BOOK I.DEFINITIONS.1A point is that

BOOK I.

DEFINITIONS.

1

A point is that which has no part.
2

A line is breadthless length.
3

The extremities of a line are points.
4

A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.
5

A surface is that which has length and breadth only.
6

The extremities of a surface are lines.
7

A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself.
8

A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.
9

And when the lines containing the angle are straight, the angle is called rectilineal.
10

When a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right, and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands.
11

An obtuse angle is an angle greater than a right angle.
12

An acute angle is an angle less than a right angle.
13

A boundary is that which is an extremity of anything.
14

A figure is that which is contained by any boundary or boundaries.
15

A circle is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure are equal to one another;
16

And the point is called the centre of the circle.
17

A diameter of the circle is any straight line drawn through the centre and terminated in both directions by the circumference of the circle, and such a straight line also bisects the circle.
18

A semicircle is the figure contained by the diameter and the circumference cut off by it. And the centre of the semicircle is the same as that of the circle.
19

Rectilineal figures are those which are contained by straight lines, trilateral figures being those contained by three, quadrilateral those contained by four, and multilateral those contained by more than four straight lines.
20

Of trilateral figures, an equilateral triangle is that which has its three sides equal, an isosceles triangle that which has two of its sides alone equal, and a scalene triangle that which has its three sides unequal.
21

Further, of trilateral figures, a right-angled triangle is that which has a right angle, an obtuse-angled triangle that which has an obtuse angle, and an acuteangled triangle that which has its three angles acute.
22

Of quadrilateral figures, a square is that which is both equilateral and right-angled; an oblong that which is right-angled but not equilateral; a rhombus that which is equilateral but not right-angled; and a rhomboid that which has its opposite sides and angles equal to one another but is neither equilateral nor right-angled. And let quadrilaterals other than these be called trapezia.
23

Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.
POSTULATES.

1

Let the following be postulated:
To draw a straight line from any point to any point.

2

To produce a finite straight line continuously in a straight line.
3

To describe a circle with any centre and distance.
4

That all right angles are equal to one another.
5

That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.
COMMON NOTIONS.

1

Things which are equal to the same thing are also equal to one another.
2

If equals be added to equals, the wholes are equal.
3

If equals be subtracted from equals, the remainders are equal.
4

[7] Things which coincide with one another are equal to one another.
5

[8] The whole is greater than the part.
BOOK I. PROPOSITIONS.

Proposition 1.

On a given finite straight line to construct an equilateral triangle.
Let AB be the given finite straight line.
Thus it is required to construct
an equilateral triangle on the straight line AB.

With centre A and distance AB let the circle BCD be described; [Post. 3]
again, with centre B and distance BA let the circle ACE be described; [Post. 3] and from the point C, in which the circles cut one another, to the points A, B let the straight lines CA, CB be joined. [Post. 1]

Now, since the point A is the centre of the circle CDB,

AC is equal to AB. [Def. 15]
Again, since the point B is the centre of the circle CAE,

BC is equal to BA. [Def. 15]
But CA was also proved equal to AB;
therefore each of the straight lines CA, CB is equal to AB.

And things which are equal to the same thing are also equal to one another; [C.N. 1]

therefore CA is also equal to CB.
Therefore the three straight lines CA, AB, BC are
equal to one another.

Therefore the triangle ABC is equilateral; and it has been constructed on the given finite straight line AB.

(Being) what it was required to do.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หนังสือฉันข้อกำหนดของ1จุดคือ ที่ซึ่งมีส่วนไม่2สายมีความยาว breadthless3อวัยวะส่วนปลายสุดของเส้นเป็นจุด4เส้นตรงคือ เส้นที่อยู่เท่า ๆ กันกับจุดที่ตัวเอง5พื้นผิวเป็นที่ซึ่งมีความยาวและความกว้างเท่านั้น6อวัยวะส่วนปลายสุดของพื้นผิวมีเส้น7พื้นผิวระนาบเป็นพื้นผิวที่อยู่เท่า ๆ กัน ด้วยเส้นตรงที่ตัวเอง8มุมเครื่องบินจะเอียงอีกคนหนึ่งของเครื่องบินสองบรรทัดซึ่งพบกัน และไม่อยู่ในแนวเส้นตรง9และเมื่อเส้นที่ประกอบด้วยมุมเป็นเส้นตรง มุมที่เรียกว่า rectilineal10เมื่อเป็นเส้นตรงที่ตั้งอยู่บนเส้นตรงทำมุม adjacent เท่ากับคนอื่น แต่ละมุมเท่าเป็นขวา และเส้นตรงที่ยืนอื่น ๆ เรียกว่าตั้งฉากกับที่มันยืน11มุมป้านคือ มุมใหญ่กว่ามุมฉาก12มุมแหลมคือ มุมที่น้อยกว่ามุมขวา13ขอบเขตคือซึ่งเป็นส่วนต้นของสิ่งนั้น14ตัวเลขว่า ซึ่งมีอยู่ตามขอบเขตหรือขอบเขตใด ๆ15วงกลมเป็นรูปเครื่องบินอยู่หนึ่งบรรทัดที่ตรงบรรทัดตกเมื่อมันจากจุดหนึ่งในหมู่ผู้ที่นอนอยู่ภายในรูปทั้งหมดเท่ากับคนอื่น16และเรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม17เส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมคือ เส้นตรงที่ลากผ่านศูนย์กลาง และยกเลิกในทั้งสองทิศทาง โดยเส้นรอบวงของวงกลม และเส้นตรงวงกลมที่ร้านยัง18ครึ่งวงกลมเป็นรูปที่อยู่เส้นผ่าศูนย์กลางและเส้นรอบวงตัด โดยมัน และศูนย์กลางของครึ่งวงกลมที่เป็นแบบเดียวกับที่ของวงกลม19เลขที่ Rectilineal เป็นผู้ที่อยู่ โดยเส้นตรง ฮอโนลูลูถูกผู้อยู่สามตัวเลข รูปสี่เหลี่ยมที่มีอยู่ โดย สี่ และพหุภาคีผู้อยู่มากกว่า 4 เส้น20เลขฮอโนลูลู มีสามเหลี่ยมด้านเท่านั้นที่มีด้านเป็นสามเท่า หน้าจั่วสามเหลี่ยมที่มีสองข้างของมันเพียงอย่างเดียวเท่ากับ และรูปสามเหลี่ยมที่ว่า ซึ่งมีความสามด้านไม่เท่ากัน21เพิ่มเติม เลขฮอโนลูลู เส้นสามเหลี่ยมที่มีซึ่งมีมุมขวา สามเหลี่ยมเป็นมุม obtuse ว่า ซึ่งมีมุมป้าน และสามเหลี่ยม acuteangled ว่าซึ่งของสามมุมเฉียบพลัน22ตัวเลขรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมว่า ซึ่งมีทั้งด้าน และ เส้น ตัวเมาส์ซึ่งเป็นเส้น แต่ไม่ด้าน เท่า บัสที่ซึ่งเป็นด้านเท่า แต่ เส้นไม่ และแบบ rhomboid ซึ่งมีด้านและมุมตรงข้ามเท่ากับคนอื่น แต่ไม่ด้าน หรือเส้น และให้ quadrilaterals เหนือเหล่านี้เรียกว่า trapezia23เส้นขนานเป็นเส้นตรงที่ อยู่ในระนาบเดียวกัน และผลิตอย่างไม่มีกำหนดในทั้งสองทิศทาง ไม่ตรงกันในทิศทางใดPOSTULATES1ให้ได้ postulated ต่อไปนี้:การวาดเส้นตรงจากจุดใด ๆ ไปยังจุดใด ๆ2การผลิตมีจำกัดเส้นตรงในแนวเส้นตรงอย่างต่อเนื่อง3เพื่ออธิบายวงกลมที่ มีศูนย์และระยะทางใด ๆ4ที่มุมขวาทั้งหมดจะเท่ากับคนอื่น5ว่า ถ้าตกบนเส้นตรงสองเส้นเป็นเส้นตรงทำมุมภายในบนข้างเดียวกันน้อยกว่าสองมุมขวา เส้นสอง ถ้าผลิตโดยไม่จำกัดเวลา ตามซึ่งมีมุมน้อยกว่าทั้งสองที่ด้านมุมขวาความเข้าใจทั่วไป1สิ่งที่เท่ากันเหมือนกันก็เท่ากับคนอื่น2ถ้าเท่ากับเพิ่มเท่ากับ wholes เท่ากัน3ถ้าเท่ากับถูกหักออกจากเท่ากับ เหลือเท่ากัน4[7] สิ่งที่ตรงกันจะเท่ากับคนอื่น5[8] ทั้งหมดมีค่ามากกว่าส่วนข้อเสนอหนังสือ I.เรื่องที่ 1ในกำหนดจำกัดเส้นตรงการสร้างเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าให้ AB เป็นเส้นตรงที่กำหนดแน่นอนจึง ต้องสร้างเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าบนสายตรงขอกับศูนย์ A และระยะ AB ให้ BCD วงกลมที่อธิบาย [โพสต์. 3] อีกครั้ง กับศูนย์ B และระยะทาง BA ให้วงเออธิบาย [โพสต์. 3 จากจุด C ซึ่งวงกลมตัดกัน ที่จุด A, B ให้เส้น CA, CB สามารถเข้าร่วม [โพสต์. 1] ตอนนี้ จุด A เป็น ศูนย์กลางของวงกลม CDBAC เท่ากับขอ [15 เริ่มต้น]อีก จุด B เป็น ศูนย์กลางของวงกลม CAEBC เท่ากับ BA [เริ่มต้นที่ 15]แต่ CA ยังคืนเท่ากับ AB ดังนั้น แต่ละเส้น CA, CB เท่ากับขอและยังมีสิ่งที่เท่ากันเหมือนกันเท่ากับหนึ่ง [C.N. 1]ดังนั้น CA ก็เท่ากับ CBดังนั้นจึง มีเส้นสามเส้นตรง CA, AB, BC เท่ากับคนอื่นดังนั้น ABC รูปสามเหลี่ยมเป็นด้าน และมีการสร้างบรรทัดการกำหนดจำกัดตรงขอ(การ) อะไรก็ต้องทำ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จอง I. นิยาม. 1 จุดคือสิ่งที่ไม่เคยมีใคร Part. 2 สายคือความยาว breadthless. 3 ขาของเส้นเป็นจุด. 4 เป็นเส้นตรงเป็นเส้นซึ่งอยู่สม่ำเสมอด้วยจุดบนตัวของมันเอง. 5 พื้นผิว คือสิ่งที่มีความยาวและความกว้างเพียง. 6 ขาของพื้นผิวเป็นเส้น. 7 พื้นผิวเครื่องบินเป็นพื้นผิวซึ่งอยู่สม่ำเสมอด้วยเส้นตรงในตัวเอง. 8 มุมเครื่องบินเอียงไปอีกคนหนึ่งของทั้งสองสายใน เครื่องบินที่พบกันและไม่ได้อยู่ในแนวเส้นตรง. 9 และเมื่อสายที่มีมุมตรงมุมที่เรียกว่า rectilineal. 10 เมื่อเป็นเส้นตรงตั้งค่าบนเส้นตรงที่ทำให้มุมที่อยู่ติดกันเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง แต่ละมุมเท่ากันคือขวาและเส้นตรงที่ยืนอยู่บนอื่น ๆ เรียกว่าตั้งฉากกับว่าที่มันยืน. 11 มุมป้านเป็นมุมมากกว่ามุมขวา. 12 มุมเฉียบพลันเป็นมุมที่น้อยกว่า มุมขวา. 13 ขอบเขตคือสิ่งที่เป็นสุดอะไร. 14 รูปคือสิ่งที่มีอยู่โดยขอบเขตหรือรอยใด ๆ . 15 วงกลมเป็นรูปเครื่องบินที่มีอยู่โดยหนึ่งบรรทัดเช่นว่าทุกเส้นตรงตกลงมาบนมัน จากจุดหนึ่งในหมู่ผู้นอนอยู่ภายในรูปที่มีค่าเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง; 16 และจุดที่เรียกว่าศูนย์ของวงกลม. 17 เส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมเป็นเส้นตรงใด ๆ ลากผ่านศูนย์และสิ้นสุดในทั้งสองทิศทางโดยรอบของ วงกลมและเช่นเส้นตรงยัง bisects วงกลม. 18 ครึ่งวงกลมเป็นตัวเลขโดยมีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางและเส้นรอบวงตัดออกโดยมัน และเป็นศูนย์กลางของวงกลมที่เป็นเช่นเดียวกับที่ของวงกลม. 19 ตัวเลข Rectilineal เป็นผู้ซึ่งมีอยู่ด้วยเส้นตรงตัวเลขไตรภาคีเป็นผู้ที่มีอยู่โดยสามรูปสี่เหลี่ยมเหล่านั้นที่มีอยู่โดยสี่และพหุภาคีผู้ที่มีมากกว่าสี่ตรง สาย. 20 ของตัวเลขไตรภาคีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าคือสิ่งที่มีสามด้านเท่ากันสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีสองด้านคนเดียวเท่ากันและเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าที่มีสามด้านข้างไม่เท่ากัน. 21 นอกจากนี้ตัวเลขไตรภาคี เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากคือสิ่งที่มีมุมขวาสามเหลี่ยมป้านมุมที่มีมุมป้านและสามเหลี่ยม acuteangled ที่มีสามมุมเฉียบพลัน. 22 ของตัวเลขสี่เหลี่ยมตารางคือสิ่งที่เป็นทั้ง ด้านเท่ากันหมดและมุมฉาก; รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ซึ่งเป็นมุมฉาก แต่ไม่สามเหลี่ยมด้านเท่า; รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสิ่งที่อยู่ด้านเท่ากันหมด แต่ไม่มุมฉาก; และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านตรงข้ามและมุมเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง แต่ไม่เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่ามิได้มุมฉาก และปล่อยให้รูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ นอกเหนือจากนี้จะเรียกว่า trapezia. 23 เส้นตรงขนานเส้นตรงซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกันและถูกผลิตไปเรื่อย ๆ ทั้งสองทิศทางไม่ตรงกับคนอื่นในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง. สมมุติฐาน. 1 ให้ต่อไปนี้ได้รับการตั้งสมมติฐาน: การวาดเส้นตรงจากจุดใดจุดหนึ่งไปยังจุดใด ๆ . 2 เพื่อผลิตเป็นเส้นตรงที่ จำกัด อย่างต่อเนื่องเป็นเส้นตรง. 3 เพื่ออธิบายวงกลมที่มีศูนย์ใด ๆ และระยะไกล. 4 ที่มุมขวาทั้งหมดเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง. 5 ที่ ถ้าเป็นเส้นตรงลงบนเส้นตรงสองเส้นให้มุมภายในอยู่ข้างเดียวน้อยกว่าสองมุมขวาทั้งสองเส้นตรงถ้าผลิตไปเรื่อย ๆ ตอบสนองความต้องการในด้านที่เกี่ยวกับการที่มีมุมน้อยกว่าสองมุมขวา. ความคิดร่วมกัน . 1 สิ่งที่มีค่าเท่ากันถึงสิ่งเดียวกันนี้ยังมีเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง. 2 ถ้าเท่ากับถูกเพิ่มไปเท่ากับ wholes มีค่าเท่ากัน. 3 ถ้าเท่ากับถูกหักออกจากเท่ากับเหลือเท่ากัน. 4 [7] สิ่งที่ตรง กับอีกคนหนึ่งมีค่าเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง. 5 [8] ทั้งมีค่ามากกว่าส่วน. จอง I. ข้อเสนอ. โจทย์ 1. บนเส้นตรงที่กำหนดขอบเขตในการสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า. Let AB เป็นเส้นตรงที่กำหนดแน่นอนดังนั้นมันจึงเป็นสิ่งจำเป็นที่จะสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าบนเส้นตรง AB. ด้วยศูนย์และระยะทาง AB ให้ BCD วงกลมจะอธิบาย; [โพสต์ 3] อีกครั้งกับศูนย์ B และปริญญาตรีระยะทางให้ ACE วงกลมจะอธิบาย; [โพสต์ 3] และจากจุด C ซึ่งในวงการตัดอีกคนหนึ่งไปยังจุด A, B ให้เส้นตรง CA, CB จะเข้าร่วม [โพสต์ 1] ตอนนี้ตั้งแต่จุดเป็นศูนย์กลางของ CDB วงกลมAC เท่ากับ AB [Def 15] อีกครั้งตั้งแต่จุด B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม CAE ที่BC เท่ากับปริญญาตรี [Def 15] แต่แคลิฟอร์เนียก็ยังได้รับการพิสูจน์เท่ากับ AB; ดังนั้นแต่ละเส้นตรง CA, CB เท่ากับ AB. และสิ่งที่มีค่าเท่ากันถึงสิ่งเดียวกันนอกจากนี้ยังมีค่าเท่ากับหนึ่งไปอีกที่หนึ่ง [CN 1] ดังนั้น CA ยังเท่ากับ CB. ดังนั้นสามเส้นตรง CA, AB, BC มีความเท่าเทียมกันกับอีกคนหนึ่ง. ดังนั้นรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า; และได้รับการสร้างขึ้นบนเส้นตรงที่กำหนดแน่นอน AB. (เป็น) มันเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องทำ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หนังสือฉันคำจำกัดความ1จุดที่ไม่มีส่วน2เส้นมีความยาว breadthless .3 .แขนขาของบรรทัดเป็นจุด4 .เส้นตรงเป็นเส้นซึ่งอยู่ทั่วถึงด้วยคะแนนเอง5พื้นผิวที่ซึ่งมีความยาวและความกว้างเท่านั้น6แขนขาของพื้นผิวเป็นเส้น7 .เครื่องบินพื้นผิวพื้นผิวซึ่งอยู่ทั่วถึงด้วยเส้นตรงบนตัวเอง8 .มุมที่เครื่องบินเอียงไปอีกสองสายในเครื่องบินที่เจอกันและไม่ได้อยู่ในแนวเส้นตรง9และเมื่อเส้นที่มีมุมเป็นเส้นตรง มุม เรียกว่าซึ่งเป็นเส้นตรง .10เมื่อเส้นตรงตั้งบนเส้นตรงทำให้มุมติดกันเท่ากับอีกคนหนึ่งของแต่ละมุมที่เท่ากัน คือ ใช่ และเส้นตรง ยืนอยู่บนอื่น ๆเรียกว่าตั้งฉากที่ซึ่งมันย่อมาจาก11มุมป้านคือมุมที่มากกว่ามุมขวา12 .มุมแหลมเป็นมุมน้อยกว่ามุมขวา13 .ขอบเขตที่เป็นขาอะไร14 .รูปที่ซึ่งบรรจุอยู่โดยมีขอบเขตหรือขอบเขต15วงกลมเป็นรูประนาบอยู่หนึ่งบรรทัดเช่นที่ทุกเส้นตรงลงบนมันจากจุดหนึ่งในหมู่ผู้นอนอยู่ภายในรูปมีเทียบเท่ากัน16และจุดที่เรียกว่าศูนย์กลางของวงกลม17เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมเป็นเส้นตรงลากผ่านกลางและสิ้นสุดในทั้งสองทิศทางโดยรอบวงกลมเป็นเส้นตรงยัง bisects วงกลม18ครึ่งวงกลมเป็นรูปที่มีอยู่ โดยขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางและความยาวเส้นรอบวงตัดโดย และศูนย์บริการของครึ่งวงกลมเป็นเช่นเดียวกับที่ของกลม19 .ตัวเลขซึ่งเป็นเส้นตรงดังกล่าวซึ่งมีอยู่ตามเส้นตรง ตัวเลขด้านการที่มีอยู่ โดยสาม , รูปสี่เหลี่ยมที่มีอยู่โดยสี่และพหุภาคีที่มีอยู่มากกว่าสี่ตรงบรรทัด20ตัวเลขด้านรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ , ซึ่งมี 3 ด้าน เท่ากัน เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งจะมีสองด้านของมันคนเดียวเท่า และรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าซึ่งมี 3 ด้าน ไม่เท่ากัน21เพิ่มเติมของตัวเลขด้านขวา , สามเหลี่ยมที่มีมุมนั้นซึ่งมีมุมฉากมุมป้าน , มุมสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมป้าน และ acuteangled สามเหลี่ยมซึ่งมีมุม 3 มุม แหลม22ของตัวเลขที่รูปสี่เหลี่ยม , สี่เหลี่ยมนั้นซึ่งมีทั้งซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้านและมุมที่ถูกต้อง ; เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามุมแต่ไม่มีด้านเท่ากันหมด ; Rhombus ซึ่งมีด้านเท่ากันหมด แต่ไม่ใช่มุม และปีกที่ด้านตรงข้ามของมุมเท่ากับคนอื่นแต่ไม่มีด้านเท่ากันหมด หรือมุมขวา . และปล่อยให้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนอกจากเหล่านี้ถูกเรียกว่า trapezia .23เส้นตรงขนานเป็นเส้นตรงซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน และถูกผลิตอย่างไม่มีกำหนดในทั้งสองทิศทาง ไม่เจอกันใน ทิศทางใดสมมุติฐาน .1ขอสรุปได้ดังต่อไปนี้ :วาดเส้นตรงจากจุดใด จุดใด ๆ2ผลิตจำกัดเส้นตรงต่อเนื่องในแนวเส้นตรง3 .อธิบายวงกลมกับศูนย์บริการใด ๆ และระยะทาง4 .ที่มุมขวาทั้งหมดจะเท่ากับคนอื่น5ว่า ถ้าเส้นตรงลงบนสองเส้นตรงให้วัดมุมภายในฝั่งเดียวกันน้อยกว่าสองมุมขวาสองเส้นตรง ถ้าผลิตมาเรื่อยๆ เจออีกข้างหนึ่งซึ่งเป็นมุมที่น้อยกว่าสองมุมขวาความคิดทั่วไป1สิ่งซึ่งจะเท่ากับเหมือนกันยังเท่ากันอีก2ถ้าเท่ากับเป็น wholes เท่ากับ , เท่ากัน3 .ถ้าเท่ากับถูกหักออกจาก 3 เหลือเท่ากัน4 .[ 7 ] สิ่งซึ่งตรงกันกับคนอื่นเท่ากับคนอื่น5[ 8 ] ทั้งหมดมากกว่าส่วนหนังสือฉันข้อเสนอ .ข้อเสนอที่ 1ที่ให้วิธีเส้นตรง สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า .ขอ AB เป็นบรรทัดที่กำหนดวิธีตรงดังนั้นจึงต้องสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าบนเส้นตรง ABด้วยศูนย์และระยะทาง AB ให้วงกลม BCD จะอธิบาย ; [ โพสต์ 3 ]อีกครั้ง กับศูนย์บริการ B และ b ระยะทางให้วงกลม Ace อธิบาย ; [ โพสต์ 3 ] และจากจุด C ซึ่งในวงกลมตัดอีกแบบหนึ่ง ที่จุด A , B ให้ตรงสาย CA , CB จะเข้าร่วม [ โพสต์ 1 ]ตอนนี้จุดที่เป็นวงกลมโดยศูนย์กลางของ ,AC เท่ากับ AB [ Sample 15 ]อีกครั้ง เนื่องจาก จุด B คือศูนย์กลางวงกลม CAE ,พ.ศ. เท่ากับ BA . [ Def 15 ]แต่ CA ยังพิสูจน์เท่ากับ AB ;ดังนั้น แต่ละเส้นตรง CA , CB เท่ากับ ABและสิ่งซึ่งจะเท่ากับเหมือนกันยังเท่ากับอีกคนหนึ่ง ; [ 1 ] ซี.ดังนั้น CA ก็เท่ากับ CBดังนั้นสามเส้นตรง CA , AB , BC เป็นเท่ากับคนอื่นดังนั้น สามเหลี่ยม ABC มีด้านเท่ากันหมด และมันได้ถูกสร้างขึ้นเพื่อให้เส้นตรง AB( ทำ ) อะไรก็ต้องทำ