The sum of the first n terms of a ge

The sum of the first n terms of a geometric sequence is given by
a1(1 − rn)
Sn = , r = 1. (1.181)
1 − r
An infinite geometric series converges if and only if |r| < 1. Otherwise it
diverges. The sum of infinite geometric series, for |r| < 1, is given by
a1
lim Sn = , (1.182)
n→∞ 1 − r
obtained from (1.181) by noting that
lim rn = 0, |r| < 1. (1.183)
n→∞

Some of the methods that will be used in this text may give the solutions
in an infinite series. Some of the obtained series include infinite geometric
series. For this reason we will study examples of infinite geometric series.

Example 1.30

Find the sum of the infinite geometric series
2 4 8
1 + + + + · · · (1.184)
3 9 27
The first value of the sequence and the common ratio are given by a1 = 1
and r = 2 respectively. The sum is therefore given by
3
1
S = 2 = 3. (1.185)
1 −
3

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ผลรวมของเงื่อนไข n แรกของลำดับเรขาคณิตจะได้รับโดย
a1 (1 - rn)
SN =, r = 1 (1.181)
1 - r
อนันต์ลู่ชุดเรขาคณิตและถ้า | r | <1 มิฉะนั้นมัน diverges
ผลรวมของเรขาคณิตแบบไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับ | r | <1 จะได้รับโดย

a1 lim SN = (1.182)
n →∞ 1 - r
ที่ได้รับจาก (1.181) โดยสังเกตว่า lim
rn = 0 | r | <1 (1.183)
n →∞

บางส่วนของวิธีการที่จะใช้ในข้อความนี้อาจจะทำให้การแก้ปัญหา
ในแบบไม่มีที่สิ้นสุด บางส่วนของชุดที่ได้รับรวมถึงชุด
อนันต์เรขาคณิต ด้วยเหตุนี้เราจะศึกษาตัวอย่างของเรขาคณิตแบบไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่าง 1.30

หาผลรวมของเรขาคณิตแบบไม่มีที่สิ้นสุด
2 4 8
1 ··· (1,184)
3 9 27
ค่าแรกของลำดับและอัตราส่วนทั่วไปจะได้รับจาก a1 = 1
และ r = 2 ตามลำดับ ผลรวมจะได้รับดังนั้นโดย
3

1 s = 2 = 3 (1.185)
1 -
3

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ผลของ first n ของลำดับเรขาคณิตได้โดย
a1(1 − rn)
Sn =, r = 1 (1.181)
1 − r
เป็นอนุกรมเรขาคณิต infinite converges ถ้า และเมื่อ |r| < 1 มิฉะนั้นมัน
diverges ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต infinite สำหรับ |r| < 1 ถูกกำหนดโดย
a1
lim Sn =, (1.182)
r − n→∞ 1
รับจาก (1.181) โดยสังเกตที่
ริม rn = 0, |r| < 1 (1.183)
n→∞

บางวิธีที่จะใช้ในข้อนี้จะให้โซลูชั่น
ในชุด infinite ได้ บางชุดได้รับรวมเรขาคณิต infinite
ชุด ด้วยเหตุนี้ เราจะศึกษาตัวอย่างของลำดับเรขาคณิต infinite

อย่าง 1.30

หาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต infinite
2 4 8
1 ··· (1.184)
3 9 27
ค่า first ลำดับและอัตราส่วนทั่วไปจะกำหนด โดย a1 = 1
และ r = 2 ตามลำดับ ดังนั้นจึงมีกำหนดผลรวมโดย
3
1
S = 2 = 3 (1.185)
1 −
3

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

จำนวนเงินของข้อตกลง n first ของรูปทรงเรขาคณิตที่มอบให้โดย
ที่ 1 ( 1 - Rn ) R
SN === 1 ( 1.181 )
1 - R
บรรจบกัน Series รูปทรงเรขาคณิต infinite ถ้าและเท่านั้นหาก| R _ NAME |< 1 . หรือมิเช่นนั้นแล้ว
diverges จำนวนเงินของรูปทรงเรขาคณิต infinite สำหรับ| R :|< 1 จะได้รับโดย

1 บขส. SN =( 1.182 )
n→∞ 1 - R
ได้รับจาก( 1.181 )โดยเห็นว่า
RN บขส.= 0 | R :|< 1 ( 1.183 )
n→∞

วิธีการที่จะนำมาใช้ในข้อความนี้บางอย่างอาจทำให้โซลูชันที่
ใน Series infinite ที่ Series ได้รับบางส่วนรวมถึง infinite รูปทรงเรขาคณิต
Series ด้วยเหตุผลนี้เราจะศึกษาตัวอย่างของรูปทรงเรขาคณิต infinite ยกตัวอย่างเช่น

1.30

พบจำนวนเงินที่ของรูปทรงเรขาคณิต infinite

2481 ???( 1.184 )

3927มอบความคุ้มค่า first ของลำดับและอัตราทั่วไปที่จะได้รับโดย 1 = 1
และ R = 2 ตามลำดับ จำนวนเงินที่จะให้บริการใน 3


1 S = 2 = 3 ดังนั้น ( 1.185 )
1 - 3