1 IntroductionGiven a road map of t

1 Introduction

Given a road map of the United States on which the distance between each pair of adjacent intersections is marked, how can a motorist determine the shortest route from New York City to San Francisco? The brute-force way is to generate all possible routes from New York City to San Francisco, and select the shortest one among them. This approach apparently generates too many routes that are not worth considering. For example, a route from New York City to Miami to San Francisco is a poor choice. In this chapter we introduce some efficient algorithms for finding all the shortest paths from a given starting location.
Consider a connected, undirected network with one special node, called the source (or root). Associated with each edge is a distance, a nonnegative number. The objective is to find the set of edges connecting all nodes such that the sum of the edge lengths from the source to each node is minimized. We call it a shortest-paths tree (SPT) rooted at the source.
In order to minimize the total path lengths, the path from the root to each node must be a shortest path connecting them. Otherwise, we substitute such a path with a shortest path, and get a “lighter” spanning tree whose total path lengths from the root to all nodes are smaller.
Shortest-paths trees are not necessarily unique. Figure 2 gives two shortest-paths trees rooted at vertex a for the graph from Figure 1. Take a look at the paths from a to e. In Figure 2(a), it goes from a to g, and then g to e. In Figure 2(b), it goes from a to b, b to d, and then d to e. Both of them are of length 7, which is the length of a shortest path from a to e. Notice that the total edge weight of two shortest-paths trees may not be the same. For example, the total edge weight of the shortest-paths tree in Figure 2(a) is 18, whereas that of the shortest-paths tree in Figure 2(b) is 17.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1 บทนำได้รับแผนที่ถนนของสหรัฐอเมริกาที่ระยะห่างระหว่างคู่ของทางแยกที่อยู่ติดกันมีการทำเครื่องหมายในแต่ละวิธีที่สามารถขับขี่ตรวจสอบเส้นทางที่สั้นที่สุดจากมหานครนิวยอร์กซานฟรานซิ? วิธีที่แรงเดรัจฉานคือการสร้างเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดจาก New York City ไปซานฟรานซิสและเลือกหนึ่งที่สั้นที่สุดในหมู่พวกเขา วิธีการนี้จะเห็นได้ชัดว่าสร้างเส้นทางมากเกินไปที่ไม่ได้มีมูลค่าการพิจารณา ยกตัวอย่างเช่นเส้นทางจากนครนิวยอร์กไปไมอามี่ไปยัง San Francisco เป็นทางเลือกที่ดี ในบทนี้เราแนะนำกลไกที่มีประสิทธิภาพในการหาทุกเส้นทางที่สั้นที่สุดจากตำแหน่งเริ่มต้นที่กำหนด. พิจารณาการเชื่อมต่อเครือข่ายแบบไร้ทิศทางกับโหนดพิเศษที่เรียกว่าแหล่งที่มา (หรือราก) ที่เกี่ยวข้องกับขอบแต่ละระยะไกลจำนวนติดลบ วัตถุประสงค์คือการหาชุดของขอบเชื่อมต่อโหนดทั้งหมดดังกล่าวว่าผลรวมของความยาวขอบจากแหล่งที่แต่ละโหนดจะลดลง เราเรียกมันว่าเส้นทางที่สั้นที่สุด-ต้นไม้ (SPT) ฝังรากที่มา. เพื่อที่จะลดความยาวเส้นทางรวมเส้นทางจากรากแต่ละโหนดจะต้องเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดเชื่อมต่อพวกเขา มิฉะนั้นเราแทนเช่นเส้นทางที่มีเส้นทางที่สั้นที่สุดและได้รับ "เบา" ซึ่งประกอบไปด้วยต้นไม้ที่มีเส้นทางรวมความยาวจากรากไปยังต่อมน้ำทั้งหมดมีขนาดเล็ก. ที่สั้นที่สุดเส้นทางต้นไม้ไม่จำเป็นต้องไม่ซ้ำกัน รูปที่ 2 จะช่วยให้ทั้งสองเส้นทางที่สั้นที่สุด-ต้นไม้ที่หยั่งรากที่จุดสุดยอดสำหรับกราฟจากรูปที่ 1 ลองดูที่เส้นทางจากอี ในรูปที่ 2 (a) มันจะไปจากที่จะกรัมและจากนั้นไปยัง e กรัม ในรูปที่ 2 (ข) มันไปจาก A ไป B, b เพื่อ d แล้ว d เพื่อ e ทั้งสองมีความยาว 7 ซึ่งเป็นความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากอี ขอให้สังเกตว่าขอบน้ำหนักรวมของทั้งสองเส้นทางที่สั้นที่สุด-ต้นไม้อาจจะไม่เหมือนกัน ยกตัวอย่างเช่นน้ำหนักขอบทั้งหมดของต้นไม้ที่สั้นที่สุดเส้นทางในรูปที่ 2 (ก) คือ 18 ในขณะที่ของต้นไม้ที่สั้นที่สุดเส้นทางในรูปที่ 2 (ข) คือ 17

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 บทนำ

ให้แผนที่เส้นทางของสหรัฐอเมริกาที่ระยะห่างระหว่างแต่ละคู่ติดกันแยกเป็นช่อง แล้วขับรถหาเส้นทางที่สั้นที่สุดจากนิวยอร์กไปซานฟรานซิสโก การใช้กำลังเป็นวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อสร้างเส้นทางจากนิวยอร์กไปซานฟรานซิสโกและเลือกคนที่เตี้ยที่สุดในหมู่พวกเขาวิธีการนี้เห็นได้ชัดว่าสร้างเส้นทางมากมายที่ไม่ได้มีมูลค่าการพิจารณา ตัวอย่างเช่น เส้นทางจากเมืองไมอามี่ นิวยอร์ก ซานฟรานซิสโก เป็นทางเลือกที่ดี ในบทนี้เราแนะนำที่มีประสิทธิภาพขั้นตอนวิธีสำหรับการหาเส้นทางสั้นที่สุดจากทั้งหมด ให้เริ่มตั้ง .
พิจารณาการเชื่อมต่อกับโหนดเครือข่าย undirected พิเศษที่เรียกว่าแหล่งที่มา ( หรือราก )ที่เกี่ยวข้องกับแต่ละขอบระยะห่าง หมายเลข nonnegative . โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อหาชุดของขอบเชื่อมทุกปม เช่นผลรวมของขอบความยาวจากแหล่งแต่ละโหนดจะลดลง เราเรียกมันว่าเป็นเส้นทางสั้นที่สุด ต้นไม้ ( SPT ) มีรากฐานที่มา .
เพื่อลดความยาวเส้นทางรวม เส้นทางจากรากไปยังแต่ละโหนดจะต้องเป็นเส้นทางสั้นที่สุด ที่เชื่อมต่อพวกเขามิฉะนั้น เราใช้เส้นทางดังกล่าวเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดและได้รับ " เบา " ต้นไม้ทอดข้ามที่รวมเส้นทางความยาวจากรากกับโหนดที่มีขนาดเล็ก .
เส้นทางสั้นที่สุด ต้นไม้จะไม่ซ้ำกัน รูปที่ 2 ให้สองเส้นทางสั้นที่สุดต้นไม้รากที่ยอดสำหรับกราฟ จากรูปที่ 1 ดูเส้นทางจากไป ในรูปที่ 2 ( ก ) , มันจะไปจาก A ถึง G และ G กับ Eในรูปที่ 2 ( ข ) , มันเริ่มจาก A ไป B , B D และ D กับ E . ทั้งสองของพวกเขามีความยาว 7 , ซึ่งเป็นความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากไป สังเกตว่าขอบน้ำหนักรวมสองเส้นทางสั้นที่สุด ต้นไม้อาจจะไม่เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น น้ำหนักรวมขอบของเส้นทางสั้นที่สุด ต้นไม้ในรูปที่ 2 ( ก ) อายุ 18 ปี ส่วนของเส้นทางสั้นที่สุด ต้นไม้ในรูปที่ 2 ( ข ) 17 .