The values of -d for which imaginar

The values of -d for which imaginary quadratic fields Q(sqrt(-d)) are uniquely factorable into factors of the form a+bsqrt(-d). Here, a and b are half-integers, except for d=1 and 2, in which case they are integers. The Heegner numbers therefore correspond to binary quadratic form discriminants -d which have class number h(-d) equal to 1, except for Heegner numbers -1 and -2, which correspond to d=-4 and -8, respectively.

The determination of these numbers is called Gauss's class number problem, and it is now known that there are only nine Heegner numbers: -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, and -163 (OEIS A003173), corresponding to discriminants -4, -8, -3, -7, -11, -19, -43, -67, and -163, respectively. This was proved by Heegner (1952)--although his proof was not accepted as complete at the time (Meyer 1970)--and subsequently established by Stark (1967).

Heilbronn and Linfoot (1934) showed that if a larger d existed, it must be >10^9. Heegner (1952) published a proof that only nine such numbers exist, but his proof was not accepted as complete at the time. Subsequent examination of Heegner's proof show it to be "essentially" correct (Conway and Guy 1996).

The Heegner numbers have a number of fascinating connections with amazing results in prime number theory. In particular, the j-function provides stunning connections between e, pi, and the algebraic integers. They also explain why Euler's prime-generating polynomial n^2-n+41 is so surprisingly good at producing primes.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ค่าของ -d สำหรับฟิลด์ที่จินตนาการกำลังสอง Q(sqrt(-d)) ถูก factorable โดยเฉพาะเป็นปัจจัยของ a+bsqrt(-d) แบบฟอร์ม ที่นี่ และ b คือ ครึ่งจำนวนเต็ม ยกเว้น d = 1 และ 2 ซึ่งในกรณี ที่พวกเขาเป็นจำนวนเต็ม หมายเลข Heegner ดังนั้นสอดคล้องกับรูปแบบไบนารีกำลังสอง discriminants -d ซึ่งมีชั้นเท่ากับ 1 ยกเว้น Heegner -1 และ -2 ซึ่งสอดคล้องกับ d = 4 และ -8 ลำดับ หมายเลขหมายเลข h(-d)กำหนดหมายเลขเหล่านี้เรียกว่าปัญหาหมายเลขชั้นของ Gauss และมันเป็นที่รู้จักว่า มีเลขเก้าเท่า Heegner: -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67 และ-163 (แก้ A003173), ที่สอดคล้องกับ discriminants -4, -8, -3, -7, -11, -19, -43, -67 และ-163 ตามลำดับ นี้พิสูจน์ได้ โดย Heegner (1952) - แม้ว่าหลักฐานของเขาไม่ยอมรับเสร็จในเวลา (Meyer 1970) - และมาก่อตั้ง โดยสิ้นเชิง (1967)ไฮล์บรอนและ Linfoot (1934) แสดงให้เห็นว่า ถ้า d มีขนาดใหญ่มีอยู่แล้ว มันต้องเป็น > 10 ^ 9 Heegner (1952) เผยแพร่หลักฐานที่หมายเลขเก้าเท่านั้น แต่หลักฐานของเขาไม่ยอมรับเสร็จในเวลา การตรวจสอบหลักฐานของ Heegner มาแสดงให้ ถูกต้อง "เป็นหลัก" (คอนเวย์และ 1996 คน)หมายเลข Heegner มีหมายเลขของการเชื่อมต่อที่น่าสนใจกับผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์ในทฤษฎีจำนวนเฉพาะ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชัน j ให้สวยงามเชื่อมต่อระ หว่างอี pi จำนวนเต็มทางพีชคณิต พวกเขาอธิบายทำไมออยเลอร์ของนายกสร้างพหุนาม n ^ 2-n + 41 เป็นน่าแปลกดีที่ผลิตไพรม์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ค่าของ -d ซึ่งกำลังสองเขตจินตนาการ Q (sqrt (-d)) เป็นเอกลักษณ์ factorable มาเป็นปัจจัยในรูปแบบ A + bsqrt (-d) นี่ a และ b เป็นจำนวนเต็มครึ่งยกเว้น d = 1 และ 2 ซึ่งในกรณีที่พวกเขาเป็นจำนวนเต็ม หมายเลข Heegner จึงสอดคล้องกับรูปแบบไบนารี discriminants กำลังสอง -d ที่มีจำนวนชั้น h (-d) เท่ากับ 1 ยกเว้นหมายเลข Heegner -1 และ -2 ซึ่งสอดคล้องกับ d = -4 และ -8 ตามลำดับ.

การกำหนด ตัวเลขเหล่านี้จะเรียกว่าปัญหาจำนวนชั้นของเกาส์และมันเป็นที่รู้จักกันในขณะนี้ว่ามีเพียงเก้าหมายเลข Heegner: -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67 และ -163 (OEIS A003173) ที่สอดคล้องกับ discriminants -4, -8, -3, -7, -11, -19, -43, -67 และ -163 ตามลำดับ นี้ได้รับการพิสูจน์โดย Heegner (1952) - แม้ว่าหลักฐานของเขาไม่ได้รับการยอมรับเป็นที่สมบูรณ์ในเวลานั้น (เมเยอร์ 1970) -. และต่อมาได้จัดตั้งขึ้นโดยสตาร์ (1967)

Heilbronn และ Linfoot (1934) แสดงให้เห็นว่าถ้า D ขนาดใหญ่มีตัวตน มันจะต้องเป็น> 10 ^ 9 Heegner (1952) ตีพิมพ์หลักฐานว่าเพียงเก้าตัวเลขดังกล่าวอยู่ แต่หลักฐานของเขาไม่ได้รับการยอมรับเป็นที่สมบูรณ์ในเวลานั้น ตรวจสอบที่ตามมาของหลักฐาน Heegner แสดงให้เห็นว่ามันจะเป็น "หลัก" ที่ถูกต้อง (คอนเวย์และผู้ชาย 1996).

หมายเลข Heegner มีจำนวนการเชื่อมต่อที่น่าสนใจกับผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์ในทฤษฎีจำนวนเฉพาะ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง J-ฟังก์ชั่นให้การเชื่อมต่อที่สวยงามระหว่าง E, Pi และจำนวนเต็มพีชคณิต พวกเขายังอธิบายว่าทำไมออยเลอร์ที่สำคัญที่ก่อให้เกิดพหุนาม n ^ 2-N + 41 เป็นเพื่อที่ดีที่น่าแปลกใจที่การผลิตเฉพาะ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ค่าของ - D ซึ่งในจินตนาการไม่มีสาขา Q ( SQRT ( - D ) มี factorable เป็นปัจจัยของรูป + bsqrt ( - D ) ที่นี่ ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มครึ่ง ยกเว้น D = 1 และ 2 ซึ่งในกรณีนี้พวกเขาเป็นจำนวนเต็ม . การ heegner ตัวเลขจึงสอดคล้องกับรูปแบบไบนารีกำลังสอง discriminants - D H ซึ่งมีจำนวนชั้น ( - D ) เท่ากับ 1 , ยกเว้นตัวเลข - heegner 1 และ 2 ซึ่งสอดคล้องกับ D = 4 และ 8 ตามลำดับการกำหนดตัวเลขเหล่านี้จะเรียกว่าปัญหาจำนวนชั้นเกา และขณะนี้ทราบว่า มีเพียงเก้า heegner เลข - 1 - 2 - 3 - 7 - 11 - 19 - 43 - 67 และ - 163 ( oeis a003173 ) ซึ่งสอดคล้องกับ discriminants - 4 - 8 - 3 - 7 - 11 - 19 - 43 - 67 และ - 163 ตามลำดับ นี้ถูกพิสูจน์โดย heegner ( 1952 ) -- แม้ว่าหลักฐานของเขาไม่ได้รับการยอมรับโดยสมบูรณ์ในเวลา ( ในปี 1970 ) -- และต่อมาก่อตั้งโดยสิ้นเชิง ( 1967 )สกัน และ linfoot ( 1934 ) พบว่าถ้าเป็นขนาดใหญ่ D อยู่ มันต้อง 10 ^ 9 heegner ( 1952 ) เผยแพร่หลักฐานที่เพียงเก้าตัวเลขดังกล่าวอยู่ แต่หลักฐานของเขาไม่ได้รับการยอมรับโดยสมบูรณ์ในเวลา การตรวจที่ตามมาของ heegner หลักฐานแสดงการเป็น " หลัก " ให้ถูกต้อง ( คอนเวย์และผู้ชาย 1996 )การ heegner ตัวเลขมีจำนวนของการเชื่อมต่อที่น่าสนใจกับผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์ในทฤษฎีจำนวน . โดยเฉพาะอย่างยิ่ง j-function มีการเชื่อมต่อที่สวยงามระหว่าง E , พี , และพีชคณิตจำนวนเต็ม . เขายังอธิบายว่าทำไมออยเลอร์นายกรัฐมนตรีสร้างพหุนาม n ^ 2-n + 41 จึงน่าแปลกใจที่ดีในการผลิตเป็นการสั่งสอน