Combinatorial geometry" redirects h

Combinatorial geometry" redirects here. The term combinatorial geometry is also used in the theory of matroids to refer to a simple matroid, especially in older texts.

A collection of circles and the corresponding unit disk graph
Discrete geometry and combinatorial geometry are branches of geometry that study combinatorial properties and constructive methods of discrete geometric objects. Most questions in discrete geometry involve finite or discrete sets of basic geometric objects, such as points, lines, planes, circles, spheres, polygons, and so forth. The subject focuses on the combinatorial properties of these objects, such as how they intersect one another, or how they may be arranged to cover a larger object.

Discrete geometry has large overlap with convex geometry and computational geometry, and is closely related to subjects such as finite geometry, combinatorial optimization, digital geometry, discrete differential geometry, geometric graph theory, toric geometry, and combinatorial topology.

Contents [hide]
1 History
2 Topics in discrete geometry
2.1 Polyhedra and polytopes
2.2 Packings, coverings and tilings
2.3 Structural rigidity and flexibility
2.4 Incidence structures
2.5 Oriented matroids
2.6 Geometric graph theory
2.7 Simplicial complexes
2.8 Topological combinatorics
2.9 Lattices and discrete groups
2.10 Digital geometry
2.11 Discrete differential geometry
3 See also
4 Notes
5 References
History[edit]
Although polyhedra and tessellations had been studied for many years by people such as Kepler and Cauchy, modern discrete geometry has its origins in the late 19th century. Early topics studied were: the density of circle packings by Thue, projective configurations by Reye and Steinitz, the geometry of numbers by Minkowski, and map colourings by Tait, Heawood, and Hadwiger.

László Fejes Tóth, H.S.M. Coxeter and Paul Erdős, laid the foundations of discrete geometry. [1][2][3]

Topics in discrete geometry[edit]
Polyhedra and polytopes[edit]
Main articles: Polyhedron and Polytope
A polytope is a geometric object with flat sides, which exists in any general number of dimensions. A polygon is a polytope in two dimensions, a polyhedron in three dimensions, and so on in higher dimensions (such as a 4-polytope in four dimensions). Some theories further generalize the idea to include such objects as unbounded polytopes (apeirotopes and tessellations), and abstract polytopes.

The following are some of the aspects of polytopes studied in discrete geometry:

Polyhedral combinatorics
Lattice polytopes
Ehrhart polynomials
Pick's theorem
Hirsch conjecture
Packings, coverings and tilings[edit]
Main articles: circle packing and tessellation
Packings, coverings, and tilings are all ways of arranging uniform objects (typically circles, spheres, or tiles) in a regular way on a surface or manifold.

A sphere packing is an arrangement of non-overlapping spheres within a containing space. The spheres considered are usually all of identical size, and the space is usually three-dimensional Euclidean space. However, sphere packing problems can be generalised to consider unequal spheres, n-dimensional Euclidean space (where the problem becomes circle packing in two dimensions, or hypersphere packing in higher dimensions) or to non-Euclidean spaces such as hyperbolic space.

A tessellation of a flat surface is the tiling of a plane using one or more geometric shapes, called tiles, with no overlaps and no gaps. In mathematics, tessellations can be generalized to higher dimensions.

Specific topics in this area include:

Circle packings
Sphere packings
Kepler conjecture
Quasicrystals
Aperiodic tilings
Periodic Graphs (Geometry)
Finite subdivision rules
Structural rigidity and flexibility[edit]
Main article: Structural rigidity

Graphs are drawn as rods connected by rotating hinges. The cycle graph C4 drawn as a square can be tilted over by the blue force into a parallelogram, so it is a flexible graph. K3, drawn as a triangle, cannot be altered by any force that is applied to it, so it is a rigid graph.
Structural rigidity is a combinatorial theory for predicting the flexibility of ensembles formed by rigid bodies connected by flexible linkages or hinges.

Topics in this area include:

Cauchy's theorem
Flexible polyhedra
Incidence structures[edit]
Main article: Incidence structure

Seven points are elements of seven lines in the Fano plane, an example of an incidence structure.
Incidence structures generalize planes (such as affine, projective, and Möbius planes) as can be seen from their axiomatic definitions. Incidence structures also generalize the higher-dimensional analogs and the finite structures are sometimes called finite geometries.

Formally, an incidence structure is a triple

C=(P,L,I).,
where P is a set of "points", L is a set of "lines" and I subseteq P imes L is the incidence relation. The elements of I are called flags. If

(p,l) in I,
we say that point p "lies on" line l.

Topics in this area include:

Configurations
Line arrangements
Hyperplane arrangements
Buildings
Oriented matroids[edit]
Main article: Oriented matroid
An oriented matroid is a mathematical structure that abstracts the properties of directed graphs and of arrangements of vectors in a vector space over an ordered field (particularly for partially ordered vector spaces).[4] In comparison, an ordinary (i.e., non-oriented) matroid abstracts the dependence properties that are common both to graphs, which are not necessarily directed, and to arrangements of vectors over fields, which are not necessarily ordered.[5] [6]

Geometric graph theory[edit]
Main article: Geometric graph theory
A geometric graph is a graph in which the vertices or edges are associated with geometric objects. Examples include Euclidean graphs, the 1-skeleton of a polyhedron or polytope, intersection graphs, and visibility graphs.

Topics in this area include:

Graph drawing
Polyhedral graphs
Voronoi diagrams and Delaunay triangulations
Simplicial complexes[edit]
Main article: Simplicial complex
A simplicial complex is a topological space of a certain kind, constructed by "gluing together" points, line segments, triangles, and their n-dimensional counterparts (see illustration). Simplicial complexes should not be confused with the more abstract notion of a simplicial set appearing in modern simplicial homotopy theory. The purely combinatorial counterpart to a simplicial complex is an abstract simplicial complex.

Topological combinatorics[edit]
Main article: Topological combinatorics
The discipline of combinatorial topology used combinatorial concepts in topology and in the early 20th century this turned into the field of algebraic topology.

In 1978 the situation was reversed – methods from algebraic topology were used to solve a problem in combinatorics – when László Lovász proved the Kneser conjecture, thus beginning the new study of topological combinatorics. Lovász's proof used the Borsuk-Ulam theorem and this theorem retains a prominent role in this new field. This theorem has many equivalent versions and analogs and has been used in the study of fair division problems.

Topics in this are include:

Sperner's lemma
Regular maps
Lattices and discrete groups[edit]
Main articles: Lattice (discrete group) and discrete group
A discrete group is a group G equipped with the discrete topology. With this topology, G becomes a topological group. A discrete subgroup of a topological group G is a subgroup H whose relative topology is the discrete one. For example, the integers, Z, form a discrete subgroup of the reals, R (with the standard metric topology), but the rational numbers, Q, do not.

A lattice in a locally compact topological group is a discrete subgroup with the property that the quotient space has finite invariant measure. In the special case of subgroups of Rn, this amounts to the usual geometric notion of a lattice, and both the algebraic structure of lattices and the geometry of the totality of all lattices are relatively well understood. Deep results of Borel, Harish-Chandra, Mostow, Tamagawa, M. S. Raghunathan, Margulis, Zimmer obtained from the 1950s through the 1970s provided examples and generalized much of the theory to the setting of nilpotent Lie groups and semisimple algebraic groups over a local field. In the 1990s, Bass and Lubotzky initiated the study of tree lattices, which remains an active research area.

Topics in this area include:

Reflection groups
Triangle groups
Digital geometry[edit]
Main article: Digital geometry
Digital geometry deals with discrete sets (usually discrete point sets) considered to be digitized models or images of objects of the 2D or 3D Euclidean space.

Simply put, digitizing is replacing an object by a discrete set of its points. The images we see on the TV screen, the raster display of a computer, or in newspapers are in fact digital images.

Its main application areas are computer graphics and image analysis. See Li Chen, Digital and discrete geometry: Theory and Algorithms, Springer, 2014. (http://www.springer.com/us/book/9783319120980)

Discrete differential geometry[edit]
Main article: Discrete differential geometry
Discrete differential geometry is the study of discrete counterparts of notions in differential geometry. Instead of smooth curves and surfaces, there are polygons, meshes, and simplicial complexes. It is used in the study of computer graphics and topological combinatorics.

Topics in this area include:

Discrete Laplace operator
Discrete exterior calculus
Discrete Morse theory
Topological combinatorics
Spectral shape analysis
Abstract differential geometry
Analysis on fractals

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ปัญหาเรขาคณิต"เปลี่ยนเส้นทางที่นี่ ยังได้ใช้ทฤษฎี matroids เรขาคณิตปัญหาคำอ้างถึง matroid ที่ง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในข้อความที่เก่ากว่าคอลเลกชันของวงกลมและกราฟดิสก์หน่วยสอดคล้องกันเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่องและปัญหาเรขาคณิตมีสาขาของเรขาคณิตที่ศึกษาปัญหาคุณสมบัติและวิธีการสร้างสรรค์วัตถุทรงเรขาคณิตแยกกัน คำถามส่วนใหญ่ในทางเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่องเกี่ยวข้องกับการจำกัด หรือแยกกันชุดพื้นฐานวัตถุทรงเรขาคณิต จุด เส้น เครื่องบิน วงกลม ทรงกลม รูปหลายเหลี่ยม และอื่น ๆ เรื่องเน้นปัญหาคุณสมบัติของวัตถุเหล่านี้ เช่นวิธีการที่พวกเขาอินกัน หรือว่าพวกเขาอาจจัดให้ครอบคลุมวัตถุขนาดใหญ่เรขาคณิตเดี่ยว ๆ มีขนาดใหญ่วางซ้อนกับเรขาคณิตนูนและเรขาคณิตเชิงคำนวณ และสัมพันธ์ใกล้ชิดกับวิชาเรขาคณิตจำกัด เพิ่มประสิทธิภาพปัญหา ดิจิตอลเรขาคณิต เรขาคณิตแตกต่างแยกกัน ทฤษฎีกราฟเรขาคณิต เรขาคณิตสี และโครงสร้างปัญหาเนื้อหา [ซ่อน] ประวัติศาสตร์ 1หัวข้อที่ 2 ในทางเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่อง2.1 polyhedra และ polytopes2.2 ลเครื่อง ปู และ tilings2.3 โครงสร้างความแข็งแกร่งและความยืดหยุ่น2.4 อุบัติการณ์โครงสร้าง2.5 วาง matroids2.6 ทฤษฎีกราฟเรขาคณิต2.7 สิ่งอำนวยความสะดวก Simplicial2.8 topological คณิตศาสตร์เชิงการจัด2.9 lattices และกลุ่มแยกกัน2.10 รูปทรงเรขาคณิตดิจิตอล2.11 เดี่ยว ๆ รูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่าง3 ดูหมายเหตุ 4อ้างอิง 5[แก้ไข] ประวัติศาสตร์แม้ว่า polyhedra และ tessellations มีการศึกษาหลายปี โดยคนเช่นกฎและอสมการโคชี เรขาคณิตสมัยแยกกันมีกำเนิดในช่วงปลายศตวรรษ หัวข้อช่วงที่เรียนได้: ความหนาแน่นของลเครื่องกลมโดย Thue โครงแบบ projective Reye และ Steinitz เรขาคณิตของมินคอฟสกีโดย colourings แผนที่ ทางเทียต Heawood, HadwigerLászló Fejes Tóth, H.S.M. Coxeter และ Paul Erdős วางรากฐานของเรขาคณิตแยกกัน [1] [2] [3]หัวข้อในเรขาคณิตแยกกัน [แก้ไข]Polyhedra และ polytopes [แก้ไข]บทความหลัก: ทรงหลายหน้าและ PolytopePolytope เป็นวัตถุทรงเรขาคณิตกับด้านแบน ที่มีอยู่ในหลายมิติทั่วไป รูปหลายเหลี่ยมเป็นแบบ polytope ในสองมิติ ทรงหลายหน้าในสามมิติ และในขนาดสูง (เช่น 4-polytope ในมิติที่สี่) บางทฤษฎีเพิ่มเติมทั่วไปคิดจะรวมวัตถุดังกล่าวเป็น polytopes งที่ (apeirotopes และ tessellations), และ polytopes บทคัดย่อต่อไปนี้มีลักษณะของศึกษาเรขาคณิตแยกกัน polytopes:คณิตศาสตร์เชิงการจัด polyhedralโครงตาข่ายประกอบ polytopesEhrhart polynomialsทฤษฎีบทของรับข้อความคาดการณ์ของเฮิร์ชลเครื่อง ปู และ tilings [แก้ไข]บทความหลัก: วงกลมบรรจุและเทสเซลเลชันลเครื่อง ปู และ tilings เป็นวิธีการจัดเรียงวัตถุรูป (โดยทั่วไปวงกลม ทรงกลม หรือกระเบื้อง) ในทางปกติบนพื้นผิวหรือช่องทางเข้าออกทั้งหมดการบรรจุทรงกลมเป็นทรงกลมที่ไม่ซ้อนกันภายในพื้นที่ที่มีการจัด ท้องถิ่นพิจารณามักขนาดเหมือนกันทั้งหมด และพื้นที่เป็นพื้นที่ Euclidean สามมิติมักจะ อย่างไรก็ตาม สามารถ generalised ทรงกลมบรรจุปัญหาพิจารณาทรงกลมไม่เท่ากัน พื้นที่ Euclidean n มิติ (ซึ่งปัญหากลายเป็น วงกลมที่บรรจุในสองมิติ hypersphere บรรจุในขนาดสูง) หรือช่องว่างไม่ใช่ Euclidean เช่นพื้นที่ไฮเพอร์โบลิเรียงของเครื่องบินที่ใช้อย่าง น้อยหนึ่งรูปทรงเรขาคณิต เรียกไพ่ ไม่ทับซ้อนและไม่มีช่องว่างเทสเซลเลชันของผิวได้ ในวิชาคณิตศาสตร์ tessellations สามารถจะตั้งค่าทั่วไปสูงขนาดนั้นหัวข้อเฉพาะในพื้นที่นี้รวมถึง:วงกลมลเครื่องทรงกลมลเครื่องกฎข้อความคาดการณ์QuasicrystalsAperiodic tilingsกราฟประจำงวด (เรขาคณิต)กฎมีจำกัดอำเภอโครงสร้างความแข็งแกร่งและความยืดหยุ่น [แก้ไข]บทความหลัก: ความแข็งแกร่งโครงสร้างกราฟที่วาดเป็นก้านที่เชื่อมต่อ โดยการหมุน hinges สามารถจะยืดกราฟวงจร C4 ที่วาดเป็นสี่เหลี่ยม โดยกองทัพสีฟ้าเป็นแบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้นจึงเป็นกราฟที่มีความยืดหยุ่น K3 วาดเป็นรูปสามเหลี่ยม ไม่มีการเปลี่ยนแปลง โดยแรงที่ใช้ไป ดังนั้นจึงแข็งกราฟความแข็งแกร่งโครงสร้างทฤษฎีปัญหาสำหรับการคาดการณ์ความยืดหยุ่นของวงเกิดขึ้น โดยการเชื่อมต่อ โดยการเชื่อมโยงแบบยืดหยุ่นหรือ hinges เนื้อแข็งได้หัวข้อในนี้รวมถึง:ทฤษฎีบทของอสมการโคชีPolyhedra ความยืดหยุ่นเกิดโครงสร้าง [แก้ไข]บทความหลัก: โครงสร้างเกิด7 คะแนนองค์ประกอบของเส้นเจ็ดเส้นในระนาบ Fano ตัวอย่างโครงสร้างเกิดการเกิดโครงสร้างทั่วไปเครื่องบิน (เช่น affine, projective และเครื่องบิน Möbius) สามารถเห็นได้จากคำนิยาม axiomatic เกิดโครงสร้างยังเม analogs มิติสูง และโครงสร้างแน่นอนบางครั้งเรียกว่ารูปทรงเรขาคณิตที่แน่นอนอย่างเป็นกิจจะลักษณะ โครงสร้างเกิดจะเป็นทริปเปิ้ลC = (P, L ฉัน) ,P เป็น ชุดของ "จุด" L คือ ชุด "บรรทัด" และฉัน subseteq P imes L ความสัมพันธ์เกิดขึ้น องค์ประกอบของฉันจะเรียกว่าสถานะ หาก(p, l) inเราว่า ที่จุด p "อยู่บน" บรรทัด lหัวข้อในนี้รวมถึง:ตั้งค่าคอนฟิกจัดรายการจัด Hyperplaneอาคารแนว matroids [แก้ไข]บทความหลัก: มุ่งเน้น matroidMatroid ที่วางเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่บทคัดย่อคุณสมบัติ ของกราฟโดยตรง และจัดของเวกเตอร์ในแบบเวกเตอร์เหนือฟิลด์การสั่ง (โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับช่องว่างบางส่วนสั่งเวกเตอร์) [4] ในการเปรียบเทียบ ผิดปกติ (เช่น ไม่แปลก) matroid บทคัดย่อคุณสมบัติพึ่งพาที่ทั่วไปทั้ง กราฟ ซึ่งจะไม่จำเป็นต้องกำกับ และ การจัดเรียงของเวกเตอร์ผ่านเขต ซึ่งจะไม่จำเป็นต้องสั่งซื้อ [5] [6]ทฤษฎีกราฟเรขาคณิต [แก้ไข]บทความหลัก: ทฤษฎีกราฟเรขาคณิตรูปทรงเรขาคณิตกราฟเป็นกราฟซึ่งจุดยอดหรือขอบเกี่ยวข้องกับวัตถุทรงเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น Euclidean กราฟ 1-โครงกระดูกเป็นทรงหลายหน้า หรือ polytope สี่แยกกราฟ และกราฟแสดงผลหัวข้อในนี้รวมถึง:กราฟที่วาดกราฟ polyhedralVoronoi ไดอะแกรมและ Delaunay triangulationsสิ่งอำนวยความสะดวก Simplicial [แก้ไข]บทความหลัก: คอมเพล็กซ์ SimplicialSimplicial ที่ซับซ้อนมีพื้นที่ topological ของบางชนิด ถูกสร้างขึ้น โดย "ติดกาวเข้าด้วยกัน" คะแนน ส่วนของเส้นตรง สามเหลี่ยม และปราบปราม n มิติ (ดูภาพประกอบ) ไม่ควรสับสนคอมเพล็กซ์ Simplicial กับแนวคิดนามธรรมมากขึ้นของ simplicial การตั้งค่าปรากฏในทฤษฎี homotopy simplicial ทันสมัย Simplicial เป็นนามธรรมซับซ้อนกันปัญหาเพียงอย่างเดียวเพื่อ simplicial ที่ซับซ้อนได้คณิตศาสตร์เชิงการจัด topological [แก้ไข]บทความหลัก: คณิตศาสตร์เชิงการจัด Topologicalโทโพโลยีปัญหาวินัยการใช้แนวคิดปัญหาในโทโพโลยี และในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 นี้เปิดในด้านโครงสร้างพีชคณิตในปี 1978 สถานการณ์ถูกกลับ – ใช้วิธีการจากโครงสร้างพีชคณิตเพื่อแก้ปัญหาในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเมื่อ László Lovász พิสูจน์ข้อความคาดการณ์ Kneser จึง เริ่มต้นศึกษาใหม่ topological คณิตศาสตร์เชิงการจัด ทฤษฎีบท Borsuk Ulam ใช้หลักฐานของ Lovász และทฤษฎีบทนี้ยังคงมีบทบาทโดดเด่นในเขตข้อมูลนี้ใหม่ ทฤษฎีบทนี้ได้เทียบเท่ารุ่นและ analogs และมีการใช้ในการศึกษาของฝ่ายยุติธรรมปัญหาหัวข้อในนี้รวมถึง:จับมือของ Spernerแผนที่ปกติLattices และกลุ่มแยกกัน [แก้ไข]บทความหลัก: โครงตาข่ายประกอบ (กลุ่มแยกกัน) และกลุ่มที่แยกกันกลุ่มแยกกันเป็นกลุ่ม G ที่มีโครงสร้างไม่ต่อเนื่อง กับโทโพโลยีนี้ G กลายเป็น กลุ่ม topological กลุ่มย่อยของกลุ่ม topological G แยกกันเป็นกลุ่มย่อย H โทโพโลยีที่มีญาติเป็นเดี่ยว ๆ ตัวอย่าง แบบเต็ม Z กลุ่มย่อยของตัวเลขจริง R (กับมาตรฐานวัดโทโพโลยี), แต่ตรรก Q แยกกันไม่โครงตาข่ายประกอบในกลุ่ม topological ขนาดเล็กภายในมีกลุ่มย่อยเดี่ยว ๆ มีลักษณะที่ว่า ผลหารพื้นที่มีจำกัดบล็อกวัด ในกรณีพิเศษของกลุ่มย่อยของ Rn นี้จำนวนถึงเรขาคณิตความปกติของโครงตาข่ายประกอบ และโครงสร้างของ lattices พีชคณิตและเรขาคณิตของผลของ lattices ทั้งหมดทั้งมีความเข้าใจค่อนข้างดี ผลลึกของ Borel, Harish-จันทรา Mostow, Tamagawa, M. S. Raghunathan, Margulis, Zimmer ได้จากช่วงทศวรรษ 1950 ถึงทศวรรษ 1970 ที่ให้ตัวอย่าง และตั้งค่าทั่วไปของทฤษฎีการตั้งค่าของกลุ่มนอนนิรพลและกลุ่ม semisimple พีชคณิตผ่านเขตท้องถิ่น ในปี 1990 เบสและ Lubotzky เริ่มต้นการศึกษาต้นไม้ lattices ซึ่งเหลือพื้นที่ใช้งานวิจัยหัวข้อในนี้รวมถึง:กลุ่มสะท้อนกลุ่มสามเหลี่ยมเรขาคณิตแบบดิจิทัล [แก้ไข]บทความหลัก: เรขาคณิตดิจิตอลเรขาคณิตแบบดิจิทัลที่เกี่ยวข้องกับแยกกันชุด (ชุดจุดมักจะแยกกัน) ถือเป็นรูปแบบดิจิทัลหรือภาพของวัตถุพื้นที่ Euclidean 2D หรือ 3Dเพียงแค่ใส่ ดิจิทัลจะแทนวัตถุ โดยคะแนนของชุดแยกกัน ภาพเราเห็นบนหน้าจอทีวี คอมพิวเตอร์ แสดงแบบราสเตอร์ หรือในหนังสือพิมพ์ได้ในความเป็นจริงภาพดิจิตอลพื้นที่แอพพลิเคชันหลักของคอมพิวเตอร์กราฟิกและรูปภาพการวิเคราะห์ได้ ดู Li Chen ดิจิตอล และแยกกันเรขาคณิต: ทฤษฎีและอัลกอริทึม Springer, 2014 (ส่วน http://www.springer.com/us/book/9783319120980)รูปทรงเรขาคณิตแตกต่างแยกกัน [แก้ไข]บทความหลัก: เรขาคณิตแตกต่างแยกกันเรขาคณิตแตกต่างแยกกันเป็นวิชาคู่แยกกันของความเข้าใจในเรขาคณิตที่แตกต่าง แทนเส้นโค้งเรียบและผิว มีรูปหลายเหลี่ยม ตาข่าย และ simplicial สิ่งอำนวยความสะดวก ใช้ในวิชาคอมพิวเตอร์กราฟิกและ topological คณิตศาสตร์เชิงการจัดหัวข้อในนี้รวมถึง:ตัวดำเนินการลาปลาสแยกกันแคลคูลัสภายนอกแยกกันทฤษฎีมอร์สแยกกันคณิตศาสตร์เชิงการจัด topologicalการวิเคราะห์รูปร่างสเปกตรัมรูปทรงเรขาคณิตส่วนนามธรรมวิเคราะห์ fractals

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เรขาคณิต Combinatorial "redirects here. ระยะเรขาคณิต combinatorial ยังถูกนำมาใช้ในทางทฤษฎีของ matroids เพื่ออ้างถึง matroid ง่ายโดยเฉพาะอย่างยิ่งในตำราเก่า. คอลเลกชันของวงการและรูปแบบของกราฟดิสก์หน่วยที่สอดคล้องกันรูปทรงเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องและเรขาคณิต combinatorial เป็นสาขาของรูปทรงเรขาคณิตที่ ศึกษาคุณสมบัติ combinatorial และวิธีการที่สร้างสรรค์ของวัตถุทางเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่อง. คำถามมากที่สุดในรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่องที่เกี่ยวข้องกับชุดที่ จำกัด หรือไม่ต่อเนื่องของวัตถุทางเรขาคณิตพื้นฐานเช่นจุดเส้นระนาบวงกลมทรงกลมรูปหลายเหลี่ยมและอื่น ๆ . เรื่องมุ่งเน้นไปที่ combinatorial คุณสมบัติของวัตถุเหล่านี้เช่นวิธีที่พวกเขาตัดอีกคนหนึ่งหรือว่าพวกเขาอาจได้รับการจัดให้ครอบคลุมถึงวัตถุที่มีขนาดใหญ่. รูปทรงเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องมีการทับซ้อนขนาดใหญ่ที่มีรูปทรงเรขาคณิตนูนและเรขาคณิตการคำนวณและมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับวิชาเช่นรูปทรงเรขาคณิตที่ จำกัด การเพิ่มประสิทธิภาพ combinatorial เรขาคณิตดิจิตอลเรขาคณิตต่างกันโดยสิ้นเชิงทฤษฎีกราฟเรขาคณิตเรขาคณิตระเบียบเรียบร้อยและโครงสร้าง combinatorial. เนื้อหา [ซ่อน] 1 ประวัติ2 หัวข้อในรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่อง2.1 จีและเรขาคณิตระดับประถม2.2 Packings ปูและ tilings 2.3 ความแข็งแกร่งโครงสร้างและความยืดหยุ่น2.4 โครงสร้างอุบัติการณ์2.5 Oriented matroids 2.6 ทฤษฎีกราฟเรขาคณิต2.7 simplicial คอมเพล็กซ์2.8 Topological combinatorics 2.9 ประดับประดาด้วยและกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง2.10 เรขาคณิตดิจิตอล2.11 เรขาคณิตต่างกันไม่ต่อเนื่อง3 ดูเพิ่มเติม4 หมายเหตุ5 อ้างอิงประวัติศาสตร์[แก้ไข] แม้ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมและ tessellations ได้รับการศึกษามานานหลายปีโดยคนเช่นเคปเลอร์และ Cauchy เรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่องที่ทันสมัยมีต้นกำเนิดในปลายศตวรรษที่ 19 หัวข้อต้นการศึกษามีดังนี้. ความหนาแน่นของ packings วงกลมโดย Thue การกำหนดค่า projective โดย Reye และ Steinitz เรขาคณิตของตัวเลขโดยคอฟสกีและสีแผนที่โดยเท้ท Heawood และ Hadwiger László Fejes Tóth, HSM Coxeter และพอลแอร์ดิช, วาง รากฐานของเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่อง [1] [2] [3] หัวข้อในรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่อง [แก้ไข] จีและเรขาคณิตระดับประถม [แก้ไข] บทความหลัก: รูปทรงหลายเหลี่ยมและ polytope polytope เป็นวัตถุทางเรขาคณิตที่มีด้านแบนซึ่งมีอยู่ในจำนวนทั่วไปของมิติ รูปหลายเหลี่ยมเป็น polytope ในสองมิติรูปทรงหลายเหลี่ยมในสามมิติและอื่น ๆ ในมิติที่สูงขึ้น (เช่น 4 polytope ในสี่มิติ) . บางทฤษฎีเพิ่มเติมคุยความคิดที่จะรวมถึงวัตถุเช่นเรขาคณิตระดับประถมมากมาย (apeirotopes และ tessellations) และเรขาคณิตระดับประถมนามธรรมต่อไปนี้คือบางส่วนของแง่มุมของเรขาคณิตระดับประถมศึกษาในรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่อง: combinatorics polyhedral ตาข่ายเรขาคณิตระดับประถมพหุนาม Ehrhart ทฤษฎีบทเลือกของเฮิร์ชคาดเดาPackings ปู และ tilings [แก้ไข] บทความหลัก: บรรจุวงกลมและ tessellation Packings ปูและ tilings มีวิธีการทั้งหมดของการจัดวัตถุเครื่องแบบ (ปกติวงกลมทรงกลมหรือกระเบื้อง) ในทางปกติบนพื้นผิวหรือท่อ. บรรจุทรงกลมเป็นข้อตกลง ของทรงกลมที่ไม่ทับซ้อนกันอยู่ภายในพื้นที่ที่มี ทรงกลมมักจะถือว่าทุกขนาดที่เหมือนกันและพื้นที่โดยปกติจะเป็นสามมิติปริภูมิแบบยุคลิด อย่างไรก็ตามปัญหาการบรรจุทรงกลมสามารถทั่วไปที่จะต้องพิจารณาทรงกลมที่ไม่เท่ากัน, n มิติปริภูมิแบบยุคลิด (ที่จะกลายเป็นปัญหาบรรจุวงกลมในสองมิติหรือบรรจุ hypersphere ในมิติที่สูงขึ้น) หรือพื้นที่ที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเช่นพื้นที่การผ่อนชำระ. tessellation ของ พื้นผิวเรียบเป็นปูกระเบื้องของเครื่องบินโดยใช้หนึ่งหรือรูปทรงเรขาคณิตที่เรียกว่ากระเบื้องที่มีการทับซ้อนและช่องว่างไม่มี ในทางคณิตศาสตร์ tessellations สามารถทั่วไปเพื่อมิติที่สูงขึ้น. หัวข้อที่เฉพาะเจาะจงในพื้นที่นี้รวมถึง: packings วงกลมpackings วงเคปเลอร์คาดเดาQuasicrystals Aperiodic tilings กราฟธาตุ (เรขาคณิต) กฎแผนก จำกัดความแข็งแกร่งโครงสร้างและความยืดหยุ่น [แก้ไข] บทความหลัก: ความแข็งแกร่งของโครงสร้างกราฟจะวาดเป็นแท่งเชื่อมต่อโดยการหมุนบานพับ กราฟวงจร C4 วาดเป็นตารางสามารถเอียงไปโดยแรงสีฟ้าเข้าไปในสี่เหลี่ยมด้านขนานดังนั้นมันจึงเป็นกราฟที่มีความยืดหยุ่น K3 วาดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยการบังคับใด ๆ ที่จะนำไปใช้มันเพื่อให้มันเป็นกราฟแข็ง. ความแข็งแกร่งโครงสร้างเป็นทฤษฎี combinatorial การทำนายความยืดหยุ่นของวงที่เกิดขึ้นจากวัตถุเกร็งที่เชื่อมต่อด้วยการเชื่อมโยงที่มีความยืดหยุ่นหรือบานพับ. หัวข้อ ในพื้นที่นี้รวมถึง: ทฤษฎีบท Cauchy ของความยืดหยุ่นจีโครงสร้างอุบัติการณ์[แก้ไข] บทความหลัก: โครงสร้างอุบัติการณ์. เจ็ดจุดที่เป็นองค์ประกอบของเจ็ดเส้นในระนาบโน่ตัวอย่างของโครงสร้างอุบัติการณ์เป็นนักการโครงสร้างอุบัติการณ์คุยเครื่องบิน (เช่นเลียนแบบ, projective และ เครื่องบินMöbius) ที่สามารถเห็นได้จากคำจำกัดความของพวกเขาเป็นจริง โครงสร้างอุบัติการณ์ยังกล่าวสรุป analogs สูงมิติและโครงสร้างแน่นอนบางครั้งเรียกว่ารูปทรงเรขาคณิตที่แน่นอน. อย่างเป็นทางการโครงสร้างอุบัติการณ์เป็นสามC = (P, L, I). , ที่ P คือชุดของ "จุด", L เป็นชุดของ "เส้น" และฉัน subseteq P times L มีความสัมพันธ์กับการเกิด องค์ประกอบของผมจะเรียกว่าธง ถ้า(p, ลิตร) in I, เราบอกว่าจุด p "อยู่บน" สายล. หัวข้อในพื้นที่นี้รวมถึง: การตั้งค่าการจัดสายการเตรียมไฮเปอร์เพลอาคารเชิงmatroids [แก้ไข] บทความหลัก: Oriented matroid matroid ที่มุ่งเน้นเป็นทางคณิตศาสตร์ โครงสร้างที่บทคัดย่อคุณสมบัติของกราฟกำกับและอำนวยการของการเตรียมการของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เหนือสนามที่สั่งซื้อ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับคำสั่งให้บางส่วนพื้นที่เวกเตอร์). [4] ในการเปรียบเทียบสามัญ (คือไม่ใช่ oriented) matroid บทคัดย่อคุณสมบัติการพึ่งพา ที่ใช้กันทั่วไปทั้งกราฟที่ไม่ได้กำกับจำเป็นและการเตรียมการของเวกเตอร์มากกว่าเขตที่ไม่ได้มีคำสั่งจำเป็น [5] [6]. ทฤษฎีกราฟเรขาคณิต [แก้ไข] บทความหลัก: ทฤษฎีกราฟเรขาคณิตกราฟทางเรขาคณิตเป็นกราฟซึ่งจุดหรือขอบที่เกี่ยวข้องกับวัตถุทางเรขาคณิต . ตัวอย่างเช่นกราฟยุคลิดโครงกระดูก 1 ของรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือ polytope กราฟแยกและกราฟการมองเห็นหัวข้อในพื้นที่นี้รวมถึง: กราฟวาดภาพกราฟ polyhedral แผนภาพ Voronoi และเนย์ triangulations คอมเพล็กซ์ simplicial [แก้ไข] บทความหลัก: ที่ซับซ้อน simplicial ซับซ้อน simplicial เป็นพื้นที่ทอพอโลยีของบางชนิดที่สร้างโดย "ติดกาวเข้าด้วยกัน" จุดส่วนของเส้นตรงสามเหลี่ยมและคู่ n มิติของพวกเขา (ดูภาพประกอบ) คอมเพล็กซ์ simplicial ไม่ควรจะสับสนกับความคิดนามธรรมมากขึ้นของการตั้งค่า simplicial ปรากฏในทฤษฎี homotopy simplicial ทันสมัย คู่ combinatorial อย่างหมดจดเพื่อความซับซ้อน simplicial เป็นที่ซับซ้อน simplicial นามธรรม. Topological combinatorics [แก้ไข] บทความหลัก: combinatorics Topological. วินัยของ topology combinatorial ใช้แนวคิด combinatorial ใน topology และในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 นี้กลายเป็นเขตของโครงสร้างเกี่ยวกับพีชคณิตใน1978 สถานการณ์ได้กลับ - วิธีการจาก topology เกี่ยวกับพีชคณิตถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหาใน combinatorics - เมื่อLászló Lovasz พิสูจน์การคาดเดา Kneser จึงเริ่มต้นการศึกษาใหม่ของ combinatorics ทอพอโลยี หลักฐานที่ใช้ Lovasz ทฤษฎีบท Borsuk-ลามและทฤษฎีบทนี้ยังคงมีบทบาทที่โดดเด่นในสาขาใหม่นี้ ทฤษฎีบทนี้มีรุ่นเทียบเท่าจำนวนมากและ analogs และได้ถูกนำมาใช้ในการศึกษาปัญหาการแบ่งที่เป็นธรรม. หัวข้อในนี้รวมถึง: Sperner ของแทรกแผนที่ปกติประดับประดาด้วยและกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง[แก้ไข] บทความหลัก: Lattice (กลุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง) และกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่องต่อเนื่องกลุ่มกลุ่มจีพร้อมกับโครงสร้างที่ไม่ต่อเนื่อง ด้วยโครงสร้างนี้ G กลายเป็นกลุ่มทอพอโลยี กลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของกลุ่มทอพอโลยี G เป็นกลุ่มย่อยที่มีโครงสร้าง H ญาติเป็นหนึ่งที่ไม่ต่อเนื่อง ยกตัวอย่างเช่นจำนวนเต็ม, Z ในรูปแบบกลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของจำนวนจริง r (กับโครงสร้างตัวชี้วัดมาตรฐาน) แต่สรุปตัวเลขที่ถามไม่ได้. ตาข่ายในกลุ่มทอพอโลยีที่มีขนาดกะทัดรัดในประเทศเป็นกลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องกับทรัพย์สิน พื้นที่ที่ฉลาดมีการวัดค่าคงที่แน่นอน ในกรณีพิเศษของกลุ่มย่อยของ Rn นี้จำนวนถึงความคิดทางเรขาคณิตปกติของตาข่ายและทั้งสองโครงสร้างเกี่ยวกับพีชคณิตของโปรยและรูปทรงเรขาคณิตของจำนวนทั้งสิ้นของโปรยทั้งหมดที่มีความเข้าใจค่อนข้างดี ผลลึกของโบเรล, Harish-จันทรามอสโทว์, Tamagawa, MS Raghunathan, Margulis ไม้เท้าที่ได้รับจากปี 1950 ผ่าน 1970 ให้ตัวอย่างและทั่วไปมากของทฤษฎีการตั้งค่าของกลุ่มโกหก nilpotent และกลุ่มพีชคณิต semisimple กว่าสนามท้องถิ่น . ในปี 1990, เบสและ Lubotzky ริเริ่มการศึกษาโปรยต้นไม้ซึ่งยังคงเป็นพื้นที่งานวิจัยหัวข้อในพื้นที่นี้รวมถึง: กลุ่มสะท้อนกลุ่มสามเหลี่ยมเรขาคณิตดิจิตอล[แก้ไข] บทความหลัก: เรขาคณิตดิจิตอลข้อเสนอเรขาคณิตดิจิตอลที่มีชุดที่ไม่ต่อเนื่อง(โดยปกติจะไม่ต่อเนื่อง ชุดจุด) ถือว่าเป็นรูปแบบดิจิตอลหรือภาพของวัตถุของ 2D หรือ 3D ปริภูมิแบบยุคลิด. ใส่เพียงแค่ digitizing ถูกใช้แทนที่วัตถุโดยชุดของจุดที่ไม่ต่อเนื่องของ ภาพที่เราเห็นบนหน้าจอทีวีจอแสดงผลเชิงภาพของเครื่องคอมพิวเตอร์หรือในหนังสือพิมพ์อยู่ในความเป็นจริงภาพดิจิตอล. พื้นที่ใช้หลักคือคอมพิวเตอร์กราฟิกและการวิเคราะห์ภาพ ดูหลี่เฉินดิจิตอลและรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่อง: ทฤษฎีและอัลกอริทึมสปริงเกอร์ 2014 (http://www.springer.com/us/book/9783319120980) เรขาคณิตต่างกันโดยสิ้นเชิง [แก้ไข] บทความหลัก: เรขาคณิตต่างกันโดยสิ้นเชิงเรขาคณิตต่างกันโดยสิ้นเชิงคือการศึกษาของคู่ที่ไม่ต่อเนื่องของความคิดในเรขาคณิตต่างกัน แทนที่จะเส้นโค้งเรียบและพื้นผิวมีรูปหลายเหลี่ยมตาข่ายและ simplicial คอมเพล็กซ์ . มันถูกใช้ในการศึกษาของคอมพิวเตอร์กราฟิกและ combinatorics การ topological หัวข้อในพื้นที่นี้รวมถึง: เลซไม่ต่อเนื่องแคลคูลัสภายนอกไม่ต่อเนื่องทฤษฎีไม่ต่อเนื่องมอร์สcombinatorics ทอพอโลยีการวิเคราะห์สเปกตรัมรูปร่างบทคัดย่อความแตกต่างเรขาคณิตวิเคราะห์fractals

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เชิงเรขาคณิต " การเปลี่ยนเส้นทางที่นี่ เงื่อนไขเชิงเรขาคณิต และใช้ทฤษฎีของ Matroids อ้างถึงเมทรอยด์ง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในข้อความเก่า

รวบรวมวงกลมและที่หน่วยดิสก์กราฟเรขาคณิตและรูปทรงเรขาคณิตเชิง
ต่อเนื่องสาขาของเรขาคณิตเชิงสร้างสรรค์ที่ศึกษาคุณสมบัติและวิธีการของวัตถุทางเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่องคำถามส่วนใหญ่ในเรขาคณิตวิยุตเกี่ยวข้องจำกัด หรือชุดต่อเนื่องของวัตถุทางเรขาคณิตพื้นฐาน เช่น จุด เส้น ระนาบวงกลมทรงกลม , รูปหลายเหลี่ยม , และอื่น ๆ เรื่องการเน้นคุณสมบัติของวัตถุเหล่านี้ เช่น วิธีที่พวกเขามาอีกแบบหนึ่ง หรือวิธีที่พวกเขาอาจจะถูกจัดเรียงเพื่อให้ครอบคลุมวัตถุขนาดใหญ่ .

เรขาคณิตวิยุตได้ทับซ้อนกันขนาดใหญ่ที่มีรูปทรงเรขาคณิตนูนเรขาคณิตเชิงคำนวณ และจะเกี่ยวข้องกับวิชาเช่นวิธีเรขาคณิต การเพิ่มประสิทธิภาพดิจิตอล , เรขาคณิต , เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์โดยสิ้นเชิงเรขาคณิตกราฟทฤษฎี toric เรขาคณิต และเชิงทอพอโลยี

เนื้อหา [ ซ่อน ]
1
2 ในหัวข้อประวัติศาสตร์โดยสิ้นเชิงเรขาคณิตรูปหลายเหลี่ยมและ polyhedra
๑
2.2 packingsปู และ tilings
2.3 โครงสร้างความแข็งแกร่งและความยืดหยุ่นในการวางโครงสร้าง

2.4 2.5 2.6 กราฟ Matroids

2.7 simplicial เชิงซ้อนทฤษฎีเรขาคณิตทอพอโลยีคณิตศาสตร์เชิงการจัด

2.8 2.9 แลตทิซและกลุ่มไม่ต่อเนื่อง

2.11 ต่อเนื่อง 2.10 ดิจิตอลเรขาคณิตเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
3
4
5 ดูหมายเหตุอ้างอิงประวัติศาสตร์ [ แก้ไข ]

และถึงแม้ว่า polyhedra เทสเซลเลชั่นจึงได้ศึกษาเป็นเวลาหลายปี โดยคน เช่น เคปเลอร์ และโคชี เรขาคณิตวิยุตสมัยใหม่มีต้นกำเนิดในศตวรรษที่ 19 สาย หัวข้อ : ต้นศึกษาความหนาแน่นของ packings โดย thue การฉายภาพแบบวงกลม , และโดย reye Steinitz , เรขาคณิตของตัวเลขโดยมินโควสกี้ และแผนที่ colourings โดย Tait , heawood และ hadwiger

L . kgm ó SZL fejes T ó th Hs.m. Coxeter และพอล แอร์ดิช วางรากฐานของเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

หัวข้อโดยสิ้นเชิงเรขาคณิต [ แก้ไข ]
polyhedra และรูปหลายเหลี่ยม [ แก้ไข ]
หลัก บทความ : ทรงหลายหน้าปรกติ และพอลิโทป
เป็นพอลิโทปเป็นวัตถุรูปทรงเรขาคณิตกับด้านข้างแบน ซึ่งมีอยู่ทั่วไปในหมายเลขใด ๆของมิติ รูปหลายเหลี่ยมเป็นพอลิโทปใน 2 มิติเป็นทรงหลายหน้าในสามมิติและในมิติที่สูงขึ้น ( เช่น 4-polytope ใน 4 มิติ ) บางทฤษฎีเพิ่มเติมลงความเห็นความคิดที่จะรวมวัตถุ เช่น ความรูปหลายเหลี่ยม ( apeirotopes และเทสเซลเลชั่น ) และรูปหลายเหลี่ยมนามธรรม

ต่อไปนี้คือบางส่วนของด้านของรูปหลายเหลี่ยมเรียนเรขาคณิตวิยุต :



ehrhart ตาข่ายรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีคณิตศาสตร์เชิงการจัดพีชคณิตทฤษฎีบทของ

เลือกเฮิร์ชเดา
packings , ปู และ tilings [ แก้ไข ]
หลัก บทความ : วงกลมและบรรจุ tessellation
packings , ปู และ tilings เป็นวิธีทั้งหมดของการจัดเรียงวัตถุชุด ( ปกติวงกลมทรงกลม หรือกระเบื้อง ) ในทางปกติบนพื้นผิวหรือมากมาย

ทรงกลมบรรจุเป็นจัดเรียงของทรงกลมไม่ซ้อนทับกัน ภายในประกอบด้วยพื้นที่ทรงกลมถือว่ามักจะทั้งหมดที่ขนาดและพื้นที่มักจะใช้สามมิติอวกาศ อย่างไรก็ตาม ทรงกลมบรรจุปัญหาสามารถสรุปการพิจารณาทรงกลม ไม่เท่ากัน n-dimensional ใช้พื้นที่ ( ปัญหาที่กลายเป็นวงกลมบรรจุใน 2 มิติหรือ hypersphere บรรจุในมิติที่สูงขึ้น ) หรือจะไม่ใช้เป็นค่า

เช่นพื้นที่เป็นเครื่องเรือนของพื้นผิวแบนกระเบื้องของระนาบโดยใช้หนึ่งหรือมากกว่ารูปทรงเรขาคณิตที่เรียกว่าไพ่ ไม่ทับซ้อนและไม่มีช่องว่าง ในทางคณิตศาสตร์ เทสเซลเลชั่นสามารถทั่วไปสู่มิติที่สูงขึ้น

หัวข้อในพื้นที่นี้รวมถึง :



วง packings ทรงกลมบรรจุเคปเลอร์เดา


กราฟเป็นช่วง ๆ tilings คว ซ คริสตัลธาตุ ( เรขาคณิต )

กติกาจัดสรรจำกัดโครงสร้างความแข็งแกร่งและความยืดหยุ่น [ แก้ไข ]
บทความหลัก : โครงสร้างแข็ง

วาดเป็นกราฟแท่งที่เชื่อมต่อ โดยหมุนบานพับ วงจรกราฟ C4 วาดเป็นตารางสามารถเอียงไปตามแรง ฟ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้นมันเป็นกราฟที่ยืดหยุ่น K3 , วาดเป็นสามเหลี่ยม ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยการบังคับใด ๆที่ใช้มัน ดังนั้นมันคือกราฟ
แข็งความแข็งแกร่งของโครงสร้างเป็นทฤษฎีเพื่อใช้ความยืดหยุ่นของร่างกายที่แข็งขึ้นโดยวงเชื่อมต่อกันด้วยการเชื่อมโยงที่ยืดหยุ่นหรือบานพับ

หัวข้อในพื้นที่นี้รวมถึง :



ยืดหยุ่น Cauchy ทฤษฎีบท polyhedra อุบัติการณ์โครงสร้าง [ แก้ไข ]


บทความหลัก : โครงสร้างการเจ็ดจุดเจ็ดองค์ประกอบของเส้นใน ฟาโน เครื่องบิน ตัวอย่างของการเกิดโครงสร้าง .