Definition 1. We shall say (followi

Definition 1. We shall say (following Cauchy) that the function / : E —» R
tends to A as x tends to a, or that A is the limit of f as x tends to a, if for
every e > 0 there exists S > 0 such that f(x) — A < e for every x G E such
that 0 0 Vx G E (0 < x - a < 6 => f(x) - A < e) .
If A is the limit of f(x) as x tends to a in the set E, we write /(x) —> A as
x —> a, x G £ , or lim f(x) = A. Instead of the expression x —> a, x G E1,
we shall as a rule use the shorter notation E 3 x —> a, and instead of
lim /(x) we shall write lim f(x) = A.
x—>a,x£E E3x—>a
Example 1. Let E = R 0, and f(x) = xsin ^. We shall verify that
lim x sin — = 0 .
E3x^-0 X
Indeed, for a given e > 0 we choose £ = £. Then for 0 < x < 6 = e,
taking account of the inequality |xsin^| < x, we shall have |xsin^| < e.
Incidentally, one can see from this example that a function / : E —> R
may have a limit as E 3 x —> a without even being defined at the point a
itself. This is exactly the situation that most often arises when limits must
be computed; and, if you were paying attention, you may have noticed that
this circumstance is taken into account in our definition of limit, where we
wrote the strict inequality 0 < x — a.
We recall that a neighborhood of a point a G R is any open interval
containing the point.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นิยามที่ 1 เราจะบอกว่า (ต่อ Cauchy) ที่ฟังก์ชัน /: E — » Rมีแนวโน้มที่ A เป็นมีแนวโน้ม x a หรือว่า เป็นขีดจำกัดของ f x มีแนวโน้มที่ได้ สำหรับมีอยู่ทุก e > 0 มี S > 0 ดังกล่าว f(x) ที่ — A < e สำหรับทุก x เช่น E Gที่ 0 < x-a < 5ในตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ เงื่อนไขเหล่านี้เขียนเป็นฉัน Vx G E > 0 36 > 0 (0 < x - a < 6 = > f(x) - A < e)ถ้า A คือ ขีดจำกัดของ f (x) x มีแนวโน้มที่เป็น E ชุด เราเขียน /(x) — > ให้เป็นx — > a, x G £ หรือ lim f (x) = a แทนนิพจน์ x — > a, x G E1เราจะเป็นกฎใช้สัญกรณ์สั้น E 3 x — > a และแทนlim /(x) เราจะเขียน lim f (x) = ax — > a, x£ E E3x — >ตัวอย่างที่ 1 ให้ E = R 0 และ f (x) = xsin ^ เราจะตรวจสอบว่าlim x sin — = 0E3x ^ -0 Xจริง สำหรับกำหนด e > 0 เราเลือก£ = แล้วสำหรับ 0 < x < 6 = eคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกัน | xsin ^ | < ว่าเราจะมี x | xsin ^ | < eโดยบังเอิญ หนึ่งสามารถดูจากตัวอย่างนี้ที่ฟังก์ชัน /: E — > Rอาจมีข้อจำกัดที่เป็น E 3 x — > ที่ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่จุดตัวเอง มีปัญหาตรงที่ส่วนใหญ่มักจะเกิดขึ้นเมื่อต้องการจำกัดคำนวณ และ ถ้าคุณมีความสนใจ คุณอาจได้พบว่าสถานการณ์นี้จะนำเข้าบัญชีของเราความละเอียดของขีดจำกัด ที่เราเขียนอสมการเข้มงวด 0 < x — aเราจำได้ว่าย่านของจุด R G ในช่วงเวลาใด ๆ ที่เปิดที่ประกอบด้วยจุด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นิยาม 1. เราจะพูดว่า (ตาม Cauchy) ที่ฟังก์ชั่น /: E - » R
มีแนวโน้มที่จะตอบในฐานะ x มีแนวโน้มที่จะหรือว่าเป็นขีด จำกัด ของความเป็น F x มีแนวโน้มที่จะเป็นถ้า
ทุก E> 0 มีอยู่ S> 0 ดังกล่าวว่า f (x) - A <E สำหรับทุก x GE ดังกล่าว
. ที่ 0 < X- เป็น <5
ในสัญลักษณ์ตรรกะเงื่อนไขเหล่านี้ถูกเขียนเป็น
ฉัน> 0 36> 0 Vx GE (0 < x - a <6 => f (x) - <e.) A
ถ้าเป็นขีด จำกัด ของ f (x) เป็น x มีแนวโน้มที่จะอยู่ในชุด E เราเขียน / (x) -> แสดง เป็น
x -> เอ็ G £หรือ Lim f (x) = A. แทนที่จะแสดงออก x -> เอ็ G E1,
เราจะเป็นกฎที่ใช้สัญกรณ์ E สั้น 3 x -> และแทน ของ
Lim / (x) เราจะเขียน Lim f (x) = A.
X-> เอ็£ E E3x-> a
ตัวอย่าง 1. Let E = r 0, และ f (x) = xsin ^ เราจะตรวจสอบว่า
Lim x บาป -. = 0
E3X ^ -0 X
แท้จริงสำหรับ E รับ> 0 เราเลือก£ = £ แล้ว 0 < x <6 = E,
คำนึงถึงความไม่สมดุลกัน | xsin ^ | < x , เราจะมี | xsin ^ | <e.
บังเอิญหนึ่งสามารถดูจากตัวอย่างนี้ว่าฟังก์ชั่น /: E -> R
อาจมีการ จำกัด เป็น E 3 x -> โดยไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่จุดที่
ตัวเอง ตรงนี้เป็นสถานการณ์ที่ส่วนใหญ่มักจะเกิดขึ้นเมื่อข้อ จำกัด ต้อง
คำนวณ; และถ้าคุณกำลังให้ความสนใจที่คุณอาจจะสังเกตเห็นว่า
กรณีนี้จะถูกนำมาพิจารณาในความหมายของเราของวงเงินที่เรา
เขียนความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด 0 < x - a.
เราจำได้ว่าย่านของจุดที่ Gr คือ ใด ๆ ที่เปิดในช่วงเวลา
ที่มีจุด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความละเอียด 1 เราจะพูดต่อไปนี้ ( Cauchy ) ฟังก์ชัน / : E - » Rมีแนวโน้มที่จะเป็น x มีแนวโน้มที่จะเป็น หรือเป็นขีด จำกัด ของ f ที่ x มีแนวโน้มที่จะเป็น ถ้าสำหรับทุก E > 0 มีอยู่ S > 0 เช่นว่า f ( x ) - < E สำหรับทุกๆ x G E เช่นที่ 0 < x < 5ในสัญลักษณ์ตรรกะเงื่อนไขเหล่านี้จะเขียนว่าฉัน > 0 36 > 0 VX g e ( 0 < x < 6 = > f ( x ) - < E )ถ้าเป็นขีด จำกัด ของ f ( x ) x มีแนวโน้มที่จะเป็นในชุด E เราเขียน / ( x ) -- > เป็นx - > X G งหรือลิม f ( x ) = A แทนการแสดงออก x - > X G E1 ,เราก็จะเป็นกฎที่ใช้สั้น โน้ต E 3 x - > และแทนลิม / ( X ) เราก็จะเขียน lim f ( x ) = Ax - > X ง E e3x - >ตัวอย่าง 1 ให้ E = r 0 , f ( x ) = xsin ^ ^ เราต้องตรวจสอบว่าลิม x บาป = 0e3x ^ 0 Xแน่นอน ให้ E > 0 เราเลือกง = ง . แล้ว 0 < x < 6 = Eการบัญชีของความไม่เท่าเทียมกัน | xsin ^ | < X เราก็จะ | xsin ^ | < Eอนึ่ง หนึ่งสามารถดูจากตัวอย่างนี้ว่า ฟังก์ชัน / : E - > Rอาจมีการ จำกัด เป็น E 3 x - > โดยไม่ถูกกำหนดที่จุดนั่นเอง นี่เป็นสถานการณ์ที่มักเกิดขึ้นเมื่อต้อง จำกัดคำนวณ และ ถ้าคุณสนใจ คุณอาจจะได้สังเกตเห็นว่าสถานการณ์นี้เป็นที่เข้าบัญชีในนิยามของลิมิตที่เราเขียนอย่างเท่าเทียมกัน 0 < x - aเราจำได้ว่า เพื่อนบ้านของจุด G r คือช่วงเวลาใดเปิดที่มีจุด