​Proposition 43For any parallelogra

​
Proposition 43
For any parallelogram, the complements of the parallelograms about the diagonal are equal to one another. Let ABCD be a parallelogram, and AC its diagonal. And let EH and FG be the parallelograms about AC, and BK and KD the so-called complements (about AC). I say that the complement BK is equal to the complement KD.
For since ABCD is a parallelogram, and AC its diagonal, triangle ABC is equal to triangle ACD [Prop. 1.34]. Again, since EH is a parallelogram, and AK is its diagonal, triangle AEK is equal to triangle AHK [Prop. 1.34]. So, for the same (reasons), triangle KFC is also equal to (triangle) KGC. Therefore, since triangle AEK is equal to triangle AHK, and KFC to KGC, triangle AEK plus KGC is equal to triangle AHK plus KFC. And the whole triangle ABC is also equal to the whole (triangle) ADC. Thus, the remaining complement BK is equal to the remaining complement K D.
Thus, for any parallelogramic figure, the complements of the parallelograms about the diagonal are equal to one another. (Which is the very thing it was required to show.
Proposition 44
To apply a parallelogram equal to a given triangle to a given straight-line in a given rectilinear angle.
Let AB be the given straight-line, C the triangiven gle, and D he given rectilinear angle. So it is required to apply a parallelogram equal to the given triangle C to the given straight-line AB in an angle equal to (angle) D Let the parallelogram BEFG, equal to the triangle C, have been constructed in the angle EBG, which is equal to D [Prop. 1.42]. And let it have been placed so that BE is straight-on to AB.t And let FG have been drawn through to H, and let AH have been drawn through A. parallel to either of BG or EF [Prop. 1.31], and let HB have been joined. And since the straight-line HF falls across the parallels AH and EF, the (sum of the) angles AHF and HFE is thus equal to two right-angles
[Prop. 1.29]. Thus, (the sum of BHG and GFE is less than two right-angles. And (straight-lines) produced to infinity from (internal angles whose sum is) less than two right-angles meet together [Post. 5]. Thus, being produced, HB and FE will meet together. Let them have been produced, and let them meet together at K. And let KL have been drawn through point K parallel to either of EA or FH [Prop. 1.31]. And let HA and GB have been produced to points L and M (respectively). Thus, HLKF is a parallelogram, and HK its diagonal. And AG and ME (are) parallelograms, and LB and BF the so-called complements, about HK. Thus, LB is equal to BF [Prop. 1.43]. But, BF is equal to triangle C. Thus, LB is also equal to C. Also, since angle GBE is equal to ABM [Prop. 1.15], but GBE is equal to D, ABM is thus also equal to angle D.
Thus, the parallelogram LB, equal to the given triangle C, has been applied to the given straight-line AB in the angle ABM, which is equal to D. (Which is) the very thing it was required to do.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โจทย์ 43
สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนานใด ๆ การเติมเต็มของสี่เหลี่ยมด้านขนานเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมมีค่าเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานและ AC เส้นทแยงมุมของ และให้ EH และ FG เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเกี่ยวกับ AC และ BK และ KD เสริมที่เรียกว่า (ประมาณ AC) ผมบอกว่าสมบูรณ์ BK เท่ากับ KD ส่วนประกอบ.
เพราะว่าตั้งแต่ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานและ AC เส้นทแยงมุมของรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ ACD [Prop 1.34] อีกครั้งตั้งแต่ EH เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานและ AK เป็นเส้นทแยงมุมของรูปสามเหลี่ยมเออีเคเท่ากับสามเหลี่ยม AHK [Prop 1.34] ดังนั้นสำหรับเดียวกัน (เหตุผล), สามเหลี่ยมเคเอฟซีนอกจากนี้ยังมีค่าเท่ากับ (สามเหลี่ยม) KGC ดังนั้นตั้งแต่สามเหลี่ยมเออีเคเท่ากับสามเหลี่ยม AHK และเคเอฟซีที่จะ KGC, สามเหลี่ยมเออีเคบวก KGC เท่ากับสามเหลี่ยม AHK บวกเคเอฟซี และสามเหลี่ยม ABC ทั้งยังมีค่าเท่ากับทั้ง (สามเหลี่ยม) ADC ดังนั้นที่สมบูรณ์เหลือ BK เท่ากับที่สมบูรณ์เหลือ K
ดีดังนั้นสำหรับรูปparallelogramic ใด ๆ การเติมเต็มของสี่เหลี่ยมด้านขนานเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมมีค่าเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง (ซึ่งเป็นสิ่งที่ดีมันก็ต้องแสดง.
โจทย์ 44
เมื่อต้องการใช้สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับสามเหลี่ยมที่กำหนดเพื่อให้เส้นตรงในมุมที่เป็นเส้นตรงที่กำหนด.
ให้ AB จะได้รับเส้นตรงซี triangiven GLE และ D เขาได้รับมุมเป็นเส้นตรง. ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการใช้สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ C รูปสามเหลี่ยมได้รับการกำหนดเส้นตรง AB ในมุมเท่ากับ (มุม) D ให้สี่เหลี่ยมด้านขนาน BEFG เท่ากับสามเหลี่ยมซีได้รับการสร้าง ในมุม EBG ซึ่งเท่ากับ D [Prop. 1.42]. และปล่อยให้มันได้ถูกวางไว้เพื่อที่จะเป็นตรงไป AB.t และให้ FG ได้รับการวาดผ่าน H, AH และให้ได้รับการวาดผ่าน A. ขนานไปกับอย่างใดอย่างหนึ่งหรือ BG EF [Prop. 1.31] และให้ HB ได้รับการเข้าร่วม. และตั้งแต่ HF เส้นตรงตรงข้ามแนว AH และ EF ที่ (ผลรวมของ) มุม AHF และ HFE จึงมีค่าเท่ากับ สองมุมขวา
[Prop. 1.29]. ดังนั้น (ผลรวมของ BHG และ GFE น้อยกว่าสองมุมขวา. และ (สายตรง) ผลิตจากอินฟินิตี้ (มุมภายในที่มีผลรวมเป็น) น้อยกว่าสองขวา มุมพบกัน [โพสต์ 5] ดังนั้นการผลิต, HB FE และจะพบกัน ให้พวกเขามีการผลิตและให้พวกเขาได้พบกันที่เค KL และให้ได้รับการวาดผ่านจุด K ขนานไปกับอย่างใดอย่างหนึ่งหรือ EA FH [Prop 1.31] และปล่อยให้ฮาและ GB ได้รับการผลิตไปยังจุด L และ M (ตามลำดับ) ดังนั้น HLKF เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานและเส้นทแยงมุมของฮ่องกง และเอจีและ ME (เป็น) สี่เหลี่ยมด้านขนานและ LB และ BF เสริมที่เรียกว่าเกี่ยวกับฮ่องกง ดังนั้น LB เท่ากับ BF [Prop 1.43] แต่ BF เท่ากับสามเหลี่ยมซีดังนั้น LB ยังเท่ากับซีนอกจากนี้ตั้งแต่มุม GBE เท่ากับ ABM [Prop 1.15] แต่ GBE เท่ากับ D, ABM
จึงยังเท่ากับมุมที่ดีดังนั้นสี่เหลี่ยมด้านขนานLB ที่เท่ากับ C สามเหลี่ยมให้ถูกนำไปใช้ที่กำหนดเส้นตรง AB ในมุม ABM ซึ่งมีค่าเท่ากับ จะดี (ซึ่งเป็น) สิ่งที่ดีมันก็จำเป็นต้องทำ