Abstract. A matrix-valued measure Θ

Abstract. A matrix-valued measure Θ reduces to measures of smaller size if there exists
a constant invertible matrix M such that MΘM∗
is block diagonal. Equivalently, the real
vector space A of all matrices T such that TΘ(X) = Θ(X)T
∗
for any Borel set X is nontrivial.
If the subspace Ah of self-adjoints elements in the commutant algebra A of Θ is nontrivial,
then Θ is reducible via a unitary matrix. In this paper we prove that A is ∗-invariant
if and only if Ah = A , i.e., every reduction of Θ can be performed via a unitary matrix.
The motivation for this paper comes from families of matrix-valued polynomials related to
the group SU(2) × SU(2) and its quantum analogue. In both cases the commutant algebra
A = Ah ⊕ iAh is of dimension two and the matrix-valued measures reduce unitarily into
a 2 × 2 block diagonal matrix. Here we show that there is no further non-unitary reduction.
Key words: matrix-valued measures; reducibility; matrix-valued orthogonal polynomials

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อ Θวัดเมตริกซ์มูลค่าการลดมาตรการของขนาดเล็กถ้ามีคงสามารถหาอินเวอร์สเมตริกซ์ M ดังกล่าว MΘM∗ ที่เป็นบล็อกเส้นทแยงมุม จริง equivalentlyเวกเตอร์ A ของเมทริกซ์ทั้งหมด T ดังกล่าวว่า TΘ(X) =Θ (X) T∗มีชุดโบเรล X เป็น nontrivialถ้า subspace Ah ขององค์ประกอบเอง adjoints ในพีชคณิต commutant A ของΘ nontrivialจาก Θเป็น reducible ผ่านเมทริกซ์นอร์โฟล์ก ในเอกสารนี้ เราพิสูจน์ว่า เป็นบล็อก∗ถ้า และ ถ้า Ah = A เช่น สามารถดำเนินการผ่านเมทริกซ์นอร์โฟล์กลดทุกΘแรงจูงใจสำหรับบทความนี้มาจากครอบครัวของเมตริกซ์มูลค่าดำรงพระพุทธศาสนาที่เกี่ยวข้องกับกลุ่ม SU(2) × SU(2) และอนาล็อกของควอนตัม ในทั้งสองกรณีพีชคณิต commutantA = Ah iAh ดังนั้นเป็นของสองมิติ และมาตรการเมตริกซ์มูลค่าลดลง unitarily2 × 2 เมทริกซ์ทแยงมุมบล็อก ที่นี่เราแสดงว่าเพิ่มลดนอร์โฟล์กคำสำคัญ: มาตรการค่าเมตริกซ์ reducibility เมตริกซ์ค่ามุมฉากดำรงพระพุทธศาสนา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นามธรรม. เมทริกซ์มูลค่าวัดΘลดมาตรการของขนาดที่เล็กกว่าถ้ามี
อย่างต่อเนื่อง M เมทริกซ์ผกผันดังกล่าวว่าMΘM *
เป็นบล็อกเส้นทแยงมุม เท่าจริง
เวกเตอร์พื้นที่ทั้งหมดของการฝึกอบรม T ดังกล่าวว่าTΘ (X) = Θ (X) T
*
สำหรับ Borel ใด ๆ ตั้ง X คือขี้ปะติ๋ว.
ถ้าสเปซอาขององค์ประกอบ adjoints ตนเองในพีชคณิต commutant ของΘเป็นขี้ปะติ๋ว ,
แล้วΘคือซึ้งทำให้ผ่านเมทริกซ์รวม ในบทความนี้เราพิสูจน์ได้ว่าเป็น * -invariant
ถ้าหากอา = A, เช่นการลดลงของΘทุกคนสามารถที่จะดำเนินการผ่านทางเมทริกซ์รวม.
แรงจูงใจสำหรับกระดาษนี้มาจากครอบครัวของพหุนามเมทริกซ์มูลค่าที่เกี่ยวข้องกับ
กลุ่ม SU (2) × SU (2) และอะนาล็อกของควอนตัม ในทั้งสองกรณี commutant พีชคณิต
A = อา⊕ IAH เป็นมิติที่สองและมาตรการเมทริกซ์ที่มีมูลค่าลดลงใน unitarily
2 × 2 บล็อกเมทริกซ์ทแยงมุม ที่นี่เราแสดงให้เห็นว่าไม่มีการลดลงที่ไม่รวมต่อไป.
คำสำคัญ: มาตรการเมทริกซ์มูลค่า; reducibility; เมทริกซ์มูลค่า polynomials มุมฉาก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นามธรรม เมทริกซ์มูลค่าวัดΘลดมาตรการขนาดเล็กถ้าที่มีอยู่คง invertible เมทริกซ์ M M M ∗Θดังกล่าวว่าเป็นบล็อกในแนวทแยง ก้อง , จริงเวกเตอร์พื้นที่ทั้งหมดของเมทริกซ์ T เช่นที่Θ T ( x ) = Θ ( x ) T∗สำหรับโบเรลชุด X นอนทริเวียล .ถ้าได้อาของตนเอง adjoints องค์ประกอบใน commutant พีชคณิตของΘนอนทริเวียล คือ ,แล้วΘคือลดผ่านเมทริกซ์แบ่งออกเป็น ในกระดาษนี้เราพิสูจน์ได้ว่าเป็น∗ - ค่าคงที่ถ้าและเพียงถ้าอา = คือ ทุกๆ การลดΘสามารถดำเนินการผ่านทางเมตริกซ์แบ่งออกเป็นในกระดาษนี้มาจากครอบครัวที่มีชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำที่เกี่ยวข้องกับของเมทริกซ์กลุ่มซู ( 2 ) ×ซู ( 2 ) และแบบอนาล็อก ในทั้งสองกรณี commutant พีชคณิต= อ่า⊕ iah เป็นสองมิติ และมีมาตรการลด unitarily เข้าไปในเมทริกซ์2 × 2 บล็อกเมทริกซ์ทแยงมุม . ที่นี่เราแสดงให้เห็นว่าไม่มีเพิ่มเติมรวมไม่ลดลงคำสำคัญ : เมทริกซ์มีมาตรการ ; ลดลง ; เมทริกซ์พหุนามเชิงตั้งฉากจำกัด