These descriptions of the real numb

These descriptions of the real numbers are not sufficiently rigorous by the modern standards of pure mathematics. The discovery of a suitably rigorous definition of the real numbers – indeed, the realization that a better definition was needed – was one of the most important developments of 19th century mathematics. The currently standard axiomatic definition is that real numbers form the unique Archimedean complete totally ordered field (R ; + ; · ;

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คำอธิบายเหล่านี้ของจริงไม่เข้มงวดเพียงพอตามมาตรฐานทันสมัยของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ค้นหาคำจำกัดความที่เหมาะสมอย่างเข้มงวดของจำนวนจริงจริง กระทั่งว่า คำนิยามที่ดีไม่จำเป็น – เป็นหนึ่งในการพัฒนาที่สำคัญที่สุดของศตวรรษที่ 19 คณิตศาสตร์ คำนิยาม axiomatic มาตรฐานอยู่ที่ จำนวนจริงแบบ Archimedean เฉพาะที่เสร็จสมบูรณ์ทั้งหมดสั่งฟิลด์ (R; +; ·; <), ถึงการ isomorphism, [1] ในขณะที่ข้อกำหนดสร้างสรรค์นิยมของจำนวนจริงรวมประกาศนั้นเป็นเทียบเท่าเรียนอสมการโคชีลำดับของตรรก Dedekind ตัด หรือบางอย่างไม่มีขีดจำกัด "ทศนิยมแทน" ร่วมกับการตีความที่ชัดเจนสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ของใบสั่ง ข้อกำหนดเหล่านี้จะเทียบเท่าในขอบเขตของคณิตศาสตร์คลาสสิกตัวเลขจริงมีอังกฤษ กล่าวคือ: ในขณะที่ชุดของตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดและชุดของตัวเลขจำนวนจริงทั้งหมดเป็นชุดอนันต์ สามารถมีฟังก์ชันไม่แบบหนึ่งต่อหนึ่งจากตัวเลขจริงกับตัวเลขธรรมชาติ: จำนวนนับของชุดของจำนวนจริงทั้งหมด (สามารถบุ mathfrak c และเรียกจำนวนนับของสมิติ) เป็นอย่างเคร่งครัดมากกว่าภาวะเชิงการนับของชุดของตัวเลขธรรมชาติทั้งหมด (สามารถบุ aleph_0) งบที่มีไม่ย่อยตัวเลขจริงกับภาวะเชิงการนับอย่างเคร่งครัดมากกว่า aleph_0 และเคร่งครัดน้อยกว่า mathfrak c เรียกว่าสมมติฐานความต่อเนื่อง (CH) เป็นที่รู้จักกันจะไม่มี provable หรือ refutable โดยใช้สัจพจน์ของทฤษฎี Zermelo – Fraenkel เซต (ZF), มูลนิธิมาตรฐานวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ในแง่ที่ว่า บางรุ่นของ ZF ตอบสนอง CH ในขณะที่ผู้อื่นละเมิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คำอธิบายเหล่านี้ของจำนวนจริงไม่เพียงพออย่างเข้มงวดตามมาตรฐานที่ทันสมัยของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ การค้นพบความหมายที่เข้มงวดเหมาะสมของจำนวนจริง - จริงตระหนักว่าความหมายที่ดีขึ้นเป็นสิ่งที่จำเป็น - เป็นหนึ่งในการพัฒนาที่สำคัญที่สุดของศตวรรษที่ 19 คณิตศาสตร์ คำนิยามที่เป็นจริงในปัจจุบันมาตรฐานคือว่าตัวเลขที่แท้จริงในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกัน Archimedean สมบูรณ์สนามที่สั่งซื้อทั้งหมด (R; + · <) กับมอร์ฟ [1] ในขณะที่คำจำกัดความที่สร้างสรรค์เป็นที่นิยมของจำนวนจริงรวมถึงการประกาศว่าพวกเขาเป็นชั้นสมมูลของ Cauchy ลำดับของตัวเลขเหตุผลตัด Dedekind หรือบางอย่างที่ไม่มีที่สิ้นสุด "การแสดงทศนิยม" ร่วมกับการตีความที่ถูกต้องสำหรับดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์การสั่งซื้อ คำนิยามเหล่านี้เทียบเท่าในดินแดนของคณิตศาสตร์คลาสสิก. reals มีนับไม่ได้; ที่อยู่: ในขณะที่ทั้งสองชุดของตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดและชุดของตัวเลขจริงทั้งหมดเป็นชุดที่สิ้นสุดจะไม่มีฟังก์ชั่นแบบหนึ่งต่อหนึ่งจากตัวเลขจริงไปยังหมายเลขธรรมชาติ cardinality ชุดของตัวเลขจริงทั้งหมด (แสดง mathfrak คและเรียกภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง) เป็นอย่างเคร่งครัดมากกว่า cardinality ของชุดของตัวเลขธรรมชาติทั้งหมด (แสดง aleph_0) คำสั่งที่มีส่วนย่อยไม่มี reals กับภาวะเชิงการนับอย่างเคร่งครัดมากกว่า aleph_0 อย่างเคร่งครัดและมีขนาดเล็กกว่า mathfrak คเป็นที่รู้จักกันสมมติฐาน continuum (CH) มันเป็นที่รู้จักกันจะไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างโดยใช้หลักการของ Zermelo-Fraenkel ทฤษฎีเซต (ZF) มาตรฐานรากฐานของคณิตศาสตร์ที่ทันสมัยในแง่ที่ว่ารูปแบบของความพึงพอใจ ZF CH บางขณะที่คนอื่นละเมิดมัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เหล่านี้อธิบายของตัวเลขจริงไม่เพียงพอ อย่างเข้มงวด ตามมาตรฐานใหม่ของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ การค้นพบความหมายที่เคร่งครัดเหมาะสมของตัวเลขจริง ) แน่นอน การรับรู้ที่เป็นนิยามที่ดีเป็นที่ต้องการและเป็นหนึ่งของการพัฒนาที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 19ปัจจุบันมาตรฐานคำนิยามสัจพจน์ที่ตัวเลขจริงฟอร์มกันเสร็จทั้งหมดสั่ง Archimedean ฟิลด์ ( R ; ด้วย ; < ) ขึ้นเป็นก้อน , [ 1 ] แต่ที่นิยมสร้างสรรค์คำนิยามของตัวเลขที่แท้จริง รวมถึงการประกาศว่าเป็นชั้นเรียน Cauchy ลำดับเหตุผลตัวเลข Dedekind ตัด หรือบางอนันต์ " ทศนิยมแทน " ,ด้วยการตีความที่แม่นยำสำหรับเลขคณิตการดำเนินการและเพื่อความสัมพันธ์ คำนิยามเหล่านี้เทียบเท่าในขอบเขตของคณิตศาสตร์คลาสสิก . .

reals อีกนับไม่ถ้วน นั่นคือ : ในขณะที่ทั้งสองชุดของตัวเลขที่เป็นธรรมชาติทั้งหมด และเซตของจำนวนจริงทั้งหมดเป็นชุดอนันต์ , ไม่มีหนึ่งต่อหนึ่งฟังก์ชันจากตัวเลขจริงในธรรมชาติ :มีภาวะเชิงการนับของชุดของตัวเลขจริงทั้งหมด ( แทน N mathfrak C และเรียกว่าภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง ) อย่างเคร่งครัดมีค่ามากกว่าภาวะเชิงการนับของเซตจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ( แทน N aleph_0 ) แถลงว่าไม่มีย่อย reals ที่มีภาวะเชิงการนับมากกว่าอย่างเคร่งครัดกว่า aleph_0 อย่างเคร่งครัดและมีขนาดเล็กกว่า N mathfrak C เรียกว่าสมมติฐานดังกล่าว ( CH )มันเป็นที่รู้จักกันเป็นไม่ที่หรือโต้แย้งไม่ได้ใช้สัจพจน์ของทฤษฎีเซต– แฟรงเกลเซอร์เมโล ( ZF ) , มูลนิธิมาตรฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ในแง่ที่ว่าบางรุ่นของ ZF ตอบสนอง CH ในขณะที่คนอื่น

ละเมิดมัน