This account of mathematical knowle

This account of mathematical knowledge is essentially that which has been accepted for almost 2,500 years. Early presentations of mathematical knowledge, such as Euclid’s Elements, difter from the above account only by degree. In Euclid, as above, mathematical knowledge is established by the logical deduction of theorems from axioms and postulates (which we include among the axioms). The underlying logic is left unspecified (other than the statement of some axioms concerning the equality relation). The axioms are not regarded as temporarily adopted assumptions, held only for the construction of the theory under consideration. The axioms are considered to be basic truths which needed no justification, beyond their own self evidence (Blanche, 1966).Because of this, the account claims to provide certain grounds for mathematical knowledge. For since logical proof preserves truth and the assumed axioms are self-evident truths, then any theorems derived from them must also be truths (this reasoning is implicit, not explicit in Euclid). However, this claim is no longer accepted because Euclid’s axioms and postulates are not considered to bebasic and incontrovertible truths, none of which can be negated or denied without resulting in contradiction. In fact, the denial of some of them, most notably the Parallcl Postulate, merely leads to other bodies of geometric knowledge (non - euclidean geometry)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บัญชีความรู้ทางคณิตศาสตร์เป็นหลักที่ได้รับการยอมรับเกือบ 2500 ปี นำเสนอความรู้ทางคณิตศาสตร์ เช่นองค์ประกอบของยุคลิด difter จากบัญชีข้างต้นโดยเฉพาะระดับต้น ในยุคลิด เป็นข้างต้น ความรู้ทางคณิตศาสตร์ถูกก่อตั้ง โดยหักทางตรรกะของทฤษฎีจากสัจพจน์และ postulates (ซึ่งเรารวมระหว่างสัจพจน์) ตรรกะพื้นฐานที่เหลือไม่ได้ระบุ (ไม่ใช่งบของสัจพจน์บางอย่างเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของความเสมอภาค) สัจพจน์ไม่เกี่ยวข้องกับสมมติฐานชั่วคราวบุญธรรม จัดขึ้นเฉพาะสำหรับการก่อสร้างของทฤษฎีภายใต้การพิจารณาของ สัจพจน์จะถือเป็นจริงพื้นฐานที่จำเป็นไม่มีเหตุผล นอกเหนือจากหลักฐานของตนเองด้วยตนเอง (ซงบลองช์ 1966)ด้วยเหตุนี้ เรียกร้องการบัญชีเพื่อให้เหตุผลบางอย่างสำหรับความรู้ทางคณิตศาสตร์ สำหรับตั้งแต่หลักตรรกะรักษาจริง และสัจพจน์ของปลอมมีวีรกรรมจริง แล้วทฤษฎีใด ๆ มาจากพวกเขาต้องมีสัจธรรม (เหตุผลนี้เป็นนัย ไม่ชัดเจนในยุคลิด) อย่างไรก็ตาม ไม่ยอมรับข้อเรียกร้องนี้เนื่องจากสัจพจน์ของยุคลิดและ postulates ไม่ถือว่าเป็น bebasic และ incontrovertible จริง ไม่มีผู้ใดสามารถ negated หรือปฏิเสธโดยไม่เกิดความขัดแย้ง ในความเป็นจริง ปฏิเสธบางส่วนของพวกเขา ส่วนใหญ่ Parallcl Postulate เพียงนำไปสู่องค์กรอื่น ๆ ความรู้เรขาคณิต (ไม่ใช่ - เรขาคณิต euclidean)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บัญชีของความรู้ทางคณิตศาสตร์นี้เป็นหลักที่ได้รับการยอมรับเกือบ 2,500 ปี การนำเสนอผลงานในช่วงต้นของความรู้ทางคณิตศาสตร์เช่น Euclid 's องค์ประกอบ difter จากบัญชีดังกล่าวข้างต้นโดยเฉพาะในระดับ ในยุคลิดข้างต้นความรู้ทางคณิตศาสตร์จะจัดตั้งขึ้นโดยการหักตรรกะของทฤษฎีจากหลักการและสมมุติฐาน (ซึ่งเราได้รวมถึงสัจพจน์) ตรรกะพื้นฐานที่เหลือยังไม่ระบุ (นอกเหนือจากคำสั่งของหลักการบางอย่างเกี่ยวกับความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน) หลักการจะไม่ได้รับการยกย่องว่าเป็นสมมติฐานที่นำมาใช้ชั่วคราวที่จัดขึ้นเฉพาะสำหรับการก่อสร้างของทฤษฎีภายใต้การพิจารณา สัจพจน์จะถือเป็นความจริงพื้นฐานที่ไม่จำเป็นต้องให้เหตุผลนอกเหนือหลักฐานของตนเอง (บลานช์ 1966) .Because นี้เรียกร้องที่บัญชีที่จะให้พื้นที่บางความรู้ทางคณิตศาสตร์ ตั้งแต่หลักฐานตรรกะรักษาความจริงและหลักการสันนิษฐานว่าเป็นความจริงปรากฏชัดแล้วทฤษฎีใด ๆ ที่ได้มาจากพวกเขายังจะต้องเป็นความจริง (เหตุผลนี้เป็นนัยไม่ชัดเจนในยุคลิด) แต่เรียกร้องนี้ไม่ได้รับการยอมรับเพราะหลักการของยุคลิดและสมมุติฐานที่ไม่ได้รับการพิจารณาให้ bebasic และความจริงที่เถียงไม่ได้ไม่มีใครที่สามารถเมื่อตะกี้​​หรือปฏิเสธโดยไม่ต้องมีผลในความขัดแย้ง ในความเป็นจริงการปฏิเสธของบางส่วนของพวกเขาที่สะดุดตาที่สุด Parallcl สัจพจน์เพียงนำไปสู่​​การร่างอื่น ๆ ของความรู้ทางเรขาคณิต (ไม่ - เรขาคณิต Euclidean)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นี้บัญชีความรู้ทางคณิตศาสตร์เป็นหลักที่ได้รับการยอมรับเกือบ 2 , 500 ปี ก่อนการนำเสนอความรู้ทางคณิตศาสตร์เช่นยูคลิดเป็นองค์ประกอบ difter จากบัญชีข้างต้นเท่านั้น โดยระดับ ในซิดนีย์เป็นข้างต้น ความรู้ทางคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้น โดยการหักตรรกะของทฤษฎีบทสัจพจน์ และจากสมมติฐาน ( ซึ่งเรารวมของสัจพจน์ )ภายใต้ตรรกะเป็นซ้ายยังไม่ระบุ ( นอกจากงบของสัจพจน์เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันความสัมพันธ์ สัจพจน์ไม่ถือว่าเป็นสมมติฐานชั่วคราวรับจัดเฉพาะสำหรับการก่อสร้างของทฤษฎีภายใต้การพิจารณา สัจพจน์ถือเป็นพื้นฐานความจริงที่ไม่ต้องเหตุผลนอกเหนือจากหลักฐานของตัวเอง ( Blanche , 1966 ) เพราะเหตุนี้บัญชีที่อ้างว่าให้เหตุผลบางอย่างที่ให้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากหลักฐานตรรกะรักษาสัจจะและความจริงก็คือว่าสัจพจน์ของตนเองแล้วมีทฤษฎีบทที่ได้จากพวกเขา นอกจากนี้ยังต้องมีความจริง ( เหตุผลนี้โดยปริยาย ไม่ชัดเจนในยูคลิด ) อย่างไรก็ตามการเรียกร้องนี้จะไม่รับ เพราะหลักการของยูคลิดและไม่ถือว่า bebasic สมมุติฐานและความจริงที่เถียงไม่ได้ , ไม่มีผู้ใดที่สามารถยกเลิกหรือปฏิเสธโดยไม่ให้เกิดความขัดแย้ง ในความเป็นจริง , การปฏิเสธของพวกเขาบางคน ที่สะดุดตาที่สุด parallcl สัจพจน์เพียงนำไปสู่ร่างกายอื่น ๆ ( ไม่ใช้ความรู้เรขาคณิตเรขาคณิต )