• Homogeneous second-order linear c

• Homogeneous second-order linear constant coefficient ordinary differential equation describing the harmonic oscillator:

• Inhomogeneous first-order nonlinear ordinary differential equation:

• Second-order nonlinear (due to sine function) ordinary differential equation describing the motion of a pendulum of length L:

In the next group of examples, the unknown function u depends on two variables x and t or x and y.
• Homogeneous first-order linear partial differential equation:

• Homogeneous second-order linear constant coefficient partial differential equation of elliptic type, the Laplace equation:

• Third-order nonlinear partial differential equation, the Korteweg–de Vries equation:

Existence of solutions[edit]
Solving differential equations is not like solving algebraic equations. Not only are their solutions oftentimes unclear, but whether solutions are unique or exist at all are also notable subjects of interest.
For first order initial value problems, the Peano existence theorem gives one set of circumstances in which a solution exists. Given any point in the xy-plane, define some rectangular region ,such that and is in
the interior of . If we are given a differential equation and the condition that when , then there is locally a solution to this problem if and are both continuous on . This solution exists on some interval with its center at . The solution may not be unique. (See Ordinary differential equation for other results.)
However, this only helps us with first order initial value problems. Suppose we had a linear initial value problem of the nth order:

such that

For any nonzero , if and are continuous on some interval containing , is unique and exists.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

•เหมือนสั่งสองเส้นตรงคงค่าสัมประสิทธิ์สามัญสมการเชิงอนุพันธ์อธิบาย oscillator ฮาร์มอนิกรวม: •ลำดับงานแรกไม่เชิงเส้นธรรมดาสมการเชิงอนุพันธ์: •สองลำดับเชิงเส้น (เนื่องจากฟังก์ชันไซน์) สามัญสมการเชิงอนุพันธ์อธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มยาว l: ในกลุ่มถัดไปของตัวอย่าง u ไม่รู้จักฟังก์ชันขึ้นอยู่กับสองตัวแปร x และ t หรือ x และ y•ลำดับแรกเหมือนเชิงเส้นบางส่วนต่างสมการ: •เหมือนสั่งสองเส้นตรงคงค่าสัมประสิทธิ์บางส่วนสมการเชิงอนุพันธ์ประเภทไข่ สมการลาปลาส: •สามลำดับเชิงเส้นบางส่วนต่างสมการ สมการ Korteweg – เดอไวริ: ดำรงอยู่ของโซลูชั่น [แก้]การแก้สมการไม่ได้เช่นการแก้สมการทางพีชคณิต ไม่เพียงมีโซลูชันอาจเกิดไม่ชัดเจน แต่ว่าโซลูชั่นไม่ซ้ำกัน หรือมีอยู่ทั้งหมด ยังมีวิชาที่โดดเด่นน่าสนใจสำหรับปัญหาแรกที่สั่งค่าเริ่มต้น ทฤษฎีบท Peano ดำรงอยู่อีกชุดหนึ่งของสถานการณ์ที่ซึ่งการแก้ไขปัญหามีอยู่ กำหนดจุดใด ๆ ในระนาบ xy กำหนดภูมิภาคสี่เหลี่ยมบาง เช่นว่าและใน ภายในของ ถ้าเราได้รับเป็นสมการเชิงอนุพันธ์และเงื่อนไข ว่าเมื่อ แล้วมี อยู่ในท้องถิ่นการแก้ไขปัญหานี้ถ้า และอยู่ต่อเนื่องใน แก้ไขปัญหานี้มีอยู่ในบางช่วงมีศูนย์กลางที่ การแก้ปัญหาอาจไม่มีเฉพาะ (ดูสมการเชิงอนุพันธ์สามัญผลอื่น ๆ)อย่างไรก็ตาม นี้เท่านั้นช่วยให้เรา มีปัญหาค่าเริ่มต้นลำดับแรก สมมติว่าเรามีปัญหาค่าเริ่มต้นที่เชิงเส้นของใบสั่งที่ n:ดังกล่าวว่าถ้าใด ๆ ค่า และต่อเนื่องในบางช่วงเวลาที่ประกอบด้วยอยู่ ไม่ซ้ำกัน และมีอยู่

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

•ลำดับที่สองเชิงเส้นค่าสัมประสิทธิ์คงสมเป็นเนื้อเดียวกันสามัญค่าอธิบายประสาน: •สั่งซื้อครั้งแรกไม่เชิงเส้นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ inhomogeneous: •สองเพื่อไม่เชิงเส้น (เนื่องจากฟังก์ชั่นไซน์) สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มของความยาว L ที่: ในกลุ่มต่อไปของตัวอย่างฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก U ขึ้นอยู่กับสองตัวแปร x และ T หรือ x และ y. •ลำดับแรกสมการเชิงเส้นแตกต่างบางส่วนเป็นเนื้อเดียวกัน: •ลำดับที่สองสมการเชิงเส้นค่าสัมประสิทธิ์คงแตกต่างบางส่วนเป็นเนื้อเดียวกันประเภทไข่เลซ สม: •สามเพื่อไม่เชิงเส้นสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนที่ Korteweg-de Vries สมการดำรงอยู่ของการแก้ปัญหา [แก้ไข] การแก้สมการเชิงอนุพันธ์จะไม่ชอบการแก้สมการพีชคณิต ไม่เพียง แต่จะแก้ปัญหาของพวกเขาอาจเกิดความชัดเจน แต่ไม่ว่าจะมีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกันหรืออยู่ที่ทุกวิชานอกจากนี้ยังมีความโดดเด่นที่น่าสนใจ. สำหรับปัญหามูลค่าการสั่งซื้อครั้งแรกเริ่มต้นการดำรงอยู่ทฤษฎีบทอาโน่ให้หนึ่งชุดของสถานการณ์ซึ่งวิธีการแก้ปัญหาที่มีอยู่ ป.ร. ให้ไว้ ณ จุดใด ๆ ใน XY-เครื่องบินกำหนดบางภูมิภาคสี่เหลี่ยมเช่นว่าและอยู่ในการตกแต่งภายในของ ถ้าเราจะได้รับสมการเชิงอนุพันธ์และเงื่อนไขที่ว่าเมื่อนั้นมีทั้งในประเทศแก้ปัญหานี้ถ้ามีทั้งและต่อเนื่องใน การแก้ปัญหานี้อยู่ในช่วงเวลาที่บางคนที่มีศูนย์ที่ การแก้ปัญหาอาจจะไม่ซ้ำกัน (ดูสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเพื่อให้ได้ผลลัพธ์อื่น ๆ .) แต่นี้จะช่วยให้เรากับการสั่งซื้อครั้งแรกที่ปัญหาค่าเริ่มต้น สมมติว่าเรามีปัญหาค่าเชิงเส้นเริ่มต้นของการสั่งซื้อที่ n: ดังกล่าวว่าสำหรับภัณฑ์ใด ๆ หากและมีความต่อเนื่องในช่วงเวลาที่มีบางส่วนเป็นเอกลักษณ์และมีอยู่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

- เป็นเนื้อเดียวกันสอง - เชิงเส้นคงที่เท่ากับสมการเชิงอนุพันธ์อธิบายออสซิลฮาร์มอนิก :บริการ inhomogeneous สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น :- ไม่เชิงเส้นอันดับสอง ( เนื่องจากฟังก์ชัน sine ) สมการเชิงอนุพันธ์สามัญการอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มของความยาว l :ในกลุ่มถัดไปของตัวอย่างที่ไม่รู้จักหน้าที่และขึ้นอยู่กับตัวแปร x และ T หรือ X และ Y- ลำดับเชิงเส้นเอกพันธ์ - สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย :- เป็นเนื้อเดียวกันที่สองสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นคงที่ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการลาปลาซรูปชนิด- สั่งสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไม่เชิงเส้น 3 , korteweg – เดอ ฟรีส์ สมการ :การดำรงอยู่ของโซลูชั่น [ แก้ไข ]ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เหมือนการแก้สมการพีชคณิต ไม่เพียง แต่เป็นโซลูชั่นของพวกเขาบ่อยครั้งที่ไม่ชัดเจน แต่ไม่ว่าจะเป็นโซลูชั่นที่เป็นเอกลักษณ์หรืออยู่เลยยังมีคนเด่นที่น่าสนใจปัญหาค่าเริ่มต้นสำหรับคำสั่งแรก , เปอาโนการดำรงอยู่ทฤษฎีบทให้หนึ่งชุดของสถานการณ์ที่วิธีการแก้ไขอยู่ ให้จุดใดในระนาบ xy กำหนดบางสี่เหลี่ยมภูมิภาค เช่นที่ และในภายในของ ถ้าเราได้รับสมการเชิงอนุพันธ์และเงื่อนไขเวลา แล้วมีประเทศในการแก้ไขปัญหานี้ ถ้าทั้งคู่อย่างต่อเนื่องต่อไป โซลูชั่นนี้มีอยู่ในบางช่วงเวลากับของศูนย์ที่ โซลูชั่นที่อาจจะไม่ซ้ำกัน ( ดูสมการอนุพันธ์สามัญสำหรับผลลัพธ์ อื่น ๆ )อย่างไรก็ตาม นี้ช่วยให้เรากับคำสั่งแรกของปัญหาค่าเริ่มต้น . สมมติว่าเรามีเชิงเส้นปัญหาค่าเริ่มต้นของแลกคำสั่ง :เช่นว่าสำหรับศูนย์ ถ้า และต่อเนื่องในบางช่วงที่เป็นเอกลักษณ์และมีอยู่