In recent years a number of authors

In recent years a number of authors have considered an error analysis for some known
and some new quadrature formulas. They used an approach from an inequalities point
of view. For example, the midpoint quadrature rule is considered in [1], [3], [15], the
trapezoid rule is considered in [4], [5], [15], the averaged midpoint-trapezoid quadrature
rule is considered in [8], [15], [16] and Simpson’s rule is considered in [2], [5], [13]. In
most cases estimations of errors for these quadrature rules are obtained by means of
derivatives of integrands.
In this paper we first derive a general integral inequality for convex functions. Then
we apply this inequality to obtain new error bounds for the above mentioned quadrature
rules. Finally, we give applications in numerical integration.
The main property of the obtained error bounds is that they are expressed in terms
function values of integrand f, which has to be a convex function. Hence, we can apply
these quadrature rules (with the obtained error bounds) to integrands which are not
differentiable functions. In composite quadrature formulas we use the same data for
finding an approximate value of integral and for finding an estimation of error. An
illustrative example is given that shows how accurate the obtained estimations can be

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในปีล่าสุด ตัวเลขของผู้เขียนได้พิจารณาการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดสำหรับบางที่เรียกและบางสูตรลภาคใหม่ พวกเขาใช้แนวทางจากจุดนัดของมุมมอง ตัวอย่างเช่น พิจารณากฎลภาคจุดกึ่งกลางใน [1], [3], [15], การชุดกระโปรงกฎถือว่าใน [4], [5], [15], ลภาคจุดกึ่งกลางคางหมูเฉลี่ยถือว่ากฎใน [8], [15], [16] และถือว่าเป็นกฎของซิมป์สันใน [2], [5], [13] ในส่วนใหญ่กรณีประเมินของข้อผิดพลาดสำหรับลภาคกฎเหล่านี้จะได้รับโดยวิธีของอนุพันธ์ของ integrandsในเอกสารนี้ เราก่อนมาเป็นอสมการหนึ่งทั่วไปสำหรับฟังก์ชันนูน จากนั้นเราใช้อสมการนี้จะได้รับข้อผิดพลาดขอบเขตใหม่สำหรับลภาคดังกล่าวข้างต้นกฎ ในที่สุด เราให้ใช้งานในการรวมตัวเลขคุณสมบัติหลักของขอบเขตได้รับข้อผิดพลาดว่า พวกเขาจะแสดงในแง่ค่าฟังก์ชันของ integrand f ซึ่งจะต้องใช้ฟังก์ชันนูน ดังนั้น เราสามารถนำไปใช้กฎเหล่านี้ลภาค (มีขอบเขตได้รับข้อผิดพลาด) integrands ซึ่งไม่ได้differentiable ฟังก์ชัน ในสูตรผสมลภาค เราใช้ข้อมูลเดียวกันหาค่าประมาณ ของสถาปนิก และหาข้อผิดพลาดประมาณ มีตัวอย่างเทคนิคจะได้รับที่ถูกต้องวิธีการประเมินที่ได้รับสามารถแสดง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในปีที่ผ่านมาจำนวนของผู้เขียนได้มีการพิจารณาการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดสำหรับบางที่รู้จักกัน
และบางพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสสูตรใหม่ พวกเขาใช้วิธีการจากจุดความไม่เท่าเทียมกัน
ในมุมมองของ ยกตัวอย่างเช่นกฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจุดกึ่งกลางมีการพิจารณาใน [1] [3] [15] ที่
กฎสี่เหลี่ยมคางหมูมีการพิจารณาใน [4] [5] [15] สร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเฉลี่ยจุดกึ่งกลาง-สี่เหลี่ยมคางหมู
กฎมีการพิจารณาใน [8] [15], [16] และกฎซิมป์สันมีการพิจารณาใน [2] [5] [13] ใน
กรณีส่วนใหญ่ประมาณการของข้อผิดพลาดสำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกฎเหล่านี้จะได้รับโดยวิธีการของ
สัญญาซื้อขายล่วงหน้าของ integrands.
ในกระดาษนี้ครั้งแรกที่เราได้รับมาไม่เท่าเทียมกันทางหนึ่งสำหรับการทำงานทั่วไปนูน แล้ว
เราใช้ความไม่เท่าเทียมกันนี้จะได้รับข้อผิดพลาดขอบเขตใหม่สำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าวข้างต้น
กฎ สุดท้ายเราให้การใช้งานในการรวมตัวเลข.
คุณสมบัติหลักของขอบเขตที่ได้รับข้อผิดพลาดคือการที่พวกเขาจะแสดงในแง่
ค่าฟังก์ชั่นของ F integrand ซึ่งจะต้องมีฟังก์ชั่นนูน ดังนั้นเราจึงสามารถใช้
กฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเหล่านี้ได้ (ขอบเขตข้อผิดพลาดได้) เพื่อ integrands ที่ไม่ได้
ฟังก์ชั่นอนุพันธ์ ในสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสคอมโพสิตเราจะใช้ข้อมูลเดียวกันสำหรับ
การหาค่าประมาณของหนึ่งและสำหรับการค้นหาการประมาณค่าของข้อผิดพลาด
ตัวอย่างเป็นตัวอย่างจะได้รับที่แสดงให้เห็นวิธีที่ถูกต้องได้รับการประมาณการที่สามารถ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในปีที่ผ่านมาตัวเลขของผู้เขียนมีการพิจารณาการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดบางรู้จักและบางสูตรพื้นที่ใหม่ พวกเขาใช้แนวทางจากจุดอสมการในมุมมองของ ตัวอย่างเช่น จุดกึ่งกลางพื้นที่การปกครองถือว่าใน [ 1 ] , [ 2 ] , [ 15 ] ,กฎสี่เหลี่ยมคางหมูจะพิจารณา [ 4 ] , [ 5 ] , [ 15 ] จากจุดกึ่งกลางพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูข้อพิจารณาใน [ 8 ] , [ 15 ] [ 16 ] และกฎซิมป์สัน ถือว่าใน [ 2 ] , [ 5 ] , [ 13 ] ในกรณีส่วนใหญ่ของข้อผิดพลาดสำหรับกฎการพื้นที่เหล่านี้จะได้รับโดยวิธีการของอนุพันธ์ของ integrands .ในกระดาษนี้เราแรกสร้างความไม่เสมอภาคส่วนประกอบทั่วไปของฟังก์ชันนูน จากนั้นเราใช้อสมการนี้เพื่อให้ได้ขอบเขตข้อผิดพลาดใหม่สำหรับพื้นที่ดังกล่าวกฎ สุดท้ายเราให้โปรแกรมในการบูรณาการเชิงตัวเลขคุณสมบัติหลักของที่นี่คือ ว่า พวกเขาจะได้รับข้อผิดพลาดที่แสดงในแง่ค่าฟังก์ชันของปริพัทธ์ F ซึ่งมีฟังก์ชันนูน ดังนั้น เราสามารถใช้กฎพื้นที่เหล่านี้ ( มีขอบเขตความผิดพลาดได้ ) integrands ซึ่งไม่ได้ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ . พื้นที่ในคอมโพสิตสูตรเราใช้ข้อมูลเดียวกันสำหรับหาค่าโดยประมาณของหนึ่งและหาค่าของข้อผิดพลาด เป็นตัวอย่างให้แสดงวิธีที่ถูกต้องได้รับการ สามารถ