INTRODUCTIONApproximation formulae

INTRODUCTION
Approximation formulae for the chi-square distribution quantiles have been investigated in numerous papers beginning from Fisher [3] and Wilson and Hil- ferty [9]. Nowadays, very accurate approximation formulae are available (see e.g. Zar [10] and Johnson et al. [6], [7] or Ittrich et al. [5] and references therein). On the contrary, inequalities for the central chi-square quantiles rarely appear in the literature although they play an important role in some statistical considerations. Laurent and Massart [8] gave an exponential inequality for tails of the noncentral chi-square distrubution and used it to determine risk bounds for penalized estima- tor of the squared norm of a mean in a Gaussian linear model. This inequality is equivalent to some global upper bound for quantiles covering all values of param- eters involved. Brain and Mi [2] proved some upper and lower bounds which are expressed solely in terms of a number of degrees of freedom k and applied them to an interval estimation problem. Inglot and Ledwina [4] obtained lower bounds depending both on k and tail probabilities α and, employing them, described an asymptotic behaviour of the quantiles when k increases and simultaneously α tends

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทนำ
สูตรประมาณสำหรับการกระจายไคสแควร์ quantiles ได้รับการตรวจสอบเอกสารจำนวนมากในการเริ่มต้นจากฟิชเชอร์ [3] และวิลสันและ Hil- ferty [9] ปัจจุบันที่ถูกต้องมากสูตรการประมาณที่มีอยู่ (ดูเช่นซาร์ [10] และจอห์นสัน et al. [6] [7] หรือ Ittrich et al. [5] และการอ้างอิงนั้น) ในทางตรงกันข้ามกับความไม่เท่าเทียมกันสำหรับ quantiles กลางไคสแควร์ที่ไม่ค่อยปรากฏในวรรณคดีแม้ว่าพวกเขาจะมีบทบาทสำคัญในการพิจารณาทางสถิติบางอย่าง องค์และ Massart [8] ให้ชี้แจงความไม่เท่าเทียมกันสำหรับหางของ noncentral distrubution ไคสแควร์และใช้มันในการกำหนดขอบเขตความเสี่ยงในการลงโทษต estima- ของบรรทัดฐานยกกำลังสองของค่าเฉลี่ยในรูปแบบเชิงเส้นเสียน ความไม่เท่าเทียมกันนี้จะเทียบเท่ากับบางระดับโลกที่ถูกผูกไว้บนสำหรับ quantiles ครอบคลุมค่าทั้งหมดของพารารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับ สมองและ Mi [2] ได้รับการพิสูจน์บางขอบเขตบนและล่างซึ่งจะแสดง แต่เพียงผู้เดียวในแง่ของจำนวนขององศาอิสระ k และนำพวกเขาไปปัญหาประมาณค่าแบบช่วง Inglot และ Ledwina [4] ได้รับขอบเขตล่างขึ้นอยู่ทั้งในความน่าจะเป็น k และหางαและจ้างพวกเขาอธิบายพฤติกรรมของ asymptotic quantiles เมื่อ k เพิ่มขึ้นและในขณะเดียวกันมีแนวโน้มที่α

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทนำ
ประมาณสูตรสำหรับไคสแควร์กระจาย quantiles ได้ตรวจสอบเอกสารมากมาย เริ่มจาก ฟิชเชอร์ [ 3 ] และ วิลสัน และ สูง - ferty [ 9 ] ทุกวันนี้ สูตรการประมาณความถูกต้องมากมี ( เห็นเช่นซาร์ [ 10 ] และจอห์นสัน et al . [ 6 ] [ 7 ] หรือ ittrich et al . [ 5 ] อ้างอิง ) ในทางตรงกันข้ามอสมการสำหรับ quantiles สี่เหลี่ยมกลาง ชิ ไม่ค่อยปรากฏในวรรณกรรมแม้ว่าพวกเขามีบทบาทสำคัญในทางสถิติบางพิจารณา โลรองต์ และ massart [ 8 ] ให้ความชี้แจงสำหรับหางของ distrubution Chi square noncentral และใช้มันเพื่อตรวจสอบขอบเขตความเสี่ยงการลงโทษของติมา ผู้ซึ่งบรรทัดฐานของสี่เหลี่ยมหมายถึงในลักษณะเชิงเส้น แบบจำลองความไม่เท่าเทียมกันนี้เทียบเท่ากับสากลบางขอบเขตบน quantiles ครอบคลุมทุกค่าของพารามิเตอร์ - eters เกี่ยวข้อง สมองและมี [ 2 ] พิสูจน์บางขอบเขตบนและล่างซึ่งจะแสดง แต่เพียงผู้เดียวในแง่ของจำนวนขององศาอิสระ K และใช้พวกเขาเพื่อการประมาณค่าแบบช่วงปัญหา และ Inglot ledwina [ 4 ] ได้ขอบเขตล่างขึ้นอยู่กับทั้ง K และความน่าจะเป็นαหางและจ้างพวกเขาอธิบายพฤติกรรมซีมโทติคของ quantiles เมื่อ K และαมีแนวโน้มเพิ่มขึ้นพร้อมกัน