวณทางทฤษฎีของโครงสร้างแถบพลังงานสำหรับวัสดุเซมิคอนดักเตอร์เหล่านี้ถูกชี้นำโดยข้อมูลจากการทดลองการดูดซึมแสง photoluminescence และทดลอง photoemission ซึ่งในกระบวนการดูดซึมพื้นฐานเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความหนาแน่นของรัฐและการเปลี่ยนจากการเริ่มต้นที่ ไปยังรัฐสุดท้ายของวงดนตรีที่พลังงาน โครงสร้างแถบพลังงานสำหรับบางธาตุและสารประกอบ III-V เซมิคอนดักเตอร์คำนวณจากวิธีศักย์เทียมที่จะกล่าวถึงในส่วนนี้ โดยทั่วไปการคำนวณที่แน่นอนของโครงสร้างแถบพลังงานสำหรับเซมิคอนดักเตอร์ที่มีความซับซ้อนมากขึ้นกว่าประมาณการศึกษานอกโรงเรียนและวิธีการ LCAO ที่อธิบายไว้ในบทนี้ ในความเป็นจริงทั้งสองประการเหล่านี้สามารถให้คำอธิบายเชิงคุณภาพของวงพลังงานในผลึกของแข็ง สำหรับเซมิคอนดักเตอร์ทั้งสองวิธีการที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการคำนวณโครงสร้างแถบพลังงานที่มีศักย์เทียมและวิธีคลื่นระนาบ orthogonalized พวกเขาจะกล่าวสั้น ๆ ดังต่อไปนี้. ปัญหาหลักของการคำนวณวงคริสตัลที่แท้จริงก็คือฟังก์ชั่นคลื่นเท่านั้นซึ่งตอบสนองเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดโดยทฤษฎีบทโบลชในลักษณะที่ง่ายเป็นคลื่นเครื่องบิน แต่การแสดงออกคลื่นระนาบไม่ได้มาบรรจบกันได้อย่างง่ายดาย ในการตกแต่งภายในของเซลล์อะตอม วิธีศักย์เทียมเป็นไปตามแนวคิดของการแนะนำศักย์เทียมสำหรับคริสตัลที่จะนำไปสู่ระดับพลังงานเช่นเดียวกับที่มีศักยภาพคริสตัลจริง แต่ไม่ได้มีฟังก์ชั่นคลื่นเดียวกัน เทคนิคศักย์เทียมสามารถปรับปรุงการบรรจบกันของชุดของคลื่นเครื่องบินที่เป็นตัวแทนของฟังก์ชั่น pseudowave ของอิเล็กตรอนในผลึกที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่ a ( R ( RJ ) คือศักยภาพของ rjth ฟรีอะตอมอะตอม คลื่นฟังก์ชันสำหรับคริสตัลวงโคจรอาจจะแสดงออกในรูปของ บล๊อคเงิน ซึ่งจะได้รับโดย
( ) ( ) ( ) 1 / 21jikrrikrknreernv φφ−−⋅⎛⎞ = −⎜⎟⎝⎠
( ) 1 / 21ikrkeurnv ⋅⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ( = 4.88 )
ที่ UK ( R ) คือฟังก์ชันบล็อค . ในอีคิว ( 4.88 ) ฟังก์ชันคลื่นอะตอมเป็นปกติ ( เช่นN หมายถึงจำนวนของอะตอมในผลึก ) ปัจจัย ( 1 / NV ) 1 / 2 คือ การฟื้นฟูคงที่สำหรับผลรวมของออร์บิทัลเชิงอะตอม บล๊อค ถ้าซ้อนกันตรงกลาง ที่เว็บไซต์ของอะตอมที่แตกต่างกันเล็กน้อย ดังนั้น อีคิว ( 4.88 ) คือการประมาณที่ดีสำหรับวงโคจรคริสตัล ,โดยที่ระดับพลังงานของอะตอมมีวงโคจร nondegenerate และทับซ้อนกันระหว่างวงโคจรของฟังก์ชันคลื่นของอะตอมเพื่อนบ้านเป็นเล็กน้อย เงื่อนไขนี้สามารถแสดงโดย
( ) ( ) * njnirrrrdr φφ−−∫ ( = 4.89 )
ทราบว่าในอีคิว ( 4.89 ) δ ij = 0 ถ้าผม≠เจตอนนี้แทนอีคิว ( 4.88 ) อีคิว ( 4.87 ) คูณอีคิว ( 4.87 ) โดยผันฟังก์ชันคลื่นφ N * ( R - ริ )และบูรณาการการแสดงออกมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดคนหนึ่งได้
( ) ( ) * 3kkkerhr φφ = ∫
( ) ( ) ( ) ( ) 22 * 312jiikrrninojnjijerrvrrrrdrnvm φφ⋅−⎧⎡⎤∇⎪⎛⎞ = −−−⎨⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎪⎣⎦⎩Σ∫ H
( ) ( ) ( ) ( ) * jiikrrnjjnjijerrvrrrrdr φφ⋅−⎫⎪′−−−⎬⎪⎭Σ∫ ( 2 )
( ใช้อีคิวและอีคิว ( 2 ) ) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้
( ) ijijikrknonnijreere ⋅ = −−Σαβ ( 4.91 )
ที่ rij =
RJ –รี22 * 12nonnonenvm φ∇ = −⎡⎤⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫ H ( 4.92 )
( ) ( ) 2nnijrrvrrdr αφ′−−−∫ ( = 4.93 )
( ) ( ) ( ) * nnijnjrrvrrrrdr βφφ′ = −−−−∫ ( 4.94 )
( ) ( ) ( ) jnojjvrrvrrvrr ′− = −− ( 4.95 )
ดังแสดงในรูปที่ 4.8 , a ( R ) RJ ) คืออะตอมที่มีศักยภาพเป็นศูนย์กลางเพื่อสะดวกใน RJ และ V School ( R ( RJ ) คือ วนเวียน ผลึกอาจเกิดขึ้นเนื่องจากอะตอมนอกจาก rjth อะตอม .
ในทั่วไปปรมาณูโคจรฟังก์ชันคลื่นφ N ( R ) ตกชี้แจงกับระยะทาง R , และด้วยเหตุนี้ที่ทับซ้อนกันของแต่ละอะตอมโคจรฟังก์ชันคลื่นφ N ( R ) ที่ถือว่าเป็น negligibly ขนาดเล็ก ดังนั้น คาดว่าเงินจะมาจากบีตาที่ค่อนข้าง จำกัด ช่วงของ นอกจากนี้คาดว่าจะลดลงอย่างรวดเร็ว บีตา เพิ่มระยะห่างระหว่างเพื่อนบ้านอะตอม รูปที่ 4 แสดงให้เห็นถึงศักยภาพในนั้น ( R ( RJ ) ซึ่งบทบาทของในใจงั้นที่มีศักยภาพ เป็นศูนย์จริง ในบริเวณใกล้เคียงของ RJ .การ lcao วิธีการอาจใช้เพื่อสร้างโครงสร้างแถบพลังงานของรัฐ s-like สำหรับตาข่ายลูกบาศก์ง่ายและร่างกายเป็นศูนย์กลาง cubic lattice นี้จะกล่าวถึงต่อไป
ต่ำ . รัฐ s-like สำหรับง่ายลูกบาศก์ขัดแตะ
lcao เป็นวิธีแรกที่ใช้กับการคำนวณของโครงสร้างแถบพลังงานของรัฐ s-like สำหรับตาข่ายแบบง่ายๆ ในขัดแตะลูกบาศก์อย่างง่ายมีหกอะตอมเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดอยู่ที่ระยะห่างเท่ากัน , เลือกอะตอมจากเว็บไซต์ ดังนั้น ค่าของบีตา ( ) ให้โดยอีคิว ( 4.94 ) เป็นเหมือนกันทุกเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด 6 อะตอม เพราะในใจงั้นศักยภาพ V School ( R ) เป็นลบ และฟังก์ชันคลื่นอะตอมที่มีเครื่องหมายเดียวกันในพื้นที่ทับซ้อน ค่า ทั้งαและบีตา ( ) เป็นบวก ดังนั้นการกระจายความสัมพันธ์พลังงาน ( E และ K ) s-like รัฐของตาข่ายปริมาตรสามารถจะได้มาโดยการ rij = ( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 3 ) อีคิว ( 4.91 ) และผลผลผลิต
( ) yyxxzzikaikaikaikaikaikakonneeeeeeee −−− = −−αβ
( ) ( ) (
−−αβ 2coscoscosnoxyznneakaka = 4.96 ) สมการ ( 4 )96 ) แสดงความสัมพันธ์ e-k สำหรับสหรัฐอเมริกา s-like ของขัดแตะลูกบาศก์อย่างง่าย รูป 4.9a และ B แสดงแถบพลังงานไดอะแกรมพล็อตใน KX - ทิศทางและ KX - KY เครื่องบินตามลำดับ เมื่อคำนวณจากอีคิว ( 4.96 ) ความกว้างของแถบพลังงานสำหรับกรณีนี้เท่ากับ 12 บีตา n ( A ) มันน่าสนใจที่จะทราบว่า รูปร่างของ e-k แปลงที่เป็นอิสระของมูลค่าของαหรือบีตา - ใช้