Given a right isosceles triangle AB

Given a right isosceles triangle ABC and its circumcircle, inscribed a square
DEFG with a side F G along the hypotenuse AB. If the side DE is extended to
intersect the circumcircle at P, then E divides DP in the golden ratio (see Figure
1). This is reminiscent of the golden section by Odom’s construction [2]; see also
[1].
B A
C
D E
G F
P
Figure 1
B O A
C
D E
G F
Q P
Figure 2
A simple construction of the inscribed square (see Figure 2) leads to a simple
calculation giving the ratio DP
DE =
√5+1
2 , the golden ratio. We give a synthetic
proof here.
From the similarity of the isosceles right triangles DEC and AEF, we have
DE
EC = AE
EF =⇒ DE2 = DE · EF = AE · EC.
If the line DE intersects the circumcircle again at Q, then EQ = DP. By the
intersecting chords theorem, AE · EC = P E · EQ = P E · DP. Therefore,
DE2 = EP · DP, and E divides DP in the golden ratio.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กำหนดรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วขวา ABC และของ circumcircle จารึกสแควร์DEFG ด้าน F G ตามตรง AB. ถ้าด้าน DE จะขยายไปยังอิน circumcircle ที่ P แล้ว E แบ่ง DP ในอัตราส่วนทอง (ดูรูปภาพ1) . นี้เป็นของส่วนทองโดยการก่อสร้างของ Odom [2]; ดูเพิ่มเติม[1]B ACD EG FPรูปที่ 1B O ACD EG FQ Pรูปที่ 2สร้างสี่เหลี่ยมจารึกไว้แบบเรียบง่าย (ดูรูปที่ 2) นำไปสู่การเรียบง่ายการคำนวณที่ให้อัตราส่วน DPDE =√5 + 12 อัตราส่วนทอง เราให้การสังเคราะห์หลักฐานที่นี่จาก similarity ธ.ค.หน้าจั่วขวาสามเหลี่ยม AEF เรามีเดอEC = AEEF =⇒ DE2 =·เดอ EF = AE · EC.ถ้าตัดเส้น DE circumcircle อีกครั้งที่ Q แล้ว EQ = DP โดยทฤษฎีบทตัดคอร์ด AE · EC = P E · EQ = P E · DP ดังนั้นDE2 = EP · DP และ E แบ่ง DP ในอัตราส่วนทอง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

รับสามเหลี่ยมหน้าจั่วขวาเอบีซีและ circumcircle ของจารึกตาราง
DEFG กับ FG ด้านข้างตามแนวด้านตรงข้ามมุมฉาก AB ถ้าด้านคือการขยายไปยัง
ตัด circumcircle ที่ P แล้ว E แบ่ง DP ในอัตราส่วนทองคำ (ดูรูปที่
1) นี้เป็นที่ระลึกส่วนทองโดยการก่อสร้างของ Odom [2]; ดู
[1].
BA
C
D E
G F
P
รูปที่ 1
B โอ
C
D E
G F
Q P
รูปที่ 2
การสร้างแบบที่เรียบง่ายของตารางจารึกไว้ (ดูรูปที่ 2) นำไปสู่ความเรียบง่าย
ในการคำนวณให้อัตราส่วน DP
DE =
√5 1 +
2 อัตราส่วนทองคำ เราให้สังเคราะห์
หลักฐานที่นี่.
จากความคล้ายคลึงกันของหน้าจั่วสามเหลี่ยมขวา ธ.ค. AEF เรามี
DE
EC = AE
EF = ⇒ de2 = DE · EF = AE · EC.
ถ้าสาย DE ปริภูมิ circumcircle อีกครั้งที่ถามแล้ว EQ = DP โดย
ทฤษฎีบทคอร์ดตัด, AE · EC = PE · EQ = PE · DP ดังนั้น
de2 = อี· DP และ E แบ่ง DP ในอัตราส่วนทองคำ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ได้รับสิทธิสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC และ circumcircle สลักเป็นสี่เหลี่ยมdefg กับด้านข้าง F G ตามด้าน AB ถ้าขยายข้าง เดอcircumcircle ตัดกันที่จุด แล้ว E แบ่ง DP ในอัตราส่วนทองคำ ( ดูจากรูป1 ) นี้เป็นรำลึกของโกลเด้นมาตราโดยโอเดิ่มก่อสร้าง [ 2 ] ; ดูยัง[ 1 ]B เป็นซีD Eกรัม Fpรูปที่ 1บี โอ เป็นซีD Eกรัม FQ pรูปที่ 2การสร้างที่ง่ายของตารางไว้ ( ดูรูปที่ 2 ) ข้อมูลแบบง่าย ๆการคำนวณอัตราส่วน DP ให้เดอ =√ 5 + 12 อัตราส่วนโกลเด้น เราให้สังเคราะห์หลักฐานอยู่ที่นี่จากความเหมือนของหน้าจั่วสามเหลี่ยมขวาธ.ค. และ aef เรามีเดอEC = เอde2 = EF = ⇒เดอด้วย EF = เอด้วย ECถ้าสาย เดอ ตัดที่ circumcircle อีกครั้งที่ Q แล้ว EQ = dp . โดยตัดทฤษฎีบทคอร์ดเอด้วย EC = P E ด้วย EQ = P E ด้วย DP . ดังนั้นde2 = EP ด้วย DP และ E แบ่ง DP ในอัตราส่วนโกลเด้น