(a) x = (3, 2) − (5,−2)(b) x = 2(−1

(a) x = (3, 2) − (5,−2)
(b) x = 2(−1, 2, 1) + 3(2,−2, 0)
(c) x = 2e1 − 3e2 + 4e4 − (e1 − e2 + e3)
2. Prove the distributive law (5.0.11).
3. Verify equation (5.0.12).
4. Show that for x = (x1, . . . , xn), we have xi = ei · x.
5. Show that
ei · ej = ij
where ij , called the Kronecker delta, is given by
ij =

1 if i = j
0 if i 6= j
6. Let L:R2 ! R2 be a linear map such that L(e1) = (2, 3) and L(e2) =
(−1,−2). Find L(1, 2).
7. Let L:R3 ! R be a linear map. Find L(k) if L(i) = 2, L(j) = −1, and
L(1, 2, 3) = 0.
8. Let L:R3 ! R2 be a linear map with L(e1) = (1, 2), L(e2) = (−1, 1), and
L(e3) = (0, 1).
(a) Write the matrix for L.
(b) Evaluate L(2, 1, 3).
(c) Evaluate L(0, 1, 1).
9. Let L:R2 ! R3 be a linear map with the following matrix.
2
4
1 2
3 −1
0 1
3
5
(a) Evaluate L(1, 2).
(b) Evaluate L(−2, 1).
[2T p.126]
10. Show that the two linearity properties in the definition (5.0.15) of linear
map are equivalent to the single property
(5.0.24) L(x + y) = L(x) + L(y)
for all vectors x, y and scalars , .
11. Justify each equality in (5.0.16).
12. In formulas (5.0.17) and (5.0.18), what is the difference between ei and fi?
Aren’t both of these vectors with 1 in the ith coordinate and 0 elsewhere?
13. The dot product has the following properties that look like the properties
in the definition of linear map.
u · (v) = u · v
u · (v + w) = u · v + u · w
for all u, v,w in Rn and scalars .
Mathematical Reasoning I, Course Notes 40
(a) Show that these properties hold.
(b) Exactly where in this section did we use these properties?
14. Justify the steps of the derivation (5.0.17).
15. Verify (5.0.23).
16. Prove that the map r:R2 ! R2 which rotates the plane 1/4 turn counter-
clockwise about the origin is a linear map. Find the matrix for this linear
map.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(ก) x = (3, 2) - (5, -2)
(ข) x = 2 (-1, 2, 1) + 3 (2, -2, 0)
(ค) x = 2E1 - 3E2 + 4E4 - (E1 - E2 + e3)
2 พิสูจน์กฎหมายจำหน่าย (5.0.11).
3 สมการตรวจสอบ (5.0.12).
4 แสดงให้เห็นว่า x = (x1,..., xn) เรามี Xi = EI · x.
5 แสดงให้เห็นว่า
ei · EJ =? IJ
ที่ไหน IJ เรียกว่า Kronecker เดลต้าจะได้รับจาก
? IJ =
?
1 ถ้าฉัน = J
0 ถ้าฉัน 6 = J
6 ขอ L: R2! R2 เป็นแผนที่เชิงเส้นดังกล่าวว่า L (E1) = (2, 3) และ L (E2) =
(-1, -2) ค้นหา L (1, 2).
7 ขอ L: R3! R เป็นแผนที่เชิงเส้น ค้นหา L (k) ถ้า L (i) = 2, L (ญ) = -1 และ
L (1, 2, 3) = 0.
8 ขอ L: R3! R2 เป็นแผนที่เชิงเส้นที่มี L (E1) = (1, 2), L (E2) = (-1, 1) และ
L (E3) = (0, 1).
() เขียนเมทริกซ์สำหรับลิตร
(ข) การประเมิน (2, 1, 3).
(c) ประเมิน L (0, 1, 1).
9 ขอ L: R2! R3 จะเป็นแผนที่เชิงเส้นที่มีเมทริกซ์ต่อไป.
2
4
1 2
3 -1
0 1
3
5
(ก) ประเมิน L (1, 2).
(ข) ประเมิน L (-2, 1).
[2T p.126]
10 แสดงให้เห็นว่าทั้งสองคุณสมบัติเชิงเส้นในความหมาย (5.0.15) เส้น
แผนที่เทียบเท่ากับคุณสมบัติเดียว
(5.0.24) L (x + y) = L (x) + L (Y)
สำหรับเวกเตอร์ทั้งหมด x, y และสเกลา.
11 แสดงให้เห็นถึงความเท่าเทียมกันในแต่ละ (5.0.16).
12 ในสูตร (5.0.17) และ (5.0.18) สิ่งที่เป็นความแตกต่างระหว่าง EI และไฟ?
ไม่ได้ทั้งสองเวกเตอร์เหล่านี้กับ 1 ในบอดประสานงานและ 0 อื่น?
13 ผลิตภัณฑ์จุดมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ที่มีลักษณะเหมือนคุณสมบัติ
ในความหมายของแผนที่เชิงเส้น.
ยู· (V) = ยูวี·
·ยู (V + W) = U · V + U · W
สำหรับทุก U, V, W ใน Rn และสเกลา.
คณิตศาสตร์เหตุผลผมหมายเหตุกอล์ฟ 40
(ก) แสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้ถือ.
(ข) ตรงที่ในส่วนนี้เราไม่ใช้คุณสมบัติเหล่านี้หรือไม่
14 แสดงให้เห็นถึงขั้นตอนของรากศัพท์ (5.0.17).
15 ตรวจสอบ (5.0.23).
16 พิสูจน์ว่าอาแผนที่: R2! R2 ซึ่งหมุนเครื่องบิน 1/4 เปิดทวน
เข็มนาฬิกาเกี่ยวกับที่มาเป็นแผนที่เชิงเส้น หาเมทริกซ์สำหรับการนี้เชิงเส้น
แผนที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( A ) x = ( 3 , 2 ) − ( 5 , − 2 )
( B ) x = 2 ( − 1 , 2 , 1 ( 2 , − 2 , 0 )
( C ) x = อย่างเดียว 4e4 − ( −− 3e2 E1 E2 และ E3 )
2 พิสูจน์กฎหมายการกระจาย ( 5.0.11 )
3 การตรวจสอบสมการ ( 5.0.12 )
4 แสดงให้เห็นว่า x = ( x1 , . . . . . . . . คริสเตียน ) , เรามีซี = EI ด้วย X .
5 แสดงให้เห็นว่า EI ด้วย

ที่  EJ =  IJ IJ เรียกว่าเดลตาโครเนกเกอร์ คือให้  ij =

= ถ้าฉัน 
1 J
0 ถ้าฉัน 6 = J
6 ให้ฉัน : อาร์ทู อาร์ทูเป็นแผนที่เชิงเส้นเช่นที่ฉัน ( E1 ) = ( 23 ) และ L ( E2 ) =
( − 1 , − 2 ) ค้นหาชั้น ( 1 , 2 )
7 ให้ L : r3 ! R เป็นแผนที่เชิงเส้น ค้นหา L ( K ) ถ้าผม ( ฉัน ) = 2 , L ( J ) = − 1 และ
L ( 1 , 2 , 3 ) = 0 .
8 ให้ L : r3 ! อาร์ทูเป็นเส้นแผนที่ L ( E1 ) = ( 1 , 2 ) , L ( E2 ) = ( − 1 , 1 ) และ
L ( E3 ) = ( 0 , 1 ) .
( ) เขียนเมตริกซ์สำหรับ L .
( b ) ประเมินลิตร ( 2 , 1 , 3 ) .
( C ) ประเมิน L ( 0 , 1 , 1 ) .
9 ให้ฉัน : อาร์ทู R3 เป็นเส้นแผนที่กับเมทริกซ์ต่อไปนี้ .
2
4
1 2 3 − 1
0
1
3
5
( L ( , 1 ) ประเมิน2 ) .
( b ) ประเมิน L ( − 2 , 1 )
[ ]
2t p.126 10 แสดงให้เห็นว่าสองถึงคุณสมบัติในความหมาย ( 5.0.15 ) ของแผนที่เชิงเส้น

จะเทียบเท่ากับคุณสมบัติเดียว ( 5.0.24 ) L ( x = Y ) L ( x ) L ( Y )
ทั้งหมดเวกเตอร์ x , y และ scalars , .
11 ปรับในแต่ละภาค ( 5.0.16 ) .
12 ในสูตร ( 5.0.17 ) และ ( 5.0.18 ) , อะไรคือความแตกต่างระหว่าง EI และสาย ?
ไม่ใช่ทั้งพาหะเหล่านี้กับ 1 ใน ith ประสานงานและ 0 อยู่ที่ไหน
13 ผลิตภัณฑ์จุดมีคุณสมบัติที่เหมือนคุณสมบัติ
ในความหมายของเส้นแผนที่ต่อไปนี้
U ด้วย ( V ) = U ด้วย V
U ด้วย ( V W ) = U v U ด้วยด้วย W
ทั้งหมด U , V , W ใน Rn และ scalars .
เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์หลักสูตร 40
หมายเหตุ ( ) แสดงให้เห็นว่า คุณสมบัติเหล่านี้ถือ .
( ข ) ว่า ในส่วนนี้เราไม่ได้ใช้คุณสมบัติเหล่านี้
14 อธิบายขั้นตอนของรากศัพท์ ( 5.0.17 ) .
ที่ 15 ตรวจสอบ ( 5.0.23 ) .
16 พิสูจน์ว่าแผนที่ r : R ! R2 ซึ่งหมุนเครื่องบิน 1 / 4 เปิดเคาน์เตอร์ -
ตามเข็มนาฬิกาเกี่ยวกับกำเนิดเป็นเส้นแผนที่ ค้นหาเมทริกซ์สำหรับแผนที่เชิงเส้น
นี้