Proposition 15 Parts have the same

Proposition 15
Parts have the same ratio as similar multiples, taken
in corresponding order.
For let AB and DE be equal multiples of C and F
ΑΒ (respectively). I say that as C is to F, so AB (is) to DE.
For since AB and DE are equal multiples of C and
F (respectively), thus as many magnitudes as there are
in AB equal to C, so many (are there) also in DE equal
to F. Let AB have been divided into (magnitudes) AG,
GH, HB, equal to C, and DE into (magnitudes) DK,
KL, LE, equal to F. So, the number of (magnitudes)
AG, GH, HB will equal the number of (magnitudes)
DK, KL, LE. And since AG, GH, HB are equal to one
another, and DK, KL, LE are also equal to one another,
thus as AG is to DK, so GH (is) to KL, and HB to LE
[Prop. 5.7]. And, thus (for proportional magnitudes), as
one of the leading (magnitudes) will be to one of the fol-
lowing, so all of the leading (magnitudes will be) to all of
the following [Prop. 5.12]. Thus, as AG is to DK, so AB
(is) to DE. And AG is equal to C, and DK to F. Thus,
as C is to F, so AB (is) to DE.
Thus, parts have the same ratio as similar multiples,
taken in corresponding order. (Which is) the very thing
it was required to show.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เสนอ 15 ชิ้นส่วนมีอัตราส่วนเดียวกันเป็นเหมือนคูณ ถ่ายในใบสั่งที่เกี่ยวข้องAB และเดอให้ได้ผลคูณเท่ากับ C และ FΑΒ (ตามลำดับ) ผมบอกว่า ที่เป็น C F ดังนั้น AB (เป็น) กับเดอสำหรับตั้งแต่ AB และเดจะเท่ากับผลคูณของ C และF (ตามลำดับ), magnitudes มากเนื่องจากมี ในเท่ากับ C จำนวนมากดังนั้น (ไม่มี) นอกจากนี้ในเดอ AB เท่ากับ การเอฟ ให้ AB ได้ถูกแบ่งออกเป็น (magnitudes) AG ที่พัก HB เท่ากับ C และเดอเป็น (magnitudes) DK KL เลอ มีค่าเท่ากับเอฟ ดังนั้น จำนวน (magnitudes)AG, GH, HB จะเท่ากับจำนวน (magnitudes)DK, KL เลอ และตั้งแต่ AG, GH, HB จะเท่ากับหนึ่งอีก และ DK, KL เลอก็เท่ากับคนอื่นจึง เป็น AG จะ DK ดังนั้น GH (เป็น) กับ KL, HB ที่ LE [Prop. 5.7] และ ดังนั้น (สำหรับสัดส่วน magnitudes), เป็นหนึ่ง (magnitudes) จะหนึ่ง fol-ควายเหล็ก ชั้นนำอื่น ๆ ทั้งหมด (magnitudes หมดจะ) ทั้งหมดต่อไปนี้ [Prop. 5.12] ดังนั้น เป็น AG จะ DK, AB ดังนั้น (ได้) เดอ และ AG เท่ากับ C, DK กับเอฟ ดังนั้นเป็น C เป็น F ดังนั้น AB (เป็น) กับเดอดังนั้น ส่วนมีอัตราส่วนเดียวกันเป็นเหมือนคูณรับที่สอดคล้องกันตามลำดับ (ซึ่งอยู่) ในสิ่งที่มันไม่จำเป็นต้องแสดง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โจทย์ 15 ชิ้นส่วนมีสัดส่วนเดียวกับหลายคล้ายกันดำเนินการในการสั่งซื้อที่สอดคล้องกัน. สำหรับให้ AB และ DE เป็นหลายเท่ากันของ C และ F ที่ΑΒ (ตามลำดับ) ผมบอกว่าเป็น C คือการ F ดังนั้น AB (เป็น) เพื่อ DE. เพราะว่าตั้งแต่ AB และมีหลายที่เท่ากันของ C และF (ตามลำดับ) จึงเคาะมากที่สุดเท่าที่มีในAB เท่ากับ C จำนวนมาก (มี นั่น) ยังอยู่ใน DE เท่าเทียมกันที่จะให้เอฟAB ได้รับการแบ่งออกเป็น (เคาะ) แบงก์GH, HB เท่ากับ C และ DE เข้า (ขนาด) DK, KL, LE เท่ากับเอฟดังนั้นจำนวน ( เคาะ) แบงก์ GH, HB จะเท่ากับจำนวน (เคาะ) DK, KL, LE และเนื่องจากเอจี, GH, HB มีค่าเท่ากับหนึ่งอื่นและDK, KL, LE นอกจากนี้ยังมีค่าเท่ากับหนึ่งอีกจึงเป็นเอจีคือการDK ดังนั้น GH (เป็น) เพื่อ KL และ HB จะ LE [Prop 5.7] และทำให้ (สำหรับขนาดสัดส่วน) เป็นหนึ่งในผู้นำ(เคาะ) จะเป็นหนึ่งในไปนี้ควายเหล็กดังนั้นสิ่งที่ชั้นนำ(เคาะจะ) ทั้งหมดของดังต่อไปนี้[Prop 5.12] ดังนั้นที่เอจีคือการ DK ดังนั้น AB (เป็น) เพื่อ DE และเอจีเท่ากับ C และ DK เอฟดังนั้นเป็นC คือการ F ดังนั้น AB (เป็น) เพื่อ DE. ดังนั้นส่วนที่มีสัดส่วนเดียวกับหลายคล้ายกันดำเนินการเพื่อที่สอดคล้องกัน (ซึ่งเป็น) สิ่งที่ดีมันก็ต้องแสดง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ข้อเสนอ 15
ส่วนมีอัตราส่วนเช่นเดียวกับหลาย ๆที่คล้ายกันเพื่อถ่าย

เพื่อให้สอดคล้องกัน เดอ เป็นหลาย ๆเท่าของ AB และ C และ F
ΑΒ ( ตามลำดับ ) ฉันบอกว่าเป็น C F ดังนั้น AB ( คือ ) .
เมื่อ AB และ เดอ เป็นหลาย ๆเท่าของ C
F ( ตามลำดับ ) จึงเป็นหลายขนาดมี
ใน AB เท่ากับ C มาก ( อยู่ ) ใน เดอ เท่ากับ
ให้ขอ AB แบ่งได้เป็น ( ขนาด ) AG
GH , Hb เท่ากับ C และ de เข้า ( ขนาด ) DK
KL , เลอ เท่ากับ F . ดังนั้นจำนวน ( ประมาณ )
1 , GH , HB จะเท่ากับจำนวน ( ประมาณ )
DK , KL , เลอ . และเนื่องจาก AG , GH , HB จะเท่ากับหนึ่ง
อื่นและ DK , KL , เลอ ยังเท่ากับอีกคนหนึ่ง
จึงเป็น AG คือ DK เพื่อให้ GH ( ) ถึง KL และ HB Le
[ prop 5.7 ] และดังนั้น ( สำหรับขนาดสัดส่วน ) ,
ชั้นนำแห่งหนึ่ง ( ขนาด ) จะเป็นหนึ่งในสีขาว -
เสียงต่ำ ดังนั้นทั้งหมดของผู้นํา ( ขนาดจะ ) ทั้งหมดของ
[ prop ดังต่อไปนี้ 5.12 ] ดังนั้นเป็น AG คือ DK ดังนั้น AB
( เป็น ) และศุ AG เท่ากับ C และ DK ให้ ดังนั้น
เป็น C F ดังนั้น AB ( คือ ) .
ดังนั้นชิ้นส่วนมีอัตราส่วนเช่นเดียวกับหลาย ๆที่คล้ายกัน
ถ่ายในการที่สอดคล้องกัน( ซึ่งเป็น ) สิ่งที่มันจะต้องโชว์

.