in increasing stages of subtlety un

in increasing stages of subtlety until a formal definition is reached and then
briefly used at the end of the course. We may legitimately ask what concept
image is produced by these tactics and whether the formal concept definition is
thoroughly integrated into this image. On this matter to date we only have data
collected from students arriving at an English university having taken a variety
of different ‘advanced level’ courses in their last two years at school. In a
questionnaire for mathematics students arriving at University, students were
asked if they had met the concept of the limit of a sequence s1, s2, … , sn, … at
school, either with a precise definition, informally or not at all. They were then
all asked to find the limits of certain sequences, including
lim
n®¥
1+ 9
10
+ 9
100
+K+ 9
10n
æè
öø
.
After being asked to write down the definition of a limit (if they knew one),
they were asked to say whether 0 ×˙9 (nought point nine recurring) was equal to 1,
or just less, giving the reason for their answer. The details of their responses are
discussed in Tall (1977a). A number contained potential conflicts. A
mathematician might consider that the computation of the limit in (1) above was
a similar problem to the question of 0 ×˙9 . On the contrary, fourteen out of 36
students claimed
lim
n®¥
1+ 9
10
+ 9
100
+K+ 9
10n
æè
öø
= 2 but 0 ×˙9

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในการเพิ่มขั้นตอนของถึงความละเอียดอ่อนจนถึงคำนิยามอย่างเป็นทางการแล้วใช้เวลาสั้น ๆ ในตอนท้ายของหลักสูตร เราอาจขอให้แนวคิดว่าถูกต้องตามกฎหมายรูปผลิตกลยุทธ์เหล่านี้และเป็นการกำหนดแนวทางอย่างรวมอยู่ในภาพนี้ ในวันที่ เรามีข้อมูลรวบรวมจากนักเรียนที่มหาวิทยาลัยอังกฤษมีมามากมายหลักสูตรต่าง ๆ 'ระดับขั้นสูง' ในปีสองตัวสุดท้ายที่โรงเรียน ในการแบบสอบถามสำหรับผู้เรียนคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย นักเรียนมีถ้า พวกเขาได้ไปตามแนวคิดของจำนวนเป็นลำดับ s1, s2,..., sn,...ที่ถามโรงเรียน หรือกับคำจำกัดความแม่นยำ อย่าง หรือไม่ พวกเขาแล้วทั้งหมดที่ถามหาขีดจำกัดของลำดับบาง รวมทั้งlimn ® ¥1 + 910+ 9100+ K + 920 เมตรæèöø.หลังจากการขอจดคำจำกัดความของข้อจำกัด (ถ้าพวกเขารู้หนึ่ง),พวกเขาถูกขอให้พูดว่า 0 × ˙9 (nought จุดเก้าเกิด) ได้เท่ากับ 1หรือเพียงน้อย ให้เหตุผลสำหรับคำตอบของพวกเขา รายละเอียดการตอบรับกล่าวถึงในสูง (1977a) ตัวเลขประกอบด้วยความขัดแย้งที่อาจเกิดขึ้น Aนักคณิตศาสตร์อาจพิจารณาว่า การคำนวณกำหนดใน (1) ข้างต้นคือปัญหาคล้ายกันกับคำถามที่ 0 × ˙9 ในตรงกันข้าม สิบสี่ของ 36นักเรียนที่อ้างว่าlimn ® ¥1 + 910+ 9100+ K + 920 เมตรæèöø= ˙9 × 2 แต่ 0 < 1การตอบรับส่วนสุดท้ายมักจะถูก couched ในเงื่อนไข 'infinitesimal':"เป็นเพียงน้อยกว่าหนึ่ง เพราะความแตกต่างระหว่างตัวเองและหนึ่งเพียงขนาดเล็ก""เพียงน้อยกว่าหนึ่ง เพราะแม้ที่อินฟินิตี้ หมายว่าใกล้หนึ่งคือยังไม่เทคนิคหนึ่ง"ชัดเจนทั้งสองคำถาม evoked ส่วนต่าง ๆ ของภาพแนวคิดของการจำกัดกระบวนการ ในการทดสอบต่อมา นักเรียนเดียวกันได้ขอให้เขียนทศนิยมแบบแยกส่วนที่ต่อไปนี้:(2) × 25 × 05, × 3 × ˙3 =× 333K, × ˙9 =× 999K13 สิบสี่ที่ก่อนหน้านี้ ว่า 0 × ˙9 < l กล่าวว่า ขณะนี้ 0 × ˙9 = 1 หลายตอนนี้มีประสบการณ์จริงรับรู้ความขัดแย้ง อธิบายการตอบสนองต่อไปนี้การทศนิยมสองสุดท้ายในรายการ (2)˙3 0 × = 130 × ˙9 = 3 ´ 0 × ˙3 = 3 ´ 13 =ขยะB 0 × 333 K = 13 เศษไม่ [คำตอบนี้ถูกข้ามออก]˙3 ซื้อที่ 0 C = 130 × ˙9 = 1 หรือ (ไม่มี)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในขั้นตอนที่เพิ่มขึ้นของความละเอียดอ่อนจนหมายอย่างเป็นทางการถึงแล้วในเวลาสั้น ๆ ที่ใช้ในตอนท้ายของการเรียนการสอน
ถูกต้องตามกฎหมายเราอาจขอให้สิ่งที่แนวคิดภาพที่ผลิตโดยกลยุทธ์เหล่านี้และไม่ว่าคำนิยามแนวคิดอย่างเป็นทางการแบบบูรณาการอย่างละเอียดลงในภาพนี้ เกี่ยวกับเรื่องนี้วันที่เราจะได้ข้อมูลที่เก็บรวบรวมจากนักเรียนที่เดินทางมาถึงที่มหาวิทยาลัยภาษาอังกฤษต้องเอาความหลากหลายของที่แตกต่างกันในระดับสูง'หลักสูตรในสองปีที่ผ่านมาของพวกเขาที่โรงเรียน ในแบบสอบถามคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนที่เดินทางมาถึงมหาวิทยาลัยนักเรียนถูกถามว่าพวกเขาได้พบกับแนวคิดของขีดจำกัด ของลำดับ s1, s2, ... , SN ... ที่ที่โรงเรียนทั้งที่มีความหมายที่แม่นยำอย่างไม่เป็นทางการหรือไม่ทั้งหมด พวกเขาได้รับแล้วถามว่าจะหาข้อ จำกัด ของลำดับบางอย่างรวมถึงลิ้มn®¥ 1 + 9 10 9 100 + K + 9 10N AEE OO. หลังจากที่ถูกขอให้เขียนลงความหมายของข้อ จำกัด (ถ้าพวกเขารู้ว่าหนึ่ง) พวกเขาถูกถามจะบอกได้ว่า 0 ×˙9 (จุดใดที่เกิดขึ้นเก้า) เท่ากับ 1, หรือเพียงแค่น้อยให้เหตุผลสำหรับคำตอบของพวกเขา รายละเอียดของการตอบสนองของพวกเขาได้รับการกล่าวถึงในสูง (1977a) จำนวนที่มีความขัดแย้ง คณิตศาสตร์อาจพิจารณาว่าการคำนวณของวงเงินใน (1) ข้างต้นเป็นปัญหาที่คล้ายกันกับคำถามของ0 ×˙9 ในทางตรงกันข้ามสิบสี่จาก 36 นักเรียนอ้างลิ้มn®¥ 1 + 9 10 9 100 + K + 9 10N AEE OO = 2 แต่ 0 ×˙9 <1. การตอบสนองเพื่อเป็นส่วนหนึ่งที่ผ่านมาได้รับมักจะอยู่ในสำนวน 'เล็ก' เงื่อนไข: "มันเป็นเพียงน้อยกว่าหนึ่งเพราะความแตกต่างระหว่างมันและหนึ่งคือ. ขนาดเล็กอนันต์" "เพียงแค่น้อยกว่าหนึ่งเพราะแม้ที่อินฟินิตี้จำนวนแม้ว่าใกล้กับ. หนึ่งยังไม่เป็นเทคนิคหนึ่ง" เห็นได้ชัดว่าทั้งสองคำถามปรากฏ ส่วนต่างๆของภาพแนวคิดของกระบวนการจำกัด ในการทดสอบต่อมานักเรียนเดียวกันได้ขอให้เขียนทศนิยมต่อไปนี้ในเศษส่วน: (2) × 25 × 05 × 3 × = ×˙3 333K, ˙9× = × 999K, สิบสามสิบสี่ที่ก่อนหน้านี้กล่าวว่า 0 ×˙9 <ลิตรในขณะนี้กล่าวว่า 0 ×˙9 = 1 หลายตอนนี้มีประสบการณ์ความขัดแย้งทางปัญญาที่เกิดขึ้นจริงในการตอบสนองที่แสดงต่อไปนี้จะสองคนสุดท้ายในรายการทศนิยม(2). 0 ×˙3 = 1 3 0 ×˙9 = 3 '0 ×˙3 = 3 1 3 = ขยะB 0 × 333K = 1 3 ส่วนไม่มี [คำตอบนี้ได้เดินออก] C 0 ×˙3 = 1 3 0 ×˙9 = 1 หรือ (ไม่อยู่)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในการเพิ่มระยะของความบอบบางจนนิยามถึงแล้ว
สั้นใช้ในตอนท้ายของหลักสูตร เราอาจจะจด ถามว่าแนวคิด
ภาพผลิตโดยกลยุทธ์เหล่านี้และว่าแนวคิดทางการนิยาม
อย่างละเอียด รวมอยู่ในรูปนี้ เกี่ยวกับเรื่องวันที่เรามีข้อมูลที่รวบรวมจากนักศึกษา
มาถึงภาษาอังกฤษมหาวิทยาลัยได้รับความหลากหลาย
' ' หลักสูตรขั้นสูงของระดับที่แตกต่างกันใน 2 ปีสุดท้ายของพวกเขาที่โรงเรียน ใน
แบบสอบถามเรียนคณิตศาสตร์มาถึงที่มหาวิทยาลัย นักศึกษา
ถามว่าพวกเขาได้พบแนวคิดของลิมิตของลำดับ S1 , S2 , . . . , SN ,
. . . . . . . ที่โรงเรียน มีความละเอียดแม่นยำ ไม่สุภาพ หรือไม่ จากนั้น
ทุกคนถามหาลิมิตของลําดับที่แน่นอน รวมทั้ง
ลิม
n ®¥
1
910
9
9
10n 100
k

æèöø
.
หลังจากถูกขอให้เขียนนิยามของลิมิต ( ถ้าพวกเขารู้ )
พวกเขาถูกถามว่า 0 ×˙ 9 ( ศูนย์จุดเก้าซ้ำ ) เท่ากับ 1 ,
หรือน้อยกว่า ให้เหตุผล สำหรับคำตอบของพวกเขา รายละเอียดของการตอบสนองของพวกเขา
กล่าวถึงสูง ( 1977a ) หมายเลขมีความขัดแย้งที่อาจเกิดขึ้น
เป็นนักคณิตศาสตร์จะพิจารณาว่า การคำนวณวงเงิน ( 1 ) ข้างต้น
ปัญหาคล้ายกับคำถาม 0 ×˙ 9 ในทางตรงกันข้าม , 14 จาก 36


n นักศึกษาอ้างว่าลิม®¥
1
9
9
9
9
10n 100 k

æèöø
= 2 แต่ 0 ×˙ 9 < 1 .
การตอบสนองในส่วนสุดท้ายมักจะนอนในแง่ของทุนมนุษย์ ' :
" มัน เพียงน้อยกว่าหนึ่งเพราะความแตกต่างระหว่างมันและหนึ่ง
ขนาดเล็กอนันต์ "
" เพียงน้อยกว่าหนึ่ง เพราะแม้ว่า Infinity หมายเลขแม้ว่าใกล้
หนึ่งยังไม่ได้ในทางเทคนิค . "
อย่างชัดเจน 2 คำถามปรากฏส่วนต่างๆของภาพลักษณ์ของ
จำกัดกระบวนการ ตามมาทดสอบนักเรียนในเดียวกันถูกขอให้เขียนทศนิยมเศษส่วน :

ต่อไปนี้ใน ( 2 ) × 2 × 3 × 3 , , , ×˙ = 3 × 333K ×˙ , 9 = 999k ×
,สิบสามของสิบสี่ที่ก่อนหน้านี้บอกว่า 0 ×˙ 9 < ตอนนี้ผมบอกว่า 0 ×˙ 9 = 1 ความขัดแย้งทางปัญญาหลาย
ตอนนี้ประสบการณ์จริง แสดง ในการตอบสนอง
จะล่าสุดสองทศนิยมในรายการต่อไปนี้ ( 2 )
0 ×˙ 3 = 1
3
0 ×˙ 9 = 3 ใหม่ 0 ×˙ 3 = 3 ใหม่ 1
3 = ขยะ
b 0 × 333K = 1
3 [ ไม่มีเศษส่วน คำตอบนี้ถูกขีดฆ่า ]
c 0 ×˙ 3 = 1
3
0 ×˙ 9 = 1 ( ไม่มีอยู่ ) หรือ