In mathematics, transformation geom

In mathematics, transformation geometry (or transformational geometry) is the name of a mathematical and pedagogic approach to the study of geometry by focusing on groups of geometric transformations, and the properties of figures that are invariant under them. It is opposed to the classical synthetic geometry approach of Euclidean geometry, that focus on geometric constructions.

For example, within transformation geometry, the properties of an isosceles triangle are deduced from the fact that it is mapped to itself by a reflection about a certain line. This contrasts with the classical proofs by the criteria for congruence of triangles.[1]

The first systematic effort to use transformations as the foundation of geometry was made by Felix Klein in the 19th century, under the name Erlangen programme. For nearly a century this approach remained confined to mathematics research circles. In the 20th century efforts were made to exploit it for mathematical education. Andrei Kolmogorov included this approach (together with set theory) as part of a proposal for geometry teaching reform in Russia.[2] These efforts culminated in the 1960s with the general reform of mathematics teaching known as the New Math movement.

Teaching transformation geometry[edit]
An exploration of transformation geometry often begins with a study of reflection symmetry as found in daily life. The first real transformation is reflection in a line or reflection against an axis. The composition of two reflections results in a rotation when the lines intersect, or a translation when they are parallel. Thus through transformations students learn about Euclidean plane isometry. For instance, consider reflection in a vertical line and a line inclined at 45° to the horizontal. One can observe that one composition yields a counter-clockwise quarter-turn (90°) while the reverse composition yields a clockwise quarter-turn. Such results show that transformation geometry includes non-commutative processes.

An entertaining application of reflection in a line occurs in a proof of the one-seventh area triangle found in any triangle.

Another transformation introduced to young students is the dilation. However, the reflection in a circle transformation seems inappropriate for lower grades. Thus inversive geometry, a larger study than grade school transformation geometry, is usually reserved for college students.

Experiments with concrete symmetry groups make way for abstract group theory. Other concrete activities use computations with complex numbers, hypercomplex numbers, or matrices to express transformation geometry. Such transformation geometry lessons present an alternate view that contrasts with classical synthetic geometry. When students then encounter analytic geometry, the ideas of coordinate rotations and reflections follow easily. All these concepts prepare for linear algebra where the reflection concept is expanded.

Educators have shown some interest and described projects and experiences with transformation geometry for children from kindergarten to high school. In the case of very young age children, in order to avoid introducing new terminology and to make links with students' everyday experience with concrete objects, it was sometimes recommended to use words they are familiar with, like "flips" for line reflections, "slides" for translations, and "turns" for rotations, although these are not precise mathematical language. In some proposals, students start by performing with concrete objects before they perform the abstract transformations via their definitions of a mapping of each point of the figure.[3][4][5][6]

In an attempt to restructure the courses of geometry in Russia, Kolmogorov suggested presenting it under the point of view of transformations, so the geometry courses were structured based on set theory. This led to the appearance of the term "congruent" in schools, for figures that were before called "equal": since a figure was seen as a set of points, it could only be equal to itself, and two triangles that could be overlapped by isometries were said to be congruent.[2]

One author expressed the importance of group theory to transformation geometry as follows:

I have gone to some trouble to develop from first principles all the group theory that I need, with the intention that my book can serve as a first introduction to transformation groups, and the notions of abstract group theory if you have never seen these

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในวิชาคณิตศาสตร์ การแปลงทางเรขาคณิต (หรือเรขาคณิตภาวะ) เป็นชื่อของวิธีการทางคณิตศาสตร์ และ pedagogic วิชาเรขาคณิต โดยเน้นกลุ่มของการแปลงเชิงเรขาคณิต และคุณสมบัติของตัวเลขที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้พวกเขา มันจะตรงข้ามกับวิธีสังเคราะห์เรขาคณิตคลาสสิกของ Euclidean เรขาคณิต ที่เน้นการก่อสร้างรูปทรงเรขาคณิต

ตัวอย่าง ภายในการแปลงทางเรขาคณิต คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วมี deduced จากข้อเท็จจริงที่ถูกแมปกับตัวเอง โดยสะท้อนเกี่ยวกับบรรทัดที่แน่นอน นี้ตัดกับปรู๊ฟคลาสสิก โดยเงื่อนไขสำหรับการลงตัวของสามเหลี่ยม[1]

นี่ระบบแรกใช้แปลงเป็นรากฐานของเรขาคณิตทำ โดยเฟลิกซ์ไคลน์ในศตวรรษที่ 19 ภายใต้ชื่อ Erlangen โปรแกรม วิธีการนี้ยังคงไม่จำกัดไปในแวดวงวิจัยคณิตศาสตร์สำหรับเกือบศตวรรษ ในศตวรรษ 20 ความพยายามได้ทำเพื่อใช้ประโยชน์สำหรับการศึกษาทางคณิตศาสตร์ น่าเป็น Andrei รวม (พร้อมชุด theory) วิธีการนี้เป็นส่วนหนึ่งของข้อเสนอสำหรับเรขาคณิตสอนปฏิรูปในรัสเซีย[2] ความพยายามเหล่านี้ culminated ในปี 1960 ด้วยการปฏิรูปการสอนคณิตศาสตร์เป็นการเคลื่อนไหวใหม่คณิตศาสตร์

สอนการแปลงเรขาคณิต [แก้ไข]
การสำรวจแปลงเรขาคณิตมักเริ่มต้น ด้วยการศึกษาสะท้อนสมมาตรเป็นพบในชีวิตประจำวัน การแปลงจริงแรกจะสะท้อนในบรรทัดหรือสะท้อนกับแกน องค์ประกอบของผลสะท้อนสองหมุนเมื่อบรรทัดอิน หรือการแปลเมื่อขนาน จึง ผ่านแปลงศึกษาเรียนเกี่ยวกับเครื่องบิน Euclidean isometry พิจารณาตัวอย่าง การสะท้อนในเส้นแนวตั้งและเส้นแนวโน้ม 45 องศากับแนวที่ หนึ่งสามารถสังเกตได้ว่า องค์ประกอบหนึ่งทำให้ทวนเข็มนาฬิกาไตรมาสแต้ม (90 °) ในขณะที่องค์ประกอบกลับทำให้เปิดไตรมาสตามเข็มนาฬิกา ผลดังกล่าวแสดงว่า การแปลงทางเรขาคณิตมีกระบวนการไม่สลับกัน

ประยุกต์สนุกสนานพล็อตเป็นเส้นที่เกิดขึ้นในหลักฐานของสามเหลี่ยมตั้งเจ็ดหนึ่งในสามเหลี่ยมใด ๆ พบกัน

Dilation ที่แปลงอื่นที่แนะนำให้เด็กได้ อย่างไรก็ตาม สะท้อนในแปลงวงกลมดูเหมือนไม่เหมาะสมสำหรับเกรดต่ำ ดังนั้น inversive เรขาคณิต การศึกษาที่ใหญ่กว่าโรงเรียนการแปลงทางเรขาคณิต มักจะสงวนไว้สำหรับนักศึกษาวิทยาลัยการ

ทดลองกับกลุ่มสมมาตรคอนกรีตให้ทฤษฎีกลุ่มนามธรรม กิจกรรมอื่น ๆ คอนกรีตใช้ประมวลผลกับจำนวนเชิงซ้อน หมายเลข hypercomplex หรือเมทริกซ์แสดงการแปลงเรขาคณิต บทเรียนเรขาคณิตการแปลงดังกล่าวนำเสนอมุมมองอื่นที่ตัดกับเรขาคณิตคลาสสิกสังเคราะห์ เมื่อศึกษาแล้วพบเรขาคณิตวิเคราะห์ ความคิดของการสะท้อนและการหมุนเวียนประสานงานทำตามง่าย ๆ พีชคณิตเชิงเส้นซึ่งเป็นขยายแนวคิดสะท้อนแนวคิดเหล่านี้ทั้งหมดเตรียม

นักการศึกษาได้แสดงความสนใจบางอย่าง และอธิบายโครงการและประสบการณ์การแปลงทางเรขาคณิตสำหรับเด็กตั้งแต่ระดับอนุบาลถึงมัธยม ในกรณีที่เด็กอายุยังน้อยมาก เพื่อหลีกเลี่ยงการแนะนำคำศัพท์ใหม่ และ เพื่อให้เชื่อมโยงกับประสบการณ์ชีวิตประจำวันของนักเรียนกับวัตถุคอนกรีต มันเป็นบางครั้งแนะนำให้ใช้คำที่พวกเขาคุ้นเคยกับ เช่นสำหรับบรรทัดสะท้อน "พลิก" "ภาพนิ่ง" แปล และการหมุนเวียน "จะ" ถึงแม้ว่าเหล่านี้ไม่ใช่ภาษาทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ ในบางข้อเสนอ นักเรียนเริ่มต้น ด้วยการดำเนินการกับวัตถุคอนกรีตก่อนที่จะทำแปลงนามธรรมผ่านคำนิยามของการแม็ปของแต่ละจุดของภาพ[3][4][5][6]

ในความพยายามที่จะจัดโครงสร้างหลักสูตรของเรขาคณิตในรัสเซีย ฟแนะนำนำเสนอภายใต้การมองของแปลง เพื่อให้มีการจัดโครงสร้างหลักสูตรเรขาคณิตตามทฤษฎีเซต นี้นำไปสู่การปรากฏของคำว่า "แผง" ในโรงเรียน สำหรับตัวเลขที่ก่อนเรียกว่า "เท่า": เนื่องจากตัวเลขที่เห็นเป็นชุดของจุด มันอาจจะเท่ากับตัวเอง และสามเหลี่ยมสองที่สามารถซ้อนกันได้ โดย isometries ได้กล่าวว่า มีแผง[2]

เขียนแสดงความสำคัญของกลุ่มทฤษฎีการแปลงทางเรขาคณิตเป็นดังนี้:

ผมไปบางปัญหาการพัฒนาจากหลักแรกทฤษฎีกลุ่มทั้งหมดที่ฉันต้องการ มีความตั้งใจที่หนังสือของฉันสามารถใช้เป็นคำแนะนำแรกกลุ่มแปลง และความเข้าใจของทฤษฎีกลุ่มนามธรรมถ้าคุณไม่เคยเห็นเหล่านี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิตการแปลง ( หรือรูปทรงเรขาคณิตที่เปลี่ยนแปลง ) เป็นชื่อของวิธีการทางคณิตศาสตร์ และอาจารย์เพื่อเรียนเรขาคณิต โดยเน้นในกลุ่มของการแปลงทางเรขาคณิต และคุณสมบัติของตัวเลขที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้พวกเขา มันเป็นตรงข้ามกับวิธีการสังเคราะห์เรขาคณิตคลาสสิกของใช้รูปทรงเรขาคณิตที่เน้นรูปทรงเรขาคณิตกัน

ตัวอย่างในเรขาคณิตการแปลง สมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วมี deduced จากความจริงที่ว่ามันเป็นแมปเองโดยการสะท้อนเกี่ยวกับเส้นบาง นี้แตกต่างกับปรู๊ฟคลาสสิกเกณฑ์ความสอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยม [ 1 ]

แรกพยายามใช้ระบบการแปลงเป็นรากฐานของเรขาคณิตที่ทำโดย Felix Klein ในศตวรรษที่ 19 ,ภายใต้ชื่อ Erlangen ) เป็นเวลาเกือบศตวรรษที่วิธีการนี้ยังคงคับวงการวิจัยคณิตศาสตร์ ในศตวรรษที่ 20 ความพยายามที่จะใช้ประโยชน์จากมันเพื่อการศึกษาคณิตศาสตร์ แอนดรูว์แอนเดอร์สันรวมวิธีการนี้ ( ด้วยกันกับทฤษฎีเซต ) เป็นส่วนหนึ่งของข้อเสนอเพื่อการปฏิรูปการสอนเรขาคณิตในประเทศรัสเซีย[ 2 ] ความพยายามเหล่านี้ culminated ในยุคที่มีการปฏิรูปทั่วไปของการสอนคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันเป็นขบวนการทางคณิตศาสตร์ใหม่

สอนการแปลงเรขาคณิต [ แก้ไข ]
การสำรวจการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตที่มักจะเริ่มต้นด้วยการศึกษาภาพสะท้อนสมมาตรที่พบในชีวิตประจําวัน . การเปลี่ยนแปลงที่แท้จริงคือภาพสะท้อนในบรรทัดหรือสะท้อนกับแกนองค์ประกอบของทั้งสองสะท้อนผลในการหมุนเมื่อเส้นตัด หรือการแปล เมื่อพวกเขาถูกขนาน จึงผ่านการใช้นักเรียนเรียนรู้เกี่ยวกับเครื่องบิน isometry . ตัวอย่างเช่นพิจารณาสะท้อนในแนวตั้งและแนวเอียง 45 องศากับแนวราบหนึ่งสามารถสังเกตว่าหนึ่งในองค์ประกอบผลผลิต เคาน์เตอร์เปิดไตรมาส ( 90 องศาตามเข็มนาฬิกา ) ในขณะที่ย้อนกลับองค์ประกอบผลผลิตไตรมาสตามเข็มนาฬิกาเลี้ยว ผลดังกล่าวแสดงให้เห็นว่าเรขาคณิตการแปลงรวมถึงไม่มีการสับเปลี่ยนกระบวนการ

สนุกสนานการสะท้อนให้เห็นในบรรทัดเกิดขึ้นในหลักฐานหนึ่งที่พบในพื้นที่เจ็ดสามเหลี่ยมสามเหลี่ยม

อีกแปลง แนะนำให้น้องๆ คือ ขยาย อย่างไรก็ตาม การสะท้อน เป็นวงกลม การดูที่เกรดต่ำกว่า ดังนั้น อินเวอร์ชัน ( เรขาคณิต ) , การศึกษาขนาดใหญ่กว่าโรงเรียนเกรดการแปลงเรขาคณิต มักจะสงวนไว้สำหรับนักศึกษาวิทยาลัย การทดลอง

กลุ่มสมมาตรคอนกรีต ทำทางทฤษฎีกลุ่มนามธรรมรูปธรรมอื่น ๆที่ใช้คำนวณตัวเลขที่ซับซ้อนตัวเลขคอมเพล็กซ์ หรือเมทริกซ์แสดงเรขาคณิตการแปลง บทเรียนเรขาคณิตการแปลงดังกล่าวนำเสนอมุมมองอื่นที่แตกต่างกับเรขาคณิตสังเคราะห์คลาสสิก เมื่อนักเรียนแล้วพบเรขาคณิตวิเคราะห์ ความคิดของการหมุนประสานงานและสะท้อนตามได้อย่างง่ายดายแนวคิดทั้งหมดนี้เตรียมพีชคณิตเชิงเส้นที่สะท้อนแนวคิดขยาย

อาจารย์ได้แสดงความสนใจและอธิบายโครงการและประสบการณ์กับการแปลงเรขาคณิตสำหรับเด็กตั้งแต่ระดับอนุบาลถึงมัธยมปลาย ในกรณีของเด็กที่อายุยังน้อยมาก ,เพื่อหลีกเลี่ยงการแนะนำคำศัพท์ใหม่และเพื่อให้เชื่อมโยงกับนักเรียนทุกวัน สัมผัสกับวัตถุคอนกรีต มันก็แนะนำให้ใช้คำที่พวกเขาจะคุ้นเคยกับแบบ " พลิก " สายสะท้อน " ภาพนิ่ง " แปล และ " เปลี่ยน " สำหรับในประเทศไทย ถึงแม้ว่าเหล่านี้จะไม่ได้ภาษาคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนขึ้น ในบางข้อเสนอนักเรียนเริ่มโดยการดำเนินการกับวัตถุคอนกรีตก่อนที่จะทำการแปลงนามธรรมของพวกเขาผ่านความหมายของแผนที่ จุดแต่ละจุดของรูป [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

ในความพยายามที่จะปรับโครงสร้างหลักสูตรเรขาคณิตในรัสเซีย แอนเดอร์สัน แนะนำเสนอภายใต้มุมมองของแปลง ดังนั้น ทางหลักสูตรได้มีโครงสร้างตามทฤษฎีการตั้งค่า .นี้นำไปสู่ลักษณะที่ปรากฏของคำว่า " ความ " ในโรงเรียน สำหรับตัวเลขที่ถูกเรียกว่าก่อน " เท่ากับ " : ตั้งแต่รูปที่เห็นเป็นจุด ชุด มันสามารถ เท่ากับตัวเอง และสามเหลี่ยม ที่อาจทับซ้อนกัน โดย isometries ว่ากันว่าหลัง [ 2 ]

หนึ่งผู้เขียนได้แสดงความสำคัญของทฤษฎีกลุ่มเพื่อการแปลงเรขาคณิต ดังนี้

ฉันต้องไปที่ปัญหาเพื่อพัฒนาจากหลักการแรกทุกกลุ่มทฤษฎีที่ผมต้องการ กับความตั้งใจที่หนังสือของฉันสามารถใช้เป็นบทแรกในกลุ่มการเปลี่ยนแปลง , และความคิดของทฤษฎีกลุ่มนามธรรม ถ้าคุณไม่เคยเห็นเหล่านี้