Helping Students Form Integrated, C

Helping Students Form Integrated, Connected Concept Images of Functions
over the past 25 years many researchers, in many countries, have investigated the extent to which secondary and post-secondary mathematics students can benefit from learning algebra within learning environments which feature multiple embodiments of concepts and offer algebra content from different perspectives (see, e.g., Amit & Fried, 2005: Ballard, 2000; Cohen, 1995; Duval, 2006: Goldin, 2002; Lesh, Post, & Behr, 1987). Although, the findings are hardly definitive (Keller & Hirsch, 1998: Knuth, 2000a, 2000b), it has become received tradition among mathematics educators that good teachers of secondary school algebra should attempt to help their students develop concept images of functions which feature mathematically sound links between numerical, verbal, symbolic and graphical representations (Dreyfus & Eisenberg, 1983 Institute for the Promotion of Teaching Science and Technology (PST, 2004; National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1989, 2000). In particular, scholars agree that students should be encouraged to develop techniques that enable them to move easily between different representations of functions (Dreyfus & Eisenberg, 1983; Gagné & White, 1978; Ruthven, 1990). The need for such research has been heightened by rapid changes in the availability and use of modern technology-especially graphing calculators and computer algebra systems (Goos,Galbraith, Renshaw,&Geiger, 2003: Interactive Educational Systems Design, 2003. Khoju, Jacivw, & Miller, 2005; Lagrange, 2005; Rider, 2004, Thomas, Wilson, Corballis, & Lim, 2008). One of the key content themes of secondary and post-secondary algebra is that of functions, especially functions in which the and es are sets of real In secondary algebra curricula across the world there is a numbers. common expectation that students will learn to move freely between tabular, and graphical representations of Figure for example, shows four common ways of representing the function for it is not Technically, the first (numerical) representation is incomplete, clear whether the domain contains only the integers -2, 2. important pedagogical challenge presented by the distinction between different representations of the same function is how to beach in ways that will enable students to link the different forms representation. This raises issues like: (a) When is it reasonable to expect students to be able to represent functions in the different ways? (b) How can teachers help students to develop fluency in moving between the forms of representation? And, (c) What are the kinds of concept images that students develop as they learn to move between the different forms of representations? For example, it might be expected that after a sequence of lessons o quadratic functions, the four forms of representation shown in Figure 1 would be linked together in each student structures, and that in response t a stimulus command such as "Sketch the graph would immediately think of the parabola depicted on the right side of Figure 1 There should be no need for students to construct the numerical form of Figure 1) or develop a verbal form, but if challenged to do so they should be able to do that with confidence and accuracy.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แบบฟอร์มช่วยเหลือนักเรียนรวม ภาพแนวคิดของฟังก์ชันการเชื่อมต่อ over the past 25 years many researchers, in many countries, have investigated the extent to which secondary and post-secondary mathematics students can benefit from learning algebra within learning environments which feature multiple embodiments of concepts and offer algebra content from different perspectives (see, e.g., Amit & Fried, 2005: Ballard, 2000; Cohen, 1995; Duval, 2006: Goldin, 2002; Lesh, Post, & Behr, 1987). Although, the findings are hardly definitive (Keller & Hirsch, 1998: Knuth, 2000a, 2000b), it has become received tradition among mathematics educators that good teachers of secondary school algebra should attempt to help their students develop concept images of functions which feature mathematically sound links between numerical, verbal, symbolic and graphical representations (Dreyfus & Eisenberg, 1983 Institute for the Promotion of Teaching Science and Technology (PST, 2004; National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1989, 2000). In particular, scholars agree that students should be encouraged to develop techniques that enable them to move easily between different representations of functions (Dreyfus & Eisenberg, 1983; Gagné & White, 1978; Ruthven, 1990). The need for such research has been heightened by rapid changes in the availability and use of modern technology-especially graphing calculators and computer algebra systems (Goos,Galbraith, Renshaw,&Geiger, 2003: Interactive Educational Systems Design, 2003. Khoju, Jacivw, & Miller, 2005; Lagrange, 2005; Rider, 2004, Thomas, Wilson, Corballis, & Lim, 2008). One of the key content themes of secondary and post-secondary algebra is that of functions, especially functions in which the and es are sets of real In secondary algebra curricula across the world there is a numbers. common expectation that students will learn to move freely between tabular, and graphical representations of Figure for example, shows four common ways of representing the function for it is not Technically, the first (numerical) representation is incomplete, clear whether the domain contains only the integers -2, 2. important pedagogical challenge presented by the distinction between different representations of the same function is how to beach in ways that will enable students to link the different forms representation. This raises issues like: (a) When is it reasonable to expect students to be able to represent functions in the different ways? (b) How can teachers help students to develop fluency in moving between the forms of representation? And, (c) What are the kinds of concept images that students develop as they learn to move between the different forms of representations? For example, it might be expected that after a sequence of lessons o quadratic functions, the four forms of representation shown in Figure 1 would be linked together in each student structures, and that in response t a stimulus command such as "Sketch the graph would immediately think of the parabola depicted on the right side of Figure 1 There should be no need for students to construct the numerical form of Figure 1) or develop a verbal form, but if challenged to do so they should be able to do that with confidence and accuracy.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ช่วยให้นักเรียนแบบบูรณาการแนวคิดที่เกี่ยวโยงกันแสดงฟังก์ชั่น
ที่ผ่านมา 25 ปีนักวิจัยหลายคนในหลายประเทศมีการสอบสวนขอบเขตที่นักเรียนคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาและระดับมัธยมศึกษาที่ได้รับประโยชน์จากการเรียนรู้พีชคณิตภายในสภาพแวดล้อมการเรียนรู้ซึ่งมีหลาย embodiments ของแนวคิดและ นำเสนอเนื้อหาพีชคณิตจากมุมมองที่แตกต่างกัน (ดูเช่น Amit และทอด 2005: บัลลาร์ด 2000 โคเฮน, 1995; Duval, 2006: Goldin 2002; เลชโพสต์และ Behr, 1987) แม้ว่าผลการวิจัยแทบจะไม่ชัดเจน (เคลเลอร์และเฮิร์ช 1998: นู, 2000a, 2000b) มันได้กลายเป็นได้รับประเพณีในหมู่นักการศึกษาคณิตศาสตร์ว่าครูที่ดีของพีชคณิตโรงเรียนมัธยมควรพยายามที่จะช่วยให้นักเรียนของพวกเขาพัฒนาภาพแนวคิดของฟังก์ชั่นที่มีทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยงเสียงระหว่างตัวเลขวาจาสัญลักษณ์และกราฟิกการแสดง (เดรย์ฟั & Eisenberg 1983 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (PST 2004; สภาแห่งชาติของครูคณิตศาสตร์ (NCTM) 1989, 2000) โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักวิชาการ. ยอมรับว่านักเรียนควรได้รับการส่งเสริมการพัฒนาเทคนิคที่ช่วยให้พวกเขาที่จะย้ายได้อย่างง่ายดายระหว่างการแสดงที่แตกต่างกันของฟังก์ชั่น (เดรย์ฟั & Eisenberg 1983; Gagné & White 1978; รูทเวน 1990). ความจำเป็นในการวิจัยดังกล่าวได้รับการมีความคิดริเริ่มจากการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วใน ความพร้อมและการใช้งานของเครื่องคิดเลขที่ใช้เทคโนโลยีที่ทันสมัยโดยเฉพาะอย่างยิ่งการแสดงกราฟและระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ (gOOS, Galbraith, Renshaw และไกเกอร์ 2003: การศึกษาเชิงโต้ตอบการออกแบบระบบ 2003 Khoju, Jacivw และมิลเลอร์ 2005 Lagrange 2005; ไรเดอร์ปี 2004 โทมัสวิลสัน Corballis & Lim, 2008) หนึ่งในรูปแบบเนื้อหาที่สำคัญของพีชคณิตมัธยมศึกษาและระดับมัธยมศึกษาที่เป็นที่ของฟังก์ชั่นโดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชั่นที่และ ES เป็นชุดของจริงในหลักสูตรพีชคณิตรองทั่วโลกมีตัวเลข ความคาดหวังทั่วไปที่นักเรียนจะได้เรียนรู้ที่จะย้ายได้อย่างอิสระระหว่างตารางและการแสดงกราฟิกของรูปตัวอย่างแสดงให้เห็นถึงสี่วิธีร่วมกันของตัวแทนของฟังก์ชั่นมันไม่ได้เป็นเทคนิคแรก (ตัวเลข) ผู้แทนจะไม่สมบูรณ์ชัดเจนว่าโดเมนมีเพียง จำนวนเต็ม -2, 2. ความท้าทายที่สำคัญการเรียนการสอนที่นำเสนอโดยความแตกต่างระหว่างการแสดงที่แตกต่างกันของฟังก์ชั่นเดียวกันเป็นวิธีการที่ชายหาดในวิธีการที่จะช่วยให้นักเรียนที่จะเชื่อมโยงการแสดงในรูปแบบที่แตกต่างกัน นี้ทำให้เกิดปัญหาเช่น (ก) เมื่อมันมีเหตุผลที่จะคาดหวังให้นักเรียนที่จะสามารถที่จะเป็นตัวแทนของฟังก์ชั่นในรูปแบบที่แตกต่างกันหรือไม่? (ข) วิธีครูสามารถช่วยให้นักเรียนที่จะพัฒนาความคล่องแคล่วในการย้ายระหว่างรูปแบบของการเป็นตัวแทนหรือไม่? และ (ค) สิ่งที่เป็นชนิดของภาพแนวคิดที่นักเรียนพัฒนาขณะที่พวกเขาเรียนรู้ที่จะย้ายไปมาระหว่างรูปแบบที่แตกต่างกันของการแสดง? ยกตัวอย่างเช่นมันอาจจะคาดหวังว่าหลังจากที่ลำดับของบทเรียน o ฟังก์ชันกำลังสองเป็นสี่รูปแบบของการเป็นตัวแทนที่แสดงในรูปที่ 1 จะได้รับการเชื่อมโยงกันในแต่ละโครงสร้างของนักเรียนและว่าในการตอบสนอง TA คำสั่งกระตุ้นเศรษฐกิจเช่น "วาดกราฟจะทันที คิดว่าพาราโบลาภาพบนด้านขวาของรูปที่ 1 ควรจะมีความจำเป็นสำหรับนักเรียนที่จะสร้างรูปแบบตัวเลขของรูปที่ 1) หรือพัฒนารูปแบบวาจาไม่มี แต่ถ้าท้าทายที่จะทำเช่นนั้นพวกเขาควรจะสามารถที่จะทำด้วยความมั่นใจและ ความถูกต้อง