When a real number represents a mea

When a real number represents a measurement, there is always a margin of error. This is often indicated by rounding or truncating a decimal, so that digits that suggest a greater accuracy than the measurement itself are removed. The remaining digits are called significant digits. For example, measurements with a ruler can seldom be made without a margin of error of at least 0.001 meters. If the sides of a rectangle are measured as 1.23 meters and 4.56 meters, then multiplication gives an area for the rectangle of 5.6088 square meters. Since only the first two digits after the decimal place are significant, this is usually rounded to 5.61.

In abstract algebra, it can be shown that any complete ordered field is isomorphic to the real numbers. The real numbers are not, however, an algebraically closed field, because they do not include the square root of minus one.

Complex numbers
Main article: Complex number
Moving to a greater level of abstraction, the real numbers can be extended to the complex numbers. This set of numbers arose, historically, from trying to find closed formulas for the roots of cubic and quartic polynomials. This led to expressions involving the square roots of negative numbers, and eventually to the definition of a new number: the square root of −1, denoted by i, a symbol assigned by Leonhard Euler, and called the imaginary unit. The complex numbers consist of all numbers of the form


where a and b are real numbers. In the expression a + bi, the real number a is called the real part and b is called the imaginary part. If the real part of a complex number is 0, then the number is called an imaginary number or is referred to as purely imaginary; if the imaginary part is 0, then the number is a real number. Thus the real numbers are a subset of the complex numbers. If the real and imaginary parts of a complex number are both integers, then the number is called a Gaussian integer. The symbol for the complex numbers is C or .

In abstract algebra, the complex numbers are an example of an algebraically closed field, meaning that every polynomial with complex coefficients can be factored into linear factors. Like the real number system, the complex number system is a field and is complete, but unlike the real numbers it is not ordered. That is, there is no meaning in saying that i is greater than 1, nor is there any meaning in saying that i is less than 1. In technical terms, the complex numbers lack the trichotomy property.

Complex numbers correspond to points on the complex plane, sometimes called the Argand plane (for Jean-Robert Argand).

Each of the number systems mentioned above is a proper subset of the next number system. Symbolically, .

Subclasses of the integersEdit

Even and odd numbers
Main article: Even and odd numbers
An even number is an integer that is "evenly divisible" by two, that is divisible by two without remainder; an odd number is an integer that is not even. (The old-fashioned term "evenly divisible" is now almost always shortened to "divisible".) Equivalently, an odd number is that it is an integer of the form n = 2k + 1, where k is an integer, and an even number has the form n = 2k where k is an integer.

Prime numbers
Main article: Prime number
A prime number is an integer greater than 1 that is not the product of two smaller positive integers. The prime numbers have been widely studied for more than 2000 years and have led to many questions, only some of which have been answered. The study of these questions is called number theory. An example of a question that is still unanswered is whether every even number is the sum of two primes. This is called Goldbach's conjecture.

A question that has been answered is whether every integer greater than one is a product of primes in only one way, except for a rearrangement of the primes. This is called fundamental theorem of arithmetic. A proof appears in Euclid's Elements.

Other classes of integers
Many subsets of the natural numbers have been the subject of specific studies and have been named, often after the first mathematician that has studied them. Example of such sets of integers are Fibonacci numbers and perfect numbers. For more examples, see Integer sequence.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เมื่อจำนวนจริงแทนการประเมิน มีเสมอขอบของข้อผิดพลาด นี้มักจะระบุ โดยปัดเศษ หรือทศนิยม การตัดทอนเพื่อให้ตัวเลขที่แนะนำความถูกต้องมากขึ้นกว่าการประเมินตัวเองจะถูกเอาออก ตัวเลขที่เหลือเรียกว่านัย ตัวอย่าง วัด ด้วยไม้บรรทัดแทบจะไม่ มีระยะขอบของข้อผิดพลาดน้อยกว่า 0.001 เมตร ถ้าด้านของสี่เหลี่ยมจะวัดเป็น 1.23 เมตรและ 4.56 เมตร แล้วคูณให้พื้นที่สำหรับเหลี่ยม 5.6088 เมตร เนื่องจากเฉพาะตัวเลขที่สองหลังจากตำแหน่งทศนิยมสำคัญ ซึ่งมักจะปัดไป 5.61ในพีชคณิตนามธรรม มันสามารถถูกแสดงว่าฟิลด์ใดก็สั่งสมบูรณ์ isomorphic กับตัวเลขจริง จำนวนจริงอยู่ แต่ ปิดไว้ algebraically ฟิลด์ เนื่องจากพวกเขาไม่มีรากของลบหนึ่งจำนวนเชิงซ้อนบทความหลัก: จำนวนเชิงซ้อนย้ายไปยังระดับความสูงของ abstraction จำนวนจริงสามารถขยายให้ซ้อนกัน ชุดนี้หมายเลขเกิด อดีต พยายามหาสูตรปิดสำหรับรากของ polynomials ลูกบาศก์ และ quartic นี้นำนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับรากของจำนวนลบ และในที่สุดการกำหนดหมายเลขใหม่: สามารถบุรากของ −1 โดย สัญลักษณ์กำหนด โดย Leonhard ออยเลอร์ และเรียกหน่วยจินตภาพ จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดของแบบฟอร์มที่มี และ b เป็นจำนวนจริง ในนิพจน์ สอง จำนวนจริง + เรียกว่าส่วนจริง และ b เรียกว่าส่วนจินตภาพ ถ้าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อนเป็น 0 แล้วหมายเลขคือหมายเลขจินตภาพ หรืออ้างอิงถึงเป็นจินตภาพ ถ้าส่วนจินตภาพเป็น 0 แล้วหมายเลขเป็นจำนวนจริง ดังนั้น จำนวนจริงเป็นเซตย่อยของจำนวนเชิงซ้อน ถ้าส่วนจริง และจำนวนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนเต็มทั้งสอง แล้วจำนวนเรียกว่าจำนวนเต็ม Gaussian C เป็นสัญลักษณ์สำหรับจำนวนเชิงซ้อน หรือการในพีชคณิตนามธรรม จำนวนเชิงซ้อนเป็นตัวอย่างหนึ่งของฟิลด์ปิดไว้ algebraically หมายความ ว่า ทุก ๆ พหุนามที่ มีสัมประสิทธิ์ที่ซับซ้อนสามารถแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเชิง เช่นระบบจำนวนจริง ระบบจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟิลด์ และเสร็จสมบูรณ์ ได้แตกต่างจากตัวเลขจริง จะไม่สั่ง กล่าวคือ มีความหมายในคำพูดว่า ฉันเป็นมากกว่า 1 ไม่มีความหมายใด ๆ ในการบอกว่า ฉันคือน้อยกว่า 1 ในทางเทคนิค เชิงซ้อนขาดคุณสมบัติ trichotomyจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับจุดในระนาบเชิงซ้อน บางครั้งเรียกเครื่องบิน Argand (ฌองโรเบิร์ต Argand)ระบบเลขที่ดังกล่าวข้างต้นแต่ละชุดย่อยที่เหมาะสมของระบบตัวเลขถัดไปได้ สัญลักษณ์,ระดับของ integersEditหมายเลขคู่ และคี่บทความหลัก: หมายเลขคู่ และคี่เป็นจำนวนคู่คือ จำนวนเต็มที่ "อย่างสม่ำเสมอหารได้" โดยทั้งสอง ที่อยู่โดยไม่เหลือ 2 เป็นเลขคี่คือ จำนวนเต็มที่ไม่ได้ (คำไม "อย่างสม่ำเสมอหารได้" คือตอนนี้เกือบตลอดเวลาสั้นเพื่อ "หารได้") Equivalently เป็นเลขคี่เป็นที่เป็นจำนวนเต็มของฟอร์ม = 2 k + 1 ที่ k เป็นจำนวนเต็ม และเป็นเลขคู่มีแบบฟอร์ม n = 2k โดยที่ k คือ จำนวนเต็มหมายเลขนายกบทความหลัก: จำนวนเฉพาะจำนวนเฉพาะคือ จำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ที่ไม่ใช่ผลิตภัณฑ์ของจำนวนเต็มบวกที่เล็กลงสอง หมายเลขนายกได้ศึกษาอย่างแพร่หลายมากกว่า 2000 ปีแล้ว และได้นำไปสู่คำถามมากมาย เพียงบางส่วนที่มีการตอบ การศึกษาคำถามเหล่านี้คือทฤษฎีจำนวน ตัวอย่างของคำถามที่ยังไม่ได้ตอบยังคือ ว่าทุกเลขผลรวมของสองโรงแรมไพรม์ นี้คือข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาคคำถามที่มีการตอบถูกว่าทุกจำนวนเต็มที่มากกว่าหนึ่งผลิตภัณฑ์ของโรงแรมไพรม์ในวิธีเดียวเท่านั้น ยกเว้น rearrangement ของโรงแรมไพรม์ นี้เรียกว่าทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต หลักฐานที่ปรากฏในองค์ประกอบของยุคลิดชั้นเรียนอื่น ๆ จำนวนเต็มย่อยหลายจำนวนธรรมชาติมีเรื่องของการศึกษา และได้รับการแต่ง ตั้ง มักหลังจากนักคณิตศาสตร์ครั้งแรกที่ได้ศึกษา ตัวอย่างเช่นชุดของจำนวนเต็มจะหมายเลขฟีโบนัชชีและตัวเลขที่สมบูรณ์แบบ สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติม ดูเต็มลำดับนั้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เมื่อตัวเลขจริงหมายถึงวัด มีเสมอขอบของข้อผิดพลาด นี้มักจะแสดงโดยปัดเศษทศนิยมหรือตัดทอน เพื่อให้ตัวเลขว่ามีความถูกต้องมากกว่าการวัดตัวเองจะถูกลบออก ตัวเลขที่เหลือจะเรียกว่าสำคัญหลัก ตัวอย่างเช่น การวัดด้วยไม้บรรทัดจะไม่ใคร่ได้ โดยไม่มีขอบของข้อผิดพลาดของอย่างน้อย 1 เมตรถ้าเป็นด้านของสี่เหลี่ยมจะวัดเป็น 1.23 เมตรและ 4.56 เมตร จากนั้นคูณให้มีพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าของ 5.6088 ตารางเมตร ตั้งแต่เพียงครั้งแรกสองตัวเลขหลังทศนิยมเป็นสถานที่สำคัญ นี้มักจะปัด 6.73 .

ในพีชคณิตนามธรรม มันสามารถแสดงที่สมบูรณ์คำสั่งเขตพวกเราตัวเลขที่แท้จริง ตัวเลขจริงไม่ อย่างไรก็ตามเป็นพีชคณิตปิดสนาม เพราะพวกเขาไม่ได้รวมถึงรากที่สองของลบหนึ่ง


บทความหลัก : จำนวนเชิงซ้อนเลขเชิงซ้อน
ย้ายไปยังระดับที่มากขึ้นของ abstraction , จำนวนจริงสามารถขยายไปยังตัวเลขที่ซับซ้อน ชุดของตัวเลขนี้เกิดขึ้นในอดีต จากที่พยายามหาสูตรปิดรากลูกบาศก์ และ quartic พหุนาม .นี้นำไปสู่การแสดงออกที่เกี่ยวข้องกับรากที่สองของตัวเลขที่เป็นลบ และในที่สุดความหมายของเบอร์ใหม่ : รากที่สองของ− 1 แทน โดยผม เป็นสัญลักษณ์ที่กำหนดโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ และเรียกหน่วยในจินตนาการ ตัวเลขที่ซับซ้อนประกอบด้วยตัวเลขของรูปแบบ


ที่ A และ B จริงตัวเลข ในการแสดงออกเป็นบีเบอร์จริงเป็นเรียกว่าส่วนจริงและ B เรียกว่าส่วนจินตภาพ . ถ้ามีส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อนเป็น 0 แล้วจำนวนจะเรียกว่าจำนวนจินตภาพหรือเรียกว่าจินตนาการล้วนๆ ถ้าส่วนที่เป็น 0 แล้วเบอร์เป็นเบอร์จริง ดังนั้น ตัวเลขที่แท้จริงเป็นเซตย่อยของตัวเลขที่ซับซ้อน ถ้าชิ้นส่วนจริงและจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนมีทั้งจำนวนเต็มแล้วหมายเลขเรียกจำนวนเต็มเกาส์เซียน . สัญลักษณ์ตัวเลขที่ซับซ้อนเป็น C หรือ

ในพีชคณิตนามธรรม , ตัวเลขที่ซับซ้อนเป็นตัวอย่างของการปิดสนามพีชคณิตพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ทุกความหมายที่ซับซ้อนสามารถประกอบเป็นปัจจัยเชิงเส้น เหมือนระบบจํานวนจริง ระบบจำนวนเชิงซ้อน เป็นทุ่งนา และสมบูรณ์แต่แตกต่างจากตัวเลขจริงมันไม่สั่ง คือว่ามันไม่มีความหมาย ว่ามีค่ามากกว่า 1 หรือมีความหมายว่าฉันมีค่าน้อยกว่า 1 ในแง่ทางเทคนิค , ตัวเลขที่ซับซ้อนขาดสมบัติไตรวิภาค .

จำนวนเชิงซ้อนสอดคล้องกับจุดในซับซ้อนเครื่องบิน บางครั้งเรียกว่า argand เครื่องบิน ( Jean Robert argand

)แต่ละหมายเลข ระบบดังกล่าวเป็นชุดย่อยที่เหมาะสมของระบบหมายเลขต่อไป สัญลักษณ์ , .

subclasses ของ integersedit

เลขคู่ เลขคี่
บทความหลัก : เลขคู่ เลขคี่
เลขคู่เป็นจำนวนเต็มที่เป็น " กองเท่าๆ กัน " สอง นั่นคือ หารด้วยสองโดยไม่เหลือ ; เลขคี่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ .( คำว่า " เชยอย่างลงตัว " คือตอนนี้เกือบจะเสมอสั้น " ลงตัว " . ก้อง เป็นเบอร์แปลกที่เป็นจำนวนเต็มของรูป n = 2 k 1 , k เป็นจำนวนเต็มที่เป็นเลขคู่ และมีรูปแบบที่ n = 2 k เป็นจำนวนเต็ม .

จำนวนเฉพาะบทความหลัก :

จำนวนเฉพาะจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 นั้นไม่ได้เป็นผลิตภัณฑ์ของทั้งสองที่มีขนาดเล็กเต็มบวก .ตัวเลขที่ท่านได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางมากกว่า 2 , 000 ปี และได้นำไปสู่คำถามมากมายเพียงบางส่วนที่ได้รับตอบ การศึกษาคำถามเหล่านี้เรียกว่าทฤษฎีจำนวน ตัวอย่างของคำถามที่ยังไม่มีคำตอบคือ ไม่ว่าทุกเลขคู่คือผลรวมของจำนวนเฉพาะสอง . นี้เรียกว่าข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาค .

คำถามที่ได้รับคำตอบว่าทุกจำนวนเต็มที่มากกว่าเป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนเฉพาะในวิธีเดียวเท่านั้น ยกเว้นรูปแบบของไพร์ม นี้เรียกว่าทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต มีหลักฐานปรากฏในองค์ประกอบของยูคลิด


จากหลายวิชาอื่นของจำนวนเต็มของตัวเลขที่เป็นธรรมชาติได้รับเรื่องของการศึกษาเฉพาะและได้รับชื่อบ่อยครั้งหลังแรก นักคณิตศาสตร์ได้ศึกษาพวกเขา ตัวอย่างของชุดดังกล่าวของจำนวนเต็มเป็นลำดับเลขและสมบูรณ์แบบตัวเลข สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติม ดู
ลำดับจำนวนเต็ม