Where V(r) is the potential energy

Where V(r) is the potential energy of the system, and 1i−=.
(c) Both ψ and ∇ψ must be finite, continuous, and single-valued for all values of r and t.
(d) If ψ* is the conjugate of ψ, then, ψ*ψdr3 represents the probability that the particle will be found in the volume element dr3. Thus,
*3v1drΨΨ=∫ (4.12)
Equation (4.12) implies that the probability of finding a particle over the entire space is equal to unity.
(e) The expectation value of a system variable such as momentum p and position r can be calculated from
the mathematical operator
*3drΨΨ=∫αα (4.13)
To deal with electrons in the crystalline solids, the time-independent Schrödinger equation is used to solve the electron wave functions and energy states in the crystalline solids. If the electron in the crystal under consideration has a fixed total energy E, then the quantum mechanical formulation of the problem can be greatly simplified. Using Eq.(4.13) the expectation value of energy is equal to a constant E, and the right hand side of Eq.(4.11) becomes
iEt∂=∂−hψψ (4.14)
Using separation of variable method, the time- dependent wave functions ψ(r,t) given in Eq.(4.11) can be expressed in term of the product of time varying phase factor and the spatial dependent wave functions φ(r) as /iEte−h
(4.15) /(,)()iEtrtre−=hψφ
Now, substituting Eqs.(4.14) and (4.15) into Eq.(4.11), one obtains
22()()()()2rVrrErm∇+=−⎛⎞⎜⎟⎝⎠hφφ (4.16)
Equation (4.16) is called the time-independent Schrödinger equation, and φ(r) is only a function of space coordinate, r. This time-independent Schrödinger equation is the basis for solving the one-electron energy band theory and related problems in the crystalline materials.
4.3. THE BLOCH–FLOQUET THEOREM
The Bloch-Floquet theorem states that the most generalized solution for a one-electron time-independent Schrödinger equation in a periodic crystal lattice is given by
()()ikrkkrureφ⋅= (4.17)
Where uk(r) is the Bloch function, which has the same spatial periodicity of the crystal potential, and k (=2π/λ) is the wave vector of electron. The one-electron time-independent Schrödinger equation for which φk(r) is a solution is given by Eq.(4.16) and can be rewritten as
()()()()222kkkrVrrErmφφφ⎛⎞−∇+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠h (4.18)
Where V(r) is the periodic crystal potential, which arises from the presence of ions at their regular lattice sites, and has the periodicity of the crystal lattice given by
V(r) = V(r + jRuur) (4.19)
Note that jRuur is the translational vector in the direct lattice defined by Eq. (1.3). To prove the Bloch theorem, it is necessary to consider the symmetry operation, which translates an eigenfunction in a periodic crystal lattice via the translational vector jRur. This translational operation can be expressed by
Tj f (r) = f (r + jRur) (4.20)
The periodicity of a crystal lattice can be verified from the fact that f(r) is invariant under the symmetry operations of Tj. Since the translational operator Tj commutes with the Hamiltonian H, it follows that
jkjTHHT φφ= (4.21)
Since φk is an eigenfunction of Tj, we may write
()()()jkjjkTrrRrκφφσφ=+=uur (4.22)
Where σj is a phase factor and an eigenvalue of Tj. The phase factor σj can be expressed by
jikRje⋅=ruurσ (4.23)
Whereis the wave vector of electrons, which can be a complex number in a periodic crystal. If one performs two successive translational operations (i.e., TkrjTi) on the wave function φk, one obtains from Eqs. (4.22) and (4.23) the following relationship
()()ijikRRjikjikkTTTer⋅+==φσφφ (4.24)
From Eq. (4.17), the Bloch function uk(r) can be written as
()()ikrkurerφ−⋅= (4.25)
Now solving Eqs. (4.22), (4.24), and (4.25), one obtains
()()()ikrjkkjjkTururRTerφ−⋅⎡⎤=+=⎣⎦
()()jikrRjkeTr ()()jjikrRikRkeeφ−⋅+⋅=
()()ikrkkeruφ−⋅== (4.26)
Thus, from the symmetry operations given by Eq. (4.26) one obtains
uk (r + Rj) = uk (r) (4.27)
Which shows that the Bloch function uk(r) has indeed the same periodicity in space as the crystal potential V(r). Therefore, the general solution of Eq. (4.18) is given by Eq. (4.17). From Eq. (4.17), it is noted that the electron wave function in a periodic crystal lattice is a plane wave modulated by the Bloch function. The Bloch function uk(r) is invariant under translational operation. It should be pointed out here that the exact shape of uk(r) depends on the electron energy Ek and the crystal potential V(r) of a crystalline solid. Thus, the Bloch theorem described in this section can be applied to solve the electron wave functions and energy band structures (i.e., Ek versus k relation) for the crystalline solids with periodic potential.
4.4. THE KRONIG–PENNEY MODEL
In this section, the one-electron Schrödinger equation is used to solve the electron wave functions and energy states for a one-dimensional (1-D) periodic lattice. The periodic potential V(x) for the 1-D lattice is shown in Figure 4.1a. The Kronig-Penney model shown in figure 4.1b is used to replace the periodic potential of a 1-D crystal lattice with a delta function at each lattice site. In this model, it is assumed that V(x) is zero everywhere except at the
atomic site, where it approaches infinity in such a way that the integral of V(x)dx over the potential barrier remains finite and equal to a constant C. Inside the potential barrier, the electron wave functions must satisfy the one-electron Schrödinger equation, which is given by
()22220kkdEVxmdx⎛⎞+−⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎜⎟⎝⎠hφφ (4.28)
Where V(x) is the periodic potential with period of a. According to the Bloch- Floquet theorem discussed above, the general solution of Eq. (4.28) is given by
()()ikxkkxuxe⋅=rrφ (4.29)
Note that between the potential barriers (i.e., 0 < x < a), V(x) = 0, and Eq. (4.28) becomes
2220kokkxφφ∂+=∂ (4.30)
Where
222omEk=h (4.31)
is the wave vector of free electrons. Since the solution of electron wave functions given by Eq. (4.29) is valid everywhere in the periodic lattice, one can substitute Eq. (4.29) into Eq. (4.30) to obtain an equation that contains only the Bloch function uk(x), namely,
()222220kkokduduikkkudxdx++−= (4.32)
This is a second order differential equation with constant coefficients, and the roots of its characteristic equation are equal to –i(k ± ko). Thus, the general solution of Eq. (4.32) for uk(x) can be expressed as
(4.33) ()(cossinkoikxuxeAkxBkx−⋅=+
Where A and B are constants, which can be determined from the periodic boundary conditions. The first boundary condition can be obtained by noting the fact that both uk(x) and φk(x) are invariant under translational operation. Thus, one can write
(4.34) 0()()kkuu=
Where a is the period of the crystal potential (i.e.,V(x)=V(x+a)). To calculate the change in the slope of electron wave functions across the infinitely thin potential barrier at the atomic site, one can integrate Eq. (4.28) from x = 0–
on the left-hand side of the potential barrier to x = 0+ on the right-hand side of the potential barrier at x = 0. This yields
()2220020kkmEVxdxxφφ+−⎧⎫∂⎪⎛⎞+−⎡⎤⎨⎜⎟⎣⎦∂⎝⎠⎪⎪⎩⎭ =∫h (4.35)
Or
()()()2200kkkmC+−−=⎛⎞′′⎜⎟⎝⎠φφφh (4.36)
Equation (4.36) is obtained using the fact that as x→ 0 inside the potential barrier, integration of 0Edx=∫over the barrier width is equal to zero, and the change in the slope of electron wave functions (φk’=dφk/dx) across the potential barrier is given by Eq. (4.36). From Eq. (4.29) and Eq. (4.36), one obtains the derivative of uk as
()()()2200kkkmCuuu+−⎛⎞′′−=⎜⎟⎝⎠h (4.37)
Now, replacing 0+ = 0 and 0– = a in Eq. (4.37), the second boundary condition for uk(x) is given by
()()()220kkkmCuuau⎛⎞′′=+⎜⎟⎝⎠h (4.38)
Note that the first derivative of uk(x) is identical on the left-hand side of each potential barrier shown in figure 4.1b. Next, substituting the two boundary conditions given by Eqs. (4.34) and (4.38) into Eq. (4.33), one obtains two simultaneous equations for A and B:
()()cos1sin0ikaikaoAekaBeka−− −+ (4.39)
()221cossinikaikaooomCAikekaekka−−⎡⎤⎛⎞−−+−⎜⎟⎢⎥(sincos0ikaooooBkeikkakka−⎡ ++−⎣ (4.40)
In order to have a nontrivial solution for Eqs. (4.39) and (4.40) the determinant of the coefficients of A and B in both equations must be set equal to zero, which yields
()()21cos1sin02cossinsincosikaikaooikaikaikaoooooooekaekamCikekaekkakeikkakka−−−−−⎡⎤−⎣⎦=⎛⎞⎡⎤−−+−+−⎜⎟⎣⎦⎝⎠h (4.41)
Solving Eq.(4.41) one obtains
cossincosooPkakakaka⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠ (4.42)
Where P = mCa/ħ2, and C is defined by
(4.43) 0()00()limVxdxCVxdx+−∞→→=∫
Equation (4.42) has a real solution for the electron wave vector krif the value of the right-hand side of Eq. (4.42) lies between –1 and +1. Figure 4.2 shows a plot of the right-hand side term of Eq. (4.42) versus koa for a fixed value of P. It is noted that the solution of Eq. (4.42) consists of a series of alternate allowed and forbidden regions with the forbidden regions becoming narrower as the value of koa becomes larger. The physical meanings of Figure 4.2 are discussed as follows.
It is noted that the magnitude of P is closely related to the binding energy of electrons in the crystal. For example, if P is zero, then one has the free-electron case, and the energy of electrons is a continuous function of wave vector k, as is given by Eq. (4.31). On the other hand, if P approaches infinity, then the energy of electrons becomes independent of k. This corresponds to the case of an isolated atom. In this case, the values of electron energy are determined by the condition that sin koa in Eq. (4.42) must set equal to zero as P approaches infinity, which implies koa = nπ. Thus, the electron energy levels are quantized for this case, and is given by
22222222onoknEmmaπ==hh (4.44)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พลังงานศักย์ของระบบ และ 1i− V(r) =(ค) ψและ∇ψต้องถูกจำกัด ต่อเนื่อง และ ค่าเดี่ยวสำหรับทุกค่าของ r และ t(d) ถ้าψ * ค่าสังยุคของψ แล้ว ψ * ψdr3 แสดงถึงความเป็นไปได้ที่จะพบอนุภาค dr3 องค์ประกอบเสียง ดังนั้น* 3v1drΨΨ =∫ (4.12)สมการ (4.12) หมายความว่าความน่าเป็นการค้นหาอนุภาคที่ผ่านพื้นที่ทั้งหมดเท่ากับความสามัคคี(e สามารถคำนวณได้จากค่าความคาดหวัง)ของตัวแปรระบบเช่นโมเมนตัม p และตำแหน่ง rตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์* 3drΨΨ <> =∫αα (4.13)จัดการกับอิเล็กตรอนในของแข็งผลึก สมการวินเวลาอิสระจะใช้ฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนและพลังงานอเมริกาในของแข็งผลึก ถ้าอิเล็กตรอนในระหว่างการพิจารณาได้ถาวรรวมพลังงาน E แล้วกำหนดกลควอนตัมของปัญหาสามารถทำได้ง่ายขึ้นมาก ใช้ Eq.(4.13) ค่าความคาดหวังของพลังงาน เท่ากับ E คง และด้านขวามือของ Eq.(4.11)iEt∂ = ∂−hψψ (4.14)ใช้ตัวแปรวิธีการแบ่งแยก ψ(r,t) ฟังก์ชันคลื่นขึ้นอยู่กับเวลาที่กำหนดใน Eq.(4.11) สามารถแสดงในเทอมของผลคูณของระยะเวลาแตกต่างกันปัจจัยและ φ(r) ฟังก์ชันคลื่นขึ้นอยู่กับพื้นที่เป็น /iEte−hiEtrtre− () (/,) (4.15) = hψφตอนนี้ แทน Eqs (4.14) และ (4.15) เป็น Eq.(4.11) หนึ่งเหตุผล22()()() () 2rVrrErm∇ −⎛⎞⎜⎟⎝⎠hφφ += (4.16)สมการ (4.16) เรียกว่าสมการวินเวลาอิสระ และ φ(r) เป็นฟังก์ชันเฉพาะของพื้นที่พิกัด r สมการนี้วินเวลาอิสระเป็นพื้นฐานสำหรับการแก้ทฤษฎีแถบพลังงานของอิเล็กตรอนหนึ่งและปัญหาที่เกี่ยวข้องในวัสดุผลึก4.3 ทฤษฎีบท.เม็ดเลือดขาว-FLOQUETทฤษฎีบทของเม็ดเลือดขาว Floquet ระบุว่า การแก้สมการวินเวลาอิสระหนึ่งอิเล็กตรอนในโครงตาข่ายประกอบคริสตัลงวดเมจแบบทั่วไปมากที่สุดถูกกำหนดโดยikrkkrureφ⋅ ()() = (4.17)ที่ uk(r) เป็นการทำงานเม็ดเลือดขาว ซึ่งมีประจำงวดปริภูมิเดียวกันศักยภาพคริสตัล และ k (= 2π/λ) คือ เวกเตอร์คลื่นของอิเล็กตรอน สมการเวลาอิสระหนึ่งอิเล็กตรอนวิน φk(r) ซึ่งเป็นการแก้ไขปัญหาถูกกำหนด โดย Eq.(4.16) และสามารถจิตเป็น()()()() 222kkkrVrrErmφφφ⎛⎞−∇ += ⎜⎟⎜⎟⎝⎠h (4.18)V(r) เป็น คริสตัลเป็นครั้งคราวอาจเกิดขึ้น ซึ่งเกิดขึ้นจากสถานะของประจุที่ไซต์โครงตาข่ายประกอบทั่วไปของพวกเขา และประจำงวดของโครงตาข่ายประกอบคริสตัลให้โดยV(r) = V (r + jRuur) (4.19)หมายเหตุ jRuur ที่เป็นเวกเตอร์ translational ในโครงตาข่ายประกอบตรงที่กำหนด โดย Eq. (1.3) การพิสูจน์ทฤษฎีบทของเม็ดเลือดขาว จำเป็นต้องพิจารณาสมมาตรการ ซึ่งแปลเป็น eigenfunction ในโครงตาข่ายผลึกประกอบเป็นครั้งคราวผ่าน jRur translational เวกเตอร์ การดำเนินการนี้ translational อาจแสดงโดยบริษัททีเจบริจด์ f (r) = f (r + jRur) (4.20)ประจำงวดของโครงตาข่ายประกอบคริสตัลสามารถตรวจสอบจากข้อเท็จจริงว่า f(r) เป็นภาษาภายใต้การดำเนินการสมมาตรของ Tj ตั้งแต่ดำเนิน translational Tj commutes กับ Hamiltonian H เป็นไปตามที่jkjTHHT φφ = (4.21)เนื่องจาก φk เป็น eigenfunction ของ Tj เราอาจเขียนjkjjkTrrRrκφφσφ ()()() =+= uur (4.22)ที่ σj เป็นตัวระยะและการ eigenvalue ของ Tj Σj คูณระยะสามารถแสดงโดยjikRje⋅ = ruurσ (4.23)Whereis เวกเตอร์คลื่นของอิเล็กตรอน ซึ่งอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนในคริสตัลเป็นครั้งคราว ถ้าหนึ่งดำเนินสองต่อ translational (เช่น TkrjTi) ใน φk ฟังก์ชันคลื่น หนึ่งได้รับจาก Eqs (4.22) และ (4.23) ความสัมพันธ์ต่อไปนี้()() ijikRRjikjikkTTTer⋅ += =φσφφ (4.24)จาก Eq. (4.17), uk(r) ฟังก์ชันเม็ดเลือดขาวสามารถเขียนเป็นikrkurerφ−⋅ ()() = (4.25)ตอนนี้ แก้ Eqs (4.22), (4.24), (4.25), หนึ่งเหตุผล()()() ikrjkkjjkTururRTerφ−⋅⎡⎤ =+=⎣⎦()() jikrRjkeTr ()() jjikrRikRkeeφ−⋅ + ⋅ =ikrkkeruφ−⋅ ()()== (4.26)ดังนั้น จากการดำเนินงานของสมมาตรโดย Eq. (4.26) หนึ่งเหตุผลสหราชอาณาจักร (r + Rj) = uk (r) (4.27)ซึ่งแสดงว่า uk(r) ฟังก์ชันเม็ดเลือดขาวมีแน่นอนประจำงวดเดียวกันในพื้นที่ที่เป็นศักยภาพคริสตัล V(r) ดังนั้น การแก้ปัญหาทั่วไปของ Eq. (4.18) ถูกกำหนด โดย Eq. (4.17) จาก Eq. (4.17), มันจะกล่าวว่า ฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนในโครงตาข่ายประกอบคริสตัลงวดสันทัด โดยเม็ดเลือดขาวฟังก์ชันคลื่นระนาบ ภาษาภายใต้การดำเนินงาน translational uk(r) ฟังก์ชันเม็ดเลือดขาวได้ มันควรจะชี้ให้เห็นนี่ว่า ทรง uk(r) แน่นอนขึ้นอยู่กับพลังงานอิเล็กตรอน Ek และศักยภาพคริสตัล V(r) ของแข็งผลึก ดังนั้น ทฤษฎีบทของเม็ดเลือดขาวที่อธิบายไว้ในส่วนนี้สามารถใช้กับฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนและพลังงานวงโครงสร้าง (เช่น เอกเมื่อเทียบกับความสัมพันธ์ k) สำหรับของแข็งที่เป็นผลึกมีศักยภาพเป็นครั้งคราว4.4 รุ่น KRONIG-PENNEYในส่วนนี้ ใช้สมการวินอิเล็กตรอนหนึ่งแก้ฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนและพลังงานสถานะ one-dimensional (1-D) เป็นครั้งคราวโครงตาข่ายประกอบ V(x) เป็นไปได้เป็นครั้งคราวสำหรับโครงตาข่ายประกอบ 1 D จะแสดงอยู่ในรูป 4.1a รุ่น Kronig-Penney ที่แสดงในรูปที่ 4.1b ใช้แทนศักยภาพประจำงวดของคริสตัล 1 D โครงตาข่ายประกอบ ด้วยฟังก์ชันเดลตาในแต่ละไซต์โครงตาข่ายประกอบ ในรุ่นนี้ มีสมมติว่า V(x) มีทุกศูนย์ยกเว้นการเว็บไซต์อะตอม ที่มันแจ้งว่ายในลักษณะทฤษฎีบูรณาการของ V (x) dx ผ่านสิ่งกีดขวางอาจยังคงมีจำกัด และเท่ากับคง C. ภายในอุปสรรคเป็นไปได้ ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนต้องตอบสนองหนึ่งอิเล็กตรอนวินสมการ ซึ่งถูกกำหนดโดย()22220kkdEVxmdx⎛⎞+−⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎜⎟⎝⎠hφφ (4.28)Where V(x) is the periodic potential with period of a. According to the Bloch- Floquet theorem discussed above, the general solution of Eq. (4.28) is given by()()ikxkkxuxe⋅=rrφ (4.29)Note that between the potential barriers (i.e., 0 < x < a), V(x) = 0, and Eq. (4.28) becomes2220kokkxφφ∂+=∂ (4.30)Where222omEk=h (4.31)is the wave vector of free electrons. Since the solution of electron wave functions given by Eq. (4.29) is valid everywhere in the periodic lattice, one can substitute Eq. (4.29) into Eq. (4.30) to obtain an equation that contains only the Bloch function uk(x), namely,()222220kkokduduikkkudxdx++−= (4.32)This is a second order differential equation with constant coefficients, and the roots of its characteristic equation are equal to –i(k ± ko). Thus, the general solution of Eq. (4.32) for uk(x) can be expressed as(4.33) ()(cossinkoikxuxeAkxBkx−⋅=+Where A and B are constants, which can be determined from the periodic boundary conditions. The first boundary condition can be obtained by noting the fact that both uk(x) and φk(x) are invariant under translational operation. Thus, one can write(4.34) 0()()kkuu=Where a is the period of the crystal potential (i.e.,V(x)=V(x+a)). To calculate the change in the slope of electron wave functions across the infinitely thin potential barrier at the atomic site, one can integrate Eq. (4.28) from x = 0–on the left-hand side of the potential barrier to x = 0+ on the right-hand side of the potential barrier at x = 0. This yields()2220020kkmEVxdxxφφ+−⎧⎫∂⎪⎛⎞+−⎡⎤⎨⎜⎟⎣⎦∂⎝⎠⎪⎪⎩⎭ =∫h (4.35)Or()()()2200kkkmC+−−=⎛⎞′′⎜⎟⎝⎠φφφh (4.36)Equation (4.36) is obtained using the fact that as x→ 0 inside the potential barrier, integration of 0Edx=∫over the barrier width is equal to zero, and the change in the slope of electron wave functions (φk’=dφk/dx) across the potential barrier is given by Eq. (4.36). From Eq. (4.29) and Eq. (4.36), one obtains the derivative of uk as()()()2200kkkmCuuu+−⎛⎞′′−=⎜⎟⎝⎠h (4.37)Now, replacing 0+ = 0 and 0– = a in Eq. (4.37), the second boundary condition for uk(x) is given by()()()220kkkmCuuau⎛⎞′′=+⎜⎟⎝⎠h (4.38)Note that the first derivative of uk(x) is identical on the left-hand side of each potential barrier shown in figure 4.1b. Next, substituting the two boundary conditions given by Eqs. (4.34) and (4.38) into Eq. (4.33), one obtains two simultaneous equations for A and B:()()cos1sin0ikaikaoAekaBeka−− −+ (4.39)()221cossinikaikaooomCAikekaekka−−⎡⎤⎛⎞−−+−⎜⎟⎢⎥(sincos0ikaooooBkeikkakka−⎡ ++−⎣ (4.40)In order to have a nontrivial solution for Eqs. (4.39) and (4.40) the determinant of the coefficients of A and B in both equations must be set equal to zero, which yields()()21cos1sin02cossinsincosikaikaooikaikaikaoooooooekaekamCikekaekkakeikkakka−−−−−⎡⎤−⎣⎦=⎛⎞⎡⎤−−+−+−⎜⎟⎣⎦⎝⎠h (4.41)Solving Eq.(4.41) one obtainscossincosooPkakakaka⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠ (4.42)Where P = mCa/ħ2, and C is defined by(4.43) 0()00()limVxdxCVxdx+−∞→→=∫Equation (4.42) has a real solution for the electron wave vector krif the value of the right-hand side of Eq. (4.42) lies between –1 and +1. Figure 4.2 shows a plot of the right-hand side term of Eq. (4.42) versus koa for a fixed value of P. It is noted that the solution of Eq. (4.42) consists of a series of alternate allowed and forbidden regions with the forbidden regions becoming narrower as the value of koa becomes larger. The physical meanings of Figure 4.2 are discussed as follows.It is noted that the magnitude of P is closely related to the binding energy of electrons in the crystal. For example, if P is zero, then one has the free-electron case, and the energy of electrons is a continuous function of wave vector k, as is given by Eq. (4.31). On the other hand, if P approaches infinity, then the energy of electrons becomes independent of k. This corresponds to the case of an isolated atom. In this case, the values of electron energy are determined by the condition that sin koa in Eq. (4.42) must set equal to zero as P approaches infinity, which implies koa = nπ. Thus, the electron energy levels are quantized for this case, and is given by22222222onoknEmmaπ==hh (4.44)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ที่ไหน V (R) เป็นพลังงานที่มีศักยภาพของระบบและ 1i- =.
(ค) ทั้งสองψและ∇ψจะต้อง จำกัด อย่างต่อเนื่องและ valued เดียวสำหรับทุกค่าของ R และ t.
(ง) ถ้าψ * เป็นคอนจูเกตของψแล้วψ * ψdr3แสดงให้เห็นถึงความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะพบได้ในปริมาณธาตุ DR3 ดังนั้น
* 3v1drΨΨ = ∫ (4.12)
สมการ (4.12) แสดงให้เห็นว่าน่าจะเป็นของการหาอนุภาคมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดจะมีค่าเท่ากับความสามัคคี.
(จ) ค่าความคาดหวังของตัวแปรระบบเช่นโมเมนตัมพีและตำแหน่ง r สามารถคำนวณได้
จากผู้ประกอบการทางคณิตศาสตร์
* 3drΨΨ <> = ∫αα (4.13)
เพื่อจัดการกับอิเล็กตรอนในของแข็งผลึกสมการSchrödingerเวลาอิสระที่ใช้ในการแก้ปัญหาการทำงานของคลื่นอิเล็กตรอนและรัฐพลังงานในของแข็งผลึก หากอิเล็กตรอนในผลึกภายใต้การพิจารณาที่มีพลังงานทั้งหมดคง E แล้วการกำหนดกลควอนตัมของปัญหาได้ง่ายมาก โดยใช้สม. (4.13) มูลค่าความคาดหวังของพลังงานเท่ากับ E คงที่และด้านขวามือของสม. (4.11)
จะกลายเป็นiEt∂ = ∂-hψψ (4.14)
การใช้วิธีการแยกตัวแปรเวลาขึ้นอยู่กับฟังก์ชั่นคลื่นψ (R, t) ได้รับในสมการ (4.11) จะแสดงในรูปของผลิตภัณฑ์ของเวลาที่แตกต่างกันปัจจัยขั้นตอนและฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับคลื่นอวกาศφ (R) เป็น / iEte ชั่วโมง
(4.15) / () () iEtrtre- =
hψφตอนนี้แทนEQS. ( . 4.14) และ (4.15) ลงในสมการ (4.11) คนหนึ่งได้
22 () () () () 2rVrrErm∇ + = - ⎛⎞⎜⎟⎝⎠hφφ (4.16)
สมการ (4.16) เรียกว่าเวลาที่เป็นอิสระSchrödinger สมการและφ (R) เป็นเพียงการทำงานของพื้นที่ประสานงานวิจัย นี้สมการSchrödingerเวลาที่เป็นอิสระเป็นพื้นฐานสำหรับการแก้ทฤษฎีแถบพลังงานหนึ่งอิเล็กตรอนและปัญหาที่เกี่ยวข้องในวัสดุผลึก.
4.3 โบลช-Floquet
ทฤษฎีบททฤษฎีบทBloch-Floquet ระบุว่าวิธีการแก้ปัญหาทั่วไปมากที่สุดเป็นเวลาอิสระหนึ่งอิเล็กตรอนสมการSchrödingerในผลึกตาข่ายเป็นระยะ ๆ จะได้รับจาก
() () ikrkkrureφ⋅ = (4.17)
ในกรณีที่สหราชอาณาจักร (R) เป็น ฟังก์ชั่นโบลชซึ่งมีระยะเวลาเดียวกันของเชิงพื้นที่ที่มีศักยภาพคริสตัลและ k (= 2π / λ) เป็นเวกเตอร์คลื่นของอิเล็กตรอน เวลาที่เป็นอิสระหนึ่งอิเล็กตรอนSchrödingerสมการที่φk (R) เป็นวิธีการแก้ปัญหาจะได้รับโดยสม. (4.16) และสามารถนำมาเขียนใหม่เป็น
() () () () 222kkkrVrrErmφφφ⎛⎞-∇ + = ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠h (4.18)
ในกรณีที่ V (R) เป็นคริสตัลที่อาจเกิดขึ้นเป็นระยะ ๆ ซึ่งเกิดขึ้นจากการปรากฏตัวของไอออนที่เว็บไซต์ตาข่ายปกติของพวกเขาและมีระยะเวลาของผลึกตาข่ายที่ได้รับจาก
V (R) = V (R + jRuur ) (4.19)
โปรดทราบว่า jRuur เป็นเวกเตอร์แปลในตาข่ายโดยตรงที่กำหนดโดยสมการ (1.3) เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทโบลชก็เป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องพิจารณาดำเนินการสมมาตรซึ่งแปล eigenfunction ในผลึกตาข่ายระยะทางเวกเตอร์แปล jRur การดำเนินการนี้แปลสามารถแสดงโดย
Tj f (R) = f (R + jRur) (4.20)
ระยะเวลาของผลึกตาข่ายให้สามารถตรวจสอบได้จากข้อเท็จจริงที่ว่า f (R) เป็นค่าคงที่อยู่ภายใต้การดำเนินงานของสมมาตรของ Tj เนื่องจากผู้ประกอบการแปล Tj commutes กับมิลเอชมันตามที่
jkjTHHT φφ = (4.21)
ตั้งแต่φkเป็น eigenfunction ของ Tj เราอาจเขียน
() () () jkjjkTrrRrκφφσφ + = = uur (4.22)
ในกรณีที่σjเป็นขั้นตอน ปัจจัยและค่าเฉพาะของ Tj ปัจจัยที่เฟสσjสามารถแสดงโดยjikRje⋅ = ruurσ (4.23) Whereis เวกเตอร์คลื่นของอิเล็กตรอนซึ่งสามารถจำนวนเชิงซ้อนในระยะคริสตัล หากหนึ่งในการดำเนินการทั้งสองดำเนินการแปลเนื่อง (เช่น TkrjTi) ต่อการทำงานของคลื่นφkหนึ่งได้รับจาก EQS (4.22) และ (4.23) ความสัมพันธ์ต่อไปนี้() () ijikRRjikjikkTTTer⋅ + == φσφφ (4.24) จากสมการ (4.17), ฟังก์ชั่นโบลชสหราชอาณาจักร (R) สามารถเขียนเป็น() () ikrkurerφ-⋅ = (4.25) ตอนนี้แก้ EQS (4.22) (4.24) และ (4.25) คนหนึ่งได้() () () ikrjkkjjkTururRTerφ-⋅⎡⎤ + = = ⎣⎦ () () jikrRjkeTr () () jjikrRikRkeeφ-⋅⋅ + = () () ikrkkeruφ-⋅ == (4.26) ดังนั้นจากการดำเนินงานสัดส่วนที่กำหนดโดยสมการ (4.26) คนหนึ่งได้uk (R + Rj) = สหราชอาณาจักร (R) (4.27) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นโบลชสหราชอาณาจักร (R) มีแน่นอนช่วงเดียวกันในพื้นที่ที่มีศักยภาพเป็นคริสตัล V (R) ดังนั้นการแก้ปัญหาทั่วไปของสมการ (4.18) จะได้รับจากสมการ (4.17) จากสมการ (4.17) เป็นที่สังเกตว่าฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนในผลึกตาข่ายธาตุเป็นคลื่นเครื่องบินปรับโดยฟังก์ชันโบลช ฟังก์ชั่นโบลชสหราชอาณาจักร (R) เป็นค่าคงที่ภายใต้การดำเนินการแปล มันควรจะชี้ออกจากที่นี่ว่ารูปร่างที่แน่นอนของสหราชอาณาจักร (R) ขึ้นอยู่กับพลังงานอิเล็กตรอน Ek และศักยภาพคริสตัล V (R) ของผลึกของแข็ง ดังนั้นทฤษฎีบทโบลชอธิบายในส่วนนี้สามารถนำมาใช้ในการแก้ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนและโครงสร้างแถบพลังงาน (เช่นความสัมพันธ์กับเอก k) สำหรับของแข็งผลึกที่มีศักยภาพในระยะ. 4.4 Kronig-PENNEY MODEL ในส่วนนี้หนึ่งอิเล็กตรอนSchrödingerสมการที่ใช้ในการแก้ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนและรัฐพลังงานสำหรับหนึ่งมิติ (1-D) เป็นระยะตาข่าย ที่มีศักยภาพเป็นระยะ V (x) สำหรับตาข่าย 1-D แสดงในรูปที่ 4.1a Kronig-Penney รูปแบบการแสดงในรูป 4.1B ถูกนำมาใช้เพื่อทดแทนที่มีศักยภาพระยะของ 1-D ผลึกตาข่ายกับฟังก์ชั่นของเดลต้าที่แต่ละเว็บไซต์ตาข่าย ในรูปแบบนี้มันจะสันนิษฐานว่า V (x) เป็นศูนย์ทุกที่ยกเว้นที่เว็บไซต์ของอะตอมที่มันเข้าใกล้อินฟินิตี้ในลักษณะที่สำคัญของวี(x) DX มากกว่าอุปสรรคที่อาจเกิดขึ้นยังคง จำกัด และเท่ากับค่าคงที่ C . ภายในอุปสรรคที่อาจเกิดขึ้นฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนจะต้องตอบสนองอย่างใดอย่างหนึ่งอิเล็กตรอนSchrödingerสมการที่จะได้รับจาก() 22220kkdEVxmdx⎛⎞ + -⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎜⎟⎝⎠hφφ (4.28) ในกรณีที่ V (x) คือ ศักยภาพระยะกับระยะเวลาของ ตามทฤษฎีบท Bloch- Floquet กล่าวข้างต้นการแก้ปัญหาทั่วไปของสมการ (4.28) จะได้รับจาก() () ikxkkxuxe⋅ = rrφ (4.29) โปรดทราบว่าระหว่างปัญหาและอุปสรรคที่อาจเกิดขึ้น (เช่น 0 <x <a) V (x) = 0 และสมการ (4.28) จะกลายเป็น∂ + = 2220kokkxφφ∂ (4.30) ในกรณีที่222omEk = h (4.31) เป็นเวกเตอร์คลื่นของอิเล็กตรอนอิสระ เนื่องจากการแก้ปัญหาของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนที่กำหนดโดยสม (4.29) มีผลบังคับใช้ทุกที่ในตาข่ายระยะหนึ่งสามารถใช้แทนสมการ (4.29) ลงในสมการ (4.30) เพื่อให้ได้สมการที่มีเฉพาะฟังก์ชั่นโบลชสหราชอาณาจักร (x) คือ() 222220kkokduduikkkudxdx ++ - = (4.32) นี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สองที่มีสัมประสิทธิ์คงที่และรากของสมการลักษณะของมันจะเท่ากับ - ฉัน (k ±เกาะ) ดังนั้นการแก้ปัญหาทั่วไปของสมการ (4.32) สำหรับสหราชอาณาจักร (x) สามารถแสดงเป็น(4.33) () (cossinkoikxuxeAkxBkx-⋅ + = ที่ไหน A และ B มีค่าคงที่ซึ่งสามารถได้รับการพิจารณาจากเงื่อนไขขอบเขตเป็นระยะ. สภาพเขตแดนแรกที่จะได้รับจากการสังเกต ความจริงที่ว่าทั้งสหราชอาณาจักร (x) และφk (x) มีค่าคงที่ภายใต้การดำเนินการแปล. ดังนั้นหนึ่งสามารถเขียน(4.34) 0 () () kkuu = ในกรณีที่เป็นช่วงเวลาของศักยภาพคริสตัล (เช่น V (x) = V (x + ก)). ในการคำนวณการเปลี่ยนแปลงในความชันของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนข้ามอุปสรรคที่อาจเกิดขึ้นบางเพียบที่เว็บไซต์อะตอมหนึ่งสามารถบูรณาการสม. (4.28) จาก x = 0- ทางด้านซ้ายมือของ อุปสรรคที่อาจเกิดกับ x = 0+ อยู่ทางด้านขวามือของอุปสรรคที่อาจเกิดขึ้นที่ x = 0 อัตราผลตอบแทนนี้() 2220020kkmEVxdxxφφ + + -⎧⎫∂⎪⎛⎞-⎡⎤⎨⎜⎟⎣⎦∂⎝⎠⎪⎪ ⎩⎭ = ∫h (4.35) หรือ() () () 2200kkkmC + - = ⎛⎞''⎜⎟⎝⎠φφφh (4.36) สมการ (4.36) จะได้ใช้ความจริงที่ว่าเป็น x → 0 ภายในอุปสรรคที่อาจเกิดขึ้น การรวมกลุ่มของ 0Edx = ∫overกว้างอุปสรรคจะมีค่าเท่ากับศูนย์และการเปลี่ยนแปลงในความชันของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอน (φk '= dφk / DX) ข้ามอุปสรรคที่อาจเกิดขึ้นได้จากสมการ (4.36) จากสมการ (4.29) และสมการ (4.36) คนหนึ่งได้อนุพันธ์ของสหราชอาณาจักรเป็น() () () 2200kkkmCuuu + -⎛⎞ '' - = ⎜⎟⎝⎠h (4.37) ตอนนี้เปลี่ยน 0+ = 0 และ 0- = ในสมการ (4.37) เงื่อนไขขอบเขตที่สองสำหรับสหราชอาณาจักร (x) จะได้รับจาก() () () 220kkkmCuuau⎛⎞ '' + = ⎜⎟⎝⎠h (4.38) โปรดสังเกตว่าอนุพันธ์แรกของสหราชอาณาจักร (x) เป็นเหมือนกัน ทางด้านซ้ายมือของแต่ละอุปสรรคที่อาจเกิดขึ้นแสดงในรูป 4.1B ถัดไปแทนทั้งสองเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดโดย EQS (4.34) และ (4.38) ลงในสมการ (4.33) คนหนึ่งได้สองสมการพร้อมกันสำหรับ A และ B: () () cos1sin0ikaikaoAekaBeka-- - + ++ - ⎣ (4.40) เพื่อให้มีการแก้ปัญหาขี้ปะติ๋วสำหรับ EQS (4.39) และ (4.40) ปัจจัยของค่าสัมประสิทธิ์ของ A และ B ในสมการทั้งสองจะต้องตั้งค่าเท่ากับศูนย์ซึ่ง (4.41) สมการแก้. (4.41) คนหนึ่งได้cossincosooPkakakaka⎛⎞ + = ⎜⎟⎝⎠ (4.42) ในกรณีที่ p = เอ็ม / H2, และ C จะถูกกำหนดโดย(4.43) (0) 00 () limVxdxCVxdx + -∞→→ = ∫สมการ(4.42) มีวิธีการแก้ปัญหาที่แท้จริงสำหรับคลื่นอิเล็กตรอนเวกเตอร์ krif ค่าของด้านขวามือของสมการ (4.42) อยู่ระหว่าง -1 และ 1 รูปที่ 4.2 แสดงให้เห็นว่าพล็อตของระยะทางด้านขวามือของสมการ (4.42) เมื่อเทียบกับไม้สักสำหรับค่าคงที่ของพีมันเป็นข้อสังเกตว่าการแก้ปัญหาของสม (4.42) ประกอบด้วยชุดของที่ได้รับอนุญาตและภูมิภาคอื่นที่ต้องห้ามกับภูมิภาคกลายเป็นสิ่งต้องห้ามแคบเป็นค่าของไม้สักจะกลายเป็นขนาดใหญ่ ความหมายทางกายภาพของรูปที่ 4.2 จะกล่าวถึงดังต่อไปนี้. มันเป็นข้อสังเกตว่าขนาดของ P จะต้องเกี่ยวข้องกับพลังงานยึดเหนี่ยวของอิเล็กตรอนในผลึก ตัวอย่างเช่นถ้า P เป็นศูนย์แล้วหนึ่งมีกรณีฟรีอิเล็กตรอนและพลังงานของอิเล็กตรอนเป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องของคลื่นเวกเตอร์ k เป็นที่ได้รับจากสมการ (4.31) ในทางตรงกันข้ามถ้า P แนวทางอินฟินิตี้แล้วพลังงานของอิเล็กตรอนกลายเป็นอิสระจาก k นี้สอดคล้องกับกรณีของอะตอมที่แยก ในกรณีนี้ค่าของพลังงานอิเล็กตรอนจะถูกกำหนดโดยเงื่อนไขที่ว่าบาปไม้สักในสมการ (4.42) จะต้องตั้งค่าเท่ากับศูนย์เป็นแนวทาง P อินฟินิตี้ซึ่งหมายถึงไม้สัก = nπ ดังนั้นระดับพลังงานของอิเล็กตรอนจะ quantized สำหรับกรณีนี้และจะได้รับจาก22222222onoknEmmaπ == hh (4.44)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่ V ( r ) คือ พลังงานศักย์ของระบบ และ 1i − = .
( C ) และทั้งψ∇ψต้องจำกัดอย่างต่อเนื่อง และมีมูลค่าสำหรับทุกเดียวค่า R และ T .
( D ) ถ้าψ * เป็นสังยุคของψแล้วψ * ψ dr3 แสดงความน่าจะเป็น ที่อนุภาคจะสามารถพบได้ในปริมาณธาตุ dr3 . ดังนั้น ,
* 3v1dr ΨΨ∫ ( = 4.12 )
สมการ ( 4 )12 ) แสดงถึงความน่าจะเป็นของการค้นหาอนุภาคมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดเท่ากับความสามัคคี .
( E ) และค่าของระบบตัวแปรเช่นตำแหน่งและโมเมนตัม p R สามารถคำนวณได้จากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

* ) 3dr ΨΨ < = ∫αα ( 4.13 )
เพื่อจัดการกับอิเล็กตรอนในของแข็ง ผลึกเวลาอิสระ สมการของชเรอดิงเงอร์ใช้แก้ฟังก์ชันคลื่นและรัฐพลังงานอิเล็กตรอนในของแข็งผลึก ถ้าอิเล็กตรอนในคริสตัลภายใต้การพิจารณามีคงที่รวมพลังงาน E แล้วควอนตัมเชิงกลกำหนดปัญหาได้ง่ายมาก . การใช้อีคิว ( 4.13 ) และค่าของพลังงาน < E > เท่ากับค่าคงที่ Eและขวามือของอีคิว ( 4.11 ) กลายเป็น
ให้∂ = ∂− H ψψ ( 4.14 )
ใช้วิธีการแยกตัวแปรเวลา - ψฟังก์ชันคลื่นขึ้นอยู่กับ ( R , T ) ระบุในอีคิว ( 4.11 ) สามารถแสดงได้ในรูปของ ผลิตภัณฑ์ ของ ระยะเวลาที่แตกต่างกันและฟังก์ชันคลื่นขึ้นอยู่กับปัจจัย พื้นที่φ ( R ) / iete − H
( 4.15 ) / ( ) ( ) ietrtre − = H ψφ
ตอนนี้แทน EQS ( 4.14 ) ( 4.15 ) อีคิว ( 4.11 ) คนหนึ่งได้
22() ( ) ( ) ( ) 2rvrrerm ∇ = −⎛⎞⎜⎟⎝⎠ H φφ ( 4.16 )
สมการ ( 4.16 ) เรียกว่าเวลาอิสระ สมการของชเรอดิงเงอร์และφ ( R ) เป็นฟังก์ชันของพิกัดอวกาศ , R เวลาอิสระ สมการของชเรอดิงเงอร์เป็นพื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาหนึ่งอิเล็กตรอนทฤษฎีแถบพลังงานและ ปัญหาที่เกี่ยวข้องในวัสดุผลึก
4.3 . การ floquet โบลชทฤษฎีบท
จำกัดการ floquet โบลชทฤษฎีบทระบุว่าโซลูชั่นทั่วไปมากที่สุดสำหรับเวลาหนึ่งอิเล็กตรอนอิสระ สมการของชเรอดิงเงอร์ในแลตทิซผลึกธาตุให้
( ) ( ) (
ikrkkrure φ⋅ = 4.17 ) ที่ UK ( R ) คือฟังก์ชัน Bloch ซึ่งมีกำหนดออกพื้นที่เดียวกันของผลึกอาจเกิดขึ้น และเค = 2 π / λ ) เป็นเวกเตอร์คลื่นของอิเล็กตรอนหนึ่งเวลาที่อิเล็กตรอนอิสระ สมการของชเรอดิงเงอร์ ซึ่งφ K ( R ) เป็นโซลูชั่นที่ได้รับจากอีคิว ( 4.16 ) และสามารถเขียนใหม่เป็น
( ) ( ) ( ) ( ) 222kkkrvrrerm φφφ⎛⎞−∇ = ⎜⎟⎜⎟⎝⎠ H ( . )
V ( R ) ซึ่งเป็นศักยภาพของผลึกธาตุ ซึ่งเกิดขึ้นจาก การแสดงตนของไอออนที่เว็บไซต์ตารางปกติของพวกเขาและมีกำหนดออกของแลตทิซผลึกให้โดย
V ( r ) = V ( r jruur ( 4.19 )
)