D. B. Szyld collected in [8] severa

D. B. Szyld collected in [8] several proofs of the identity kPk = kI
Pk for nontrivial
linear projections P on a Hilbert space, see also [7] and [2, Example 5.8]. It has found
numerous applications, see for instance [5, 3, 9, 1, 6]. We provide here a somewhat
simpliÖed version of the proof given by T. Kato in [4, Lemma 4]. The di§erence is in
the choice of the vector y.
LEMMA. Let H be a Hilbert space. Let P : H ! H be a linear idempotent
operator such that 0 6= P
2 = P 6= I. Then kPk = kI
Pk.
PROOF. Since P
2 = P and (I
P)
2 = I
P, both norms are no less than one.
If kPk= 1 =kI
Pk, there is nothing to prove, so let x 2 H be nonzero with, say,
 := kP xk = kxk > 1. Then y := 
2x
P x is nonzero due to P y 6= 0. Moreover, the
identity  k(I
P) xk = kyk is easily seen by expanding the square of the norms. The
deÖnition of y, the fact that P
2 = P, and this identity together yield

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

D. B. Szyld เก็บใน [8] หลักฐานต่าง ๆ ของ kPk ประจำ =กี่คือสำหรับ nontrivialคำนวณแบบเชิงเส้น P ในช่องฟิดฮิลแบร์ท ดู [7] และ [2 ตัวอย่าง 5.8] พบโปรแกรมประยุกต์มากมาย ดูตัวอย่าง [5, 3, 9, 1, 6] เรามีที่นี่ค่อนข้างรุ่น simpliÖed หลักฐานที่ได้รับจากนายกาโตต.ใน [4 จับมือ 4] Di§erence อยู่ในเลือก y เวกเตอร์จับมือกัน ให้ H เป็นพื้นที่ฮิลแบร์ท ให้ P: H H เป็น idempotent เชิงเส้นดำเนินการดังกล่าวนั้น 6 0 = P2 = 6 P =ฉัน แล้ว kPk =กี่Pk.หลักฐานการ เนื่องจาก P2 = P และ (IP)2 =ฉันP บรรทัดฐานทั้งมีไม่น้อยกว่าหนึ่งถ้า kPk = 1 =กี่พีเค ไม่มีอะไรพิสูจน์ เพื่อให้ x 2 H nonzero ด้วย กล่าว : = kP xk = kxk > 1 แล้ว y: = 2 xP x เป็น nonzero เนื่องจาก P y 6 = 0 นอกจากนี้ การตัว k (IP) xk = kyk อยู่จะจะ โดยสแควร์ของบรรทัดฐานขยาย ที่deÖnition y ความจริงของ P ที่2 = P และผลตอบแทนกันตัวนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

DB Szyld เก็บใน [8] หลายพิสูจน์ตัวตนที่ KPK = ki
Pk
ขี้ปะติ๋วสำหรับประมาณการP เชิงเส้นในพื้นที่ Hilbert เห็น [7] และ [2 ตัวอย่าง 5.8] จะได้พบการใช้งานจำนวนมากดูตัวอย่าง [5, 3, 9, 1, 6]
เราให้บริการที่นี่ค่อนข้างรุ่นsimpliÖedหลักฐานที่ได้รับจากที Kato ใน [4 บทแทรก 4]
di§erenceอยู่ในทางเลือกของ y ที่เวกเตอร์. บทแทรก H ให้เป็นพื้นที่ Hilbert ให้ P: H! H เป็นเชิงเส้น idempotent ผู้ประกอบการดังกล่าวที่ 0 6 = P 2 = P = 6 ครั้งที่หนึ่งแล้ว KPK = ki Pk. หลักฐาน ตั้งแต่ P 2 = P และ (ฉันP) 2 = ฉันP บรรทัดฐานทั้งสองไม่น้อยกว่าหนึ่ง. ถ้า KPK = 1 = ki Pk มีอะไรที่จะพิสูจน์เพื่อให้ x 2 H  เป็นเลขกับกล่าวว่า? = KP XK kxk => 1 แล้ว Y: =  2x x P ไม่ใช่ศูนย์เนื่องจากการ P y ที่ 6 = 0 นอกจากนี้ยังมีตัวตน? k (ฉันP) = XK kyk จะเห็นได้อย่างง่ายดายด้วยการขยายตารางของบรรทัดฐาน deÖnitionของ y ที่ความจริงที่ว่า P 2 = P, และเอกลักษณ์นี้ผลผลิตร่วมกัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

d . B . szyld เก็บ [ 8 ] หลายพิสูจน์เอกลักษณ์ kpk = คิ

เส้นนอนทริเวียล PK สำหรับประมาณการ P ในพื้นที่ที่แท้จริง เห็นยัง [ 7 ] และ [ 2 ตัวอย่าง 5.8 ] ได้พบ
งานมากมาย เห็นตัวอย่าง [ 2 , 3 , 9 , 1 , 6 ] เราให้ที่นี่ค่อนข้าง
Simpli Öเอ็ดรุ่นของพิสูจน์ให้โดย คาโต้ในบทแทรก 4 [ 4 ] ที่ ดิ § erence เป็นทางเลือกของเวกเตอร์ Y

พ .ปล่อยให้เขาเป็นฮิลเบิร์ตอวกาศ ให้ P : H H เป็นเส้นตรงนิจพล
ผู้ประกอบการเช่น 0 6 = P
2 = P 6 = ฉันแล้ว kpk = คิ
pk .
พิสูจน์ เนื่องจาก P
2 = P (
P )
2 = ผม
P ทั้งเกณฑ์ไม่น้อยกว่าหนึ่ง .
ถ้า kpk = 1 = คิ
PK ไม่มีอะไรพิสูจน์ให้ H 2 x เป็น 0 กับพูด
 : = = > 1 kxk XK เคพี . แล้ว Y : = 
2x
p x เป็น 0 เนื่องจาก P Y 6 = 0 นอกจากนี้ ตน  K ( I

P ) XK = kyk มองเห็นได้ง่ายโดยการขยายตารางเกณฑ์ปกติของ
de Ö nition Y , ความจริงที่ว่า p
2 = P และตัวตนด้วยกันผลผลิต