History of numbers. Numbers were pr

History of numbers. Numbers were probably first used many thousands of years ago in commerce, and initially only whole numbers and perhaps rational numbers were needed. But already in Babylonian times, practical problems of geometry began to require square roots. Nevertheless, for a very long time, and despite some development of algebra, only numbers that could somehow in principle be constructed mechanically were ever considered. The invention of fluxions by Isaac Newton in the late 1600s, however, introduced the idea of continuous variables - numbers with a continuous range of possible sizes. But while this was a convenient and powerful notion, it also involved a new level of abstraction, and it brought with it considerable confusion about fundamental issues. In fact, it was really only through the development of rigorous mathematical analysis in the late 1800s that this confusion finally began to clear up. And already by the 1880s Georg Cantor and others had constructed completely discontinuous functions, in which the idea of treating numbers as continuous variables where only the size matters was called into question. But until almost the 1970s, and the emergence of fractal geometry and chaos theory, these functions were largely considered as mathematical curiosities, of no practical relevance. (See also page 1175.)

Independent of pure mathematics, however, practical applications of numbers have always had to go beyond the abstract idealization of continuous variables. For whether one does calculations by hand, by mechanical calculator or by electronic computer, one always needs an explicit representation for numbers, typically in terms of a sequence of digits of a certain length. (From the 1930s to 1960s, some work was done on so-called analog computers which used electrical voltages to represent continuous variables, but such machines turned out not to be reliable enough for most practical purposes.) From the earliest days of electronic computing, however, great efforts were made to try to approximate a continuum of numbers as closely as possible. And indeed for studying systems with fairly simple behavior, such approximations can typically be made to work. But as we shall see later in this chapter, with more complex behavior, it is almost inevitable that the approximation breaks down, and there is no choice but to look at the explicit representations of numbers. (See also page 1134.)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ประวัติของตัวเลข เลขแรกคงใช้หลายพันปีพาณิชย์ และเริ่มเลขจำนวนเต็มเท่านั้น และอาจจำเป็นตรรก แต่แล้วในยุคบาบิโลเนีย ปัญหาทางปฏิบัติของเรขาคณิตเริ่มต้องราก อย่างไรก็ตาม เป็นเวลานาน และแม้ มีบางพัฒนาพีชคณิต เฉพาะตัวเลขที่สามารถอย่างใดหลักสร้างกลไกได้เคยถือ อย่างไรก็ตาม การประดิษฐ์ fluxions โดยไอแซกนิวตันในสร้างปลาย แนะนำความคิดของตัวแปรต่อเนื่อง - ตัวเลขในช่วงต่อเนื่องได้ขนาด แต่ขณะนี้มีความสะดวก และมีประสิทธิภาพ มันยังเกี่ยวข้องกับระดับใหม่ของ abstraction มันมากับความสับสนมากเกี่ยวกับปัญหาพื้นฐาน ในความเป็นจริง มันเป็นความจริงเท่านั้น โดยในการพัฒนาคณิตศาสตร์วิเคราะห์อย่างเข้มงวดเพราะสายที่สับสนนี้ก็เริ่มที่จะล้าง และแล้ว โดยปัจจุบัน จอร์จคันทอร์และอื่น ๆ ได้สร้างฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ ซึ่งความคิดในการรักษาหมายเลขเป็นตัวแปรต่อเนื่องเรื่องขนาดเท่านั้นที่ถูกเรียกว่าเป็นคำถาม แต่ จนเกือบปี 1970 และการเกิดขึ้นของทฤษฎีโกลาหลและเรขาคณิตเศษส่วน ฟังก์ชันเหล่านี้ได้เป็นส่วนใหญ่ถือเป็นห้องสารภัณฑ์ทางคณิตศาสตร์ ความเกี่ยวข้องไม่ปฏิบัติ (ดูยังหน้า 1175)เสมอมีอิสระของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ อย่างไรก็ตาม การประยุกต์ใช้งานจริงของตัวเลขให้เกิน idealization นามธรรมของตัวแปรต่อเนื่อง ว่าไม่มีใครคำนวณด้วยมือ โดยเครื่องคิดเลขเชิงกล หรืออิเล็กทรอนิกส์คอมพิวเตอร์ หนึ่งเสมอต้องแสดงความชัดเจนสำหรับหมายเลข ในแง่ของลำดับของตัวเลขของความยาวโดยทั่วไป (จาก 1930s ถึง 1960 ทำงานเรียกว่าคอมพิวเตอร์แบบแอนะล็อกที่ใช้แรงดันไฟฟ้าเพื่อแสดงตัวแปรต่อเนื่อง แต่เครื่องดังกล่าวออก ไม่ต้องเชื่อถือได้เพียงพอสำหรับการปฏิบัติมากที่สุด) จากวันแรกสุดของอิเล็กทรอนิกส์คอมพิวเตอร์ อย่างไรก็ตาม ความพยายามพยายามประมาณสมิติจำนวนอย่างใกล้ชิดที่สุด และแน่นอนสำหรับการศึกษาระบบการทำงานค่อนข้างง่าย เพียงการประมาณดังกล่าวโดยปกติจะทำงาน แต่เราจะเห็นต่อไปในบทนี้ มีลักษณะที่ซับซ้อนมากขึ้น จึงหลีกเลี่ยงไม่ได้เกือบประมาณที่แบ่ง และไม่มีทางเลือกแต่เมื่อต้องการดูหมายเลขที่แทนที่ชัดเจน (ดูยังหน้า 1134)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ประวัติความเป็นมาของตัวเลข ตัวเลขอาจจะเป็นครั้งแรกที่ใช้หลายพันคนของปีที่ผ่านมาในการค้าและต้นเพียงตัวเลขทั้งหมดและสรุปตัวเลขอาจจะเป็นสิ่งที่จำเป็น แต่แล้วในช่วงเวลาที่บาบิโลนปัญหาในทางปฏิบัติของเรขาคณิตเริ่มที่จะต้องมีรากที่สอง แต่เป็นเวลานานมากและแม้จะมีการพัฒนาของพีชคณิตบางตัวเลขเท่านั้นที่สามารถอย่างใดในหลักการที่จะสร้างกลไกที่เคยได้รับการพิจารณา การประดิษฐ์ของ fluxions โดย Isaac Newton ในช่วงปลายยุค 1600 แต่นำความคิดของตัวแปรอย่างต่อเนื่อง - ตัวเลขที่มีอย่างต่อเนื่องในช่วงที่มีขนาดที่เป็นไปได้ แต่ในขณะนี้คือความคิดที่สะดวกและมีประสิทธิภาพก็ยังมีส่วนร่วมในระดับใหม่ของนามธรรมและมันมาด้วยความสับสนมากเกี่ยวกับปัญหาพื้นฐาน ในความเป็นจริงมันเป็นจริงเพียงผ่านการพัฒนาของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวดในช่วงปลายปี 1800 ที่สับสนนี้ในที่สุดก็เริ่มที่จะชัดเจนขึ้น และแล้วโดยยุค 1880 เฟรดริกแคนเทอร์และคนอื่น ๆ ได้สร้างฟังก์ชั่นสมบูรณ์ต่อเนื่องซึ่งในความคิดของการรักษาตัวเลขเป็นตัวแปรอย่างต่อเนื่องที่มีเพียงเรื่องขนาดที่ถูกเรียกว่าเป็นคำถาม แต่จนเกือบปี 1970 และการเกิดขึ้นของรูปทรงเรขาคณิตเศษส่วนและทฤษฎีความวุ่นวายฟังก์ชั่นเหล่านี้ได้รับการพิจารณาส่วนใหญ่เป็นวิทยากรคณิตศาสตร์ไม่เกี่ยวข้องในทางปฏิบัติ (ดูหน้า 1175) อิสระของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ แต่การใช้งานจริงของตัวเลขที่ได้เคยมีที่จะไปไกลกว่าที่เป็นนามธรรมมักใหญ่ใฝ่สูงของตัวแปรอย่างต่อเนื่อง สำหรับใครไม่ว่าจะเป็นการคำนวณด้วยมือโดยเครื่องคิดเลขกลหรืออิเล็กทรอนิกส์คอมพิวเตอร์หนึ่งเสมอต้องการเป็นตัวแทนที่ชัดเจนสำหรับตัวเลขโดยทั่วไปในแง่ของการลำดับของตัวเลขที่มีความยาวบางอย่าง (จาก 1930 เพื่อ 1960 ทำงานบางอย่างได้รับการทำในสิ่งที่เรียกว่าแอนะล็อกคอมพิวเตอร์ที่ใช้แรงดันไฟฟ้าที่จะเป็นตัวแทนตัวแปรอย่างต่อเนื่อง แต่เครื่องดังกล่าวเปิดออกไม่ได้มีความน่าเชื่อถือมากพอสำหรับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติมากที่สุด.) จากวันแรกของการใช้คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ แต่ความพยายามที่ดีที่ถูกสร้างขึ้นเพื่อพยายามที่จะใกล้เคียงกับความต่อเนื่องของตัวเลขใกล้เคียงมากที่สุด และแน่นอนสำหรับการศึกษาระบบที่มีพฤติกรรมค่อนข้างง่ายใกล้เคียงดังกล่าวสามารถมักจะทำให้การทำงาน แต่ที่เราจะได้เห็นต่อไปในบทนี้มีพฤติกรรมที่ซับซ้อนมากขึ้นก็เป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงเกือบทุกอย่างที่ประมาณแบ่งลงและมี แต่ไม่มีทางเลือกที่จะดูที่การแสดงอย่างชัดเจนของตัวเลข (ดูหน้า 1134. )

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ประวัติความเป็นมาของตัวเลข ตัวเลขอาจจะใช้หลายพันของปีที่ผ่านมาในการค้า และเริ่มต้นเพียงตัวเลขทั้งหมดและอาจจะสรุปตัวเลขได้ต้องการ แต่แล้วในบาบิโลเนียครั้ง ปัญหาในทางปฏิบัติของเรขาคณิตเริ่มต้องใช้รากสแควร์ อย่างไรก็ตาม เป็นเวลานานมาก และแม้บางการพัฒนาพีชคณิต