AXIOMATIC PROBABILITY AND POINT SET

AXIOMATIC PROBABILITY AND POINT SETS
The axioms of Kolmogorov. Let S denote a sample space with a probability
measure P defined over it, such that probability of any event A ⊂ S is given by
P(A). Then, the probability measure obeys the following axioms:
(1) P(A) ≥ 0,
(2) P(S) = 1,
(3) If {A1,A2, . . . Aj, . . .} is a sequence of mutually exclusive events such that
Ai ∩Aj = ∅ for all i, j, then P(A1 ∪A2∪· · ·∪Aj ∪· · ·) = P(A1)+P(A2)+
· · · + P(Aj) + · · ·.
The axioms are supplemented by two definitions:
(4) The conditional probability of A given B is defined by
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B) ,
(5) The events A,B are said to be statistically independent if
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
This set of axioms was provided by Kolmogorov in 1936.
Operations on Sets. The axioms of probability concern sets of events. In order
to employ these axioms, it is necessary to invoke the rules of Boolean algebra,
which are associated with a pair of binary operations. First, we must define these
operations together with some special sets.
A binary operation of union, denoted by the symbol ∪, may be defined
relative to any two sets A and B. The operation generates the set
A ∪ B = {x; x ∈ A or x ∈ B}.
Here the word “or” is used in the inclusive sense to imply that x is either in A or in
B or in both. For example, if S is the set of all vertebrates, A is the characteristic
of having fur and B is the characteristic of laying eggs, then A ∪ B certainly has
the duck-bill platypus amongst its elements as well as foxes and geese.
A binary operation of intersection, denoted by the symbol ∩, may be defined
relative to any two sets A and B. The operation generates the set
A ∩ B = {x; x ∈ A and x ∈ B}.
In terms of the previous example, A∩B (unless I am mistaken) has only the duckbill
platypus and the spiny ant eater as its two elements.
Two sets A and B are said to be disjoint if their intersection is the empty
set A ∩ B = ∅.
1
If A is the set of vertebrate fish and B is the set of mammals, then, according to
modern usage, their intersection is the empty set. However, as recently as Victorian
times, whales, which are mammals, were liable to be described as fish.
Let A ⊂ S. Then the complement of A in S, denoted by Ac, is the set of
all the elements of S which do not belong to A: Ac = {x; x /∈ A}.
The rules of Boolean Algebra. The binary operations of union ∪ and intersection
∩ are roughly analogous, respectively, to the arithmetic operations of addition
+ and multiplication ×, and they obey a similar set of laws. In fact, the laws of
Boolean algebra are virtually symmetric with respect to the two operations in the
sense that, in any of the statements of the laws that are listed below, the symbols
can be interchanged without affecting their truth. This in not the case in
arithmetic. The laws are as follows:
Commutative law: A ∪ B = B ∪ A,
A ∩ B = B ∩ A,
Associative law: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
Distributive law: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
Idempotency law: A ∪ A = A,
A ∩ A = A.
These various laws have the status of axioms. These axioms ae accompnies by three
definitions:
There is a universal set S, containing all other sets, such that, for any A ⊂ S,
there is
A ∪ S = S, A ∩ S = A.
There is a null set or empty set ∅ such that, for any A ⊂ S, there is
A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅.
For any A ⊂ S, there is exists a unique complementary set Ac such that
A ∪ Ac = S, A ∩ Ac = ∅.
There are several useful identities that are deducible from the axioms and from
the definitions. Thus, De Morgan’s Rules state that
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc and (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc.
With all of these these rules in hand, we may proceed to the business of proving
some simple lemmas of probability:
2
Lemma: the probability of the null event. Axiom 3 implies that P(S ∪ ∅) =
P(S) + P(∅), since S and ∅ are disjoint sets by definition, i.e. S ∩ ∅ = ∅. But also
S ∪ ∅ = S, so P(S ∪ ∅) = P(S) = 1, where the second equality is from axiom 2.
Therefore, P(S ∪ ∅) = P(S) + P(∅) = P(S), so P(∅) = 0.
Lemma: the probability of the complementary event. If A and Ac are
complementary events, then there is A ∪ Ac = S and A ∩ Ac = ∅. Therefore,
P(A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac) = 1, since P(A ∪ Ac) = P(S) = 1, whence P(Ac) =
1 − P(A).
Theorem: independence and the complementary event. If A, B are statistically
independent such that P(A∩B) = P(A)P(B) then A, Bc are also statistically
independent such that P(A ∩ Bc) = P(A)P(Bc).
Proof. Consider
A = A ∩ (B ∪ Bc) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc).
The final expression denotes the union of disjoint sets, so there is
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc).
Since, by assumption, there is P(A ∩ B) = P(A)P(B), it follows that
P(A ∩ Bc) = P(A) − P(A ∩ B) = P(A) − P(A)P(B)
= P(A){1 − P(B)} = P(A)P(Bc).
Theorem: the union of of events. The probability that either A or B will happen
or that both will happen is the probability of A happening plus the probability of B
happening less the probability of the joint occurrence of A and B:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความน่าเป็น AXIOMATIC และชุดจุดสัจพจน์ของความน่าเป็น ให้ S แสดงพื้นที่ตัวอย่างที่ มีความน่าเป็นวัด P ที่กำหนดไว้ เช่นว่าความน่าเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ ให้ตาม⊂ SP(A) แล้ว ความน่าเป็นวัดปฏิบัติตามสัจพจน์ต่อไปนี้:(1) P(A) ≥ 0(2) P (S) = 1(3) ถ้า {A1, A2,... Aj, . . .} ลำดับของเหตุการณ์เฉพาะที่Ai ∩Aj =∅ สำหรับทุก i, j, P (A1 ∪A2∪· · ·∪Aj ∪···) = P(A1)+P(A2) +· · · + P(Aj) + · · ·.สัจพจน์ถูกเสริม โดยนิยามทั้งสอง:(4) ความน่าเป็นมีเงื่อนไขของ B กำหนดไว้โดยP (A| B) = P (A ∩ B)P(B)(5 กิจกรรม) A, B จะกล่าวได้ว่า เป็นอิสระทางสถิติถ้าP (A ∩ B) = P(A)P(B)สัจพจน์ของชุดนี้ได้รับน่าเป็นในค.ศ. 1936การดำเนินการบนชุด สัจพจน์ของความน่าเป็นเกี่ยวกับชุดของเหตุการณ์ ในใบสั่งต้องใช้สัจพจน์เหล่านี้ จำเป็นต้องเรียกใช้กฎของพีชคณิตบูลีนซึ่งจะสัมพันธ์กับคู่ของไบนารีการดำเนินงาน เราต้องกำหนดเหล่านี้การดำเนินงานร่วมกับชุดบางพิเศษการดำเนินการของสหภาพ สามารถบุ โดยสัญลักษณ์∪ อาจกำหนดสัมพันธ์ใด ๆ สองชุด A และ b การสร้างชุด∪ B = {x; x ∈ A หรือ x ∈ B }ที่นี่คำว่า "หรือ" ถูกใช้ในแง่รวมนัยว่า x อยู่ ใน A หรือในB หรือทั้งสองอย่าง ตัวอย่าง ถ้า S เป็นชุดทั้งหมด vertebrates เป็นลักษณะมีขนและ B เป็นลักษณะของการวางไข่ แล้ว∪ B ได้แน่นอนตุ่นปากเป็ดเป็ดตั๋วท่ามกลางองค์ประกอบดีเป็นละมั่งสุนัขจิ้งจอกและห่านการดำเนินการทวิภาคสี่แยก สามารถบุ โดยสัญลักษณ์∩ สามารถกำหนดสัมพันธ์ใด ๆ สองชุด A และ b การสร้างชุด∩ B = {x; x ∈ A และ x ∈ B }ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ A∩B (ถ้าผมดาวตามปกติ) มีเฉพาะ duckbillตุ่นปากเป็ดและกินมดฟานเหลืองเป็นองค์ที่สองสองชุด A และ B ว่า มี disjoint ถ้าแยกตัว เปล่า∩ B กำหนด =∅1ถ้าเป็นชุดของปลาหลอด และ B คือ ชุด ของการเลี้ยงลูกด้วยนม แล้ว ตามการใช้งานทันสมัย การแยกเป็นเซตว่าง อย่างไรก็ตาม เป็นเพิ่งเป็นวิคตอเรียเวลา ปลาวาฬ ซึ่งมีการเลี้ยงลูกด้วยนม ถูกต้องตามเป็นปลาให้⊂ S. แล้ว ชุดของส่วนเติมเต็มของ A ใน S สามารถบุจาก Acองค์ประกอบทั้งหมดของ S ที่ไม่อยู่ใน a: Ac = {x; x /∈ A }กฎของพีชคณิตบูลีน การดำเนินการฐานสองของ∪สหภาพและสี่แยก∩จะหยาบ ๆ คล้ายคลึง ตามลำดับ การดำเนินงานทางคณิตศาสตร์ของการเพิ่ม+ และคูณฟิลด์ และพวกเขาเชื่อฟังกฎหมายชุดคล้ายกัน ในความเป็นจริง กฎหมายของพีชคณิตบูลีนจะสมมาตรจริงเกี่ยวกับการดำเนินงานที่สองในการรู้สึกว่า ในงบของกฎหมายที่ระบุไว้ด้านล่าง สัญลักษณ์สามารถ interchanged สภาพความจริงของพวกเขา นี้ไม่ใช่ในเลขคณิต กฎหมายมีดังนี้:กฎหมายสลับ: ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ Aกฎหมายที่เกี่ยวข้อง: (เป็น∪ B) ∪ C =∪ (B ∪ C),(A ∩ B) ∩ C =∩ (B ∩ C),กฎหมายแจกแจง: ∩ (B ∪ C) = (การ∩ B) ∪ (การ∩ C),∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (เป็น∪ C),Idempotency กฎหมาย: ∪ A = Aการ∩ A =อ.กฎหมายต่าง ๆ เหล่านี้มีสถานะของสัจพจน์ Accompnies ae สัจพจน์เหล่านี้ โดยสามข้อกำหนด:มีชุดสากล S ประกอบด้วยชุดอื่น ๆ ทั้งหมด ที่ สำหรับใด ๆ ⊂ A Sมี∪ S = S ∩ S =อ.มี∅ชุด null หรือว่างเปล่าเซ็ตให้ ⊂ใด ๆ A S มีA ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅.⊂ใด ๆ A S ไม่มี Ac ชุดเสริมเฉพาะที่∪ Ac = S ∩ Ac =∅มีรหัสประจำตัวที่มีประโยชน์หลายที่ deducible จากสัจพจน์ และคำนิยาม ดังนั้น กฎเดอมอร์แกนรัฐที่(A ∪ B) c = Ac ∩ Bc และ (A ∩ B) c = Ac ∪ Bcด้วยทั้งหมดนี้ กฎเหล่านี้ในมือ เราอาจดำเนินธุรกิจของการพิสูจน์lemmas บางอย่างของความน่าเป็น:2จับมือ: ความน่าเป็นของเหตุการณ์เป็น null สัจพจน์ที่ 3 หมายถึงการที่ P (S ∪∅) =P (S) + P(∅) เนื่องจาก S และ∅เป็นตัวตั้ง โดยนิยาม เช่น S ∩∅ =∅ แต่ยังS ∪∅ = S ดังนั้น P (S ∪∅) = P (S) = 1 ความเสมอภาคที่สองที่จากสัจพจน์ 2ดังนั้น P (S ∪∅) = P (S) + P(∅) = P (S), ดังนั้น P(∅) = 0จับมือ: ความน่าเป็นงานเสริม ถ้า A และ Acกิจกรรมเสริม แล้วมี∪ Ac = S และ∩ Ac =∅ ดังนั้นP (ความ∪ Ac) = P(A) + P(Ac) = 1 ตั้งแต่ P (เป็น∪ Ac) = P (S) = 1 ไหน P(Ac) =1 − P(A)ทฤษฎีบท: ความเป็นอิสระและกิจกรรมเสริม ถ้า A, B เป็นทางสถิติอิสระเช่นที่ P(A∩B) = P(A)P(B) แล้ว A, Bc มีทางสถิติอิสระดังกล่าว (การ∩ Bc) ที่ P = P(A)P(Bc)หลักฐานการ พิจารณาA =∩ (B ∪ Bc) = (A ∩ B) ∪ (การ∩ Bc)นิพจน์ตัวสุดท้ายหมายถึงสหภาพชุดตัว ดังนั้นจึงP(A) = P (A ∩ B) + P (การ∩ Bc)ตั้งแต่ อัสสัมชัญ โดยมี P (การ∩ B) = P(A)P(B) เป็นไปตามที่P (การ∩ Bc) = P(A) − P (A ∩ B) = P(A) − P(A)P(B)= P(A) {1 − P(B) } = P(A)P(Bc)ทฤษฎีบท: การยูเนียนของเหตุการณ์ ความน่าเป็นที่ทั้ง A หรือ B จะเกิดขึ้นหรือว่า ทั้งสองจะเกิดขึ้นไม่น่าเกิดเป็นบวกความน่าเป็นของ Bเกิดขึ้นน้อยกว่าความเป็นไปได้ของการเกิดร่วมของ A และ b:P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ซึ่งเป็นจริงน่าจะเป็นและจุดชุดสัจพจน์ของ Kolmogorov
ให้ S
หมายถึงพื้นที่ตัวอย่างที่มีความน่าจะเป็นตัวชี้วัดที่กำหนดไว้P มากกว่านั้นเช่นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์⊂ S ใด ๆ จะได้รับจาก
P (A) จากนั้นวัดความน่าจะเชื่อฟังหลักการดังต่อไปนี้
(1) P (A) ≥ 0,
(2) P (S) = 1
(3) ถ้า {A1, A2, . . aj, . .}
เป็นลำดับของเหตุการณ์พิเศษร่วมกันดังกล่าวว่าไอ∩Aj = ∅สำหรับทุกฉัน j แล้ว P (A1 ∪A2∪···∪Aj∪···) = P (A1) + P (A2) +
··· + P (Aj) + ···.
หลักการมีการเสริมด้วยสองความหมาย:
(4) ความน่าจะเป็นเงื่อนไขของ A B ได้รับจะถูกกำหนดโดย
P (A | B) = P (A ∩ B)
P (B )
(5) เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น A, B จะกล่าวว่าเป็นอิสระทางสถิติถ้า
P (A ∩ B) = P (A) P (B).
ชุดของหลักการนี้ถูกจัดให้โดย Kolmogorov ในปี 1936
การดำเนินงานในชุด หลักการของชุดความกังวลน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น เพื่อที่จะจ้างหลักการเหล่านี้มีความจำเป็นต้องเรียกใช้กฎของพีชคณิตแบบบูลที่ที่เกี่ยวข้องกับคู่ของการดำเนินงานไบนารี อันดับแรกเราต้องกำหนดเหล่านี้การดำเนินงานร่วมกับชุดพิเศษบางอย่าง. การดำเนินการไบนารีของสหภาพเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์∪อาจจะกำหนดไว้เมื่อเทียบกับสองชุด A และ B การดำเนินการสร้างชุด∪ B = {x; x ∈ A หรือ B x ∈}. นี่คือคำว่า "หรือ" ถูกนำมาใช้ในความหมายรวมที่จะบ่งบอกว่า x เป็นทั้งในหรือในB หรือทั้ง ตัวอย่างเช่นถ้า S เป็นชุดของสัตว์มีกระดูกสันหลังทั้งหมดเป็นลักษณะของการมีขนและB เป็นลักษณะของไข่วางแล้ว∪ B แน่นอนมีปากเป็ดเป็ดเรียกเก็บเงินในหมู่องค์ประกอบเช่นเดียวกับสุนัขจิ้งจอกและห่าน. ดำเนินการทวิภาคของสี่แยก, เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์∩อาจจะกำหนดไว้เมื่อเทียบกับสองชุดA และ B การดำเนินการสร้างชุด∩ B = {x; x ∈ A และ x ∈ B}. ในแง่ของตัวอย่างก่อนหน้านี้A∩B (ถ้าผมเข้าใจผิด) มีเพียง duckbill ปากเป็ดและกินมดหนามเป็นสององค์ประกอบของ. สองชุด A และ B จะกล่าวว่าเป็นเคล็ด ถ้าจุดตัดของพวกเขาเป็นที่ว่างเปล่าแต่ละชุด∩ B = ∅. 1 ถ้าเป็นชุดของปลาเลี้ยงลูกด้วยนมและ B เป็นชุดของการเลี้ยงลูกด้วยนมแล้วตามการใช้งานที่ทันสมัยของพวกเขาแยกเป็นชุดที่ว่างเปล่า อย่างไรก็ตามเมื่อเร็ว ๆ นี้วิคตอเรียครั้งปลาวาฬที่เลี้ยงลูกด้วยนมมีแนวโน้มที่จะได้รับการอธิบายว่าปลา. ให้ A ⊂เอสจากนั้นสมบูรณ์ของ A ใน S, แสดงโดย Ac เป็นชุดขององค์ประกอบทั้งหมดของS ที่ทำ ได้เป็น A: Ac = {x; x / ∈ A}. กฎของพีชคณิตบูลีน การดำเนินงานไบนารีของสหภาพ∪และสี่แยก∩คล้ายประมาณตามลำดับเพื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการบวก+ และการคูณ×และพวกเขาปฏิบัติตามชุดที่คล้ายกันของกฎหมาย ในความเป็นจริงกฎหมายของพีชคณิตบูลีนเป็นจริงได้ส่วนที่เกี่ยวกับทั้งสองการดำเนินงานในแง่ที่ว่าในงบใดๆ ของกฎหมายที่ระบุไว้ด้านล่างสัญลักษณ์ที่สามารถinterchanged โดยไม่มีผลต่อความจริงของพวกเขา ซึ่งในกรณีที่ไม่ได้ในทางคณิตศาสตร์ กฎหมายมีดังนี้กฎหมาย Commutative: การ∪ B = B ∪ A, ∩ B = B ∩ A, กฎหมายเชื่อมโยง: (A ∪ B) ∪ C = a ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = a ∩ (B ∩ C), กฎหมายการกระจาย: การ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), กฎหมาย Idempotency: การ∪ A = A, ∩ A = A. กฎหมายต่างๆเหล่านี้มีสถานะของหลักการ หลักการเหล่านี้ ae accompnies สามคำนิยาม: มีชุดสากล S มีที่มีชุดอื่น ๆ ทั้งหมดเช่นว่าสำหรับใด ๆ ⊂ S, มี∪ S = S, A ∩ S = A. มีชุดโมฆะหรือเป็นที่ว่างเปล่า ชุด∅ดังกล่าวว่าสำหรับการใด ๆ ⊂ S มี∪∅ = A, A ∩∅ = ∅. สำหรับการใด ๆ ⊂ S มีอยู่ชุดเสริมที่ไม่ซ้ำกัน Ac ดังกล่าวที่∪ Ac = S, A ∩ Ac = ∅. มีตัวตนที่มีประโยชน์หลายอย่างที่เป็น deducible จากหลักการและจากที่มีคำจำกัดความ ดังนั้น De มอร์แกนระบุกฎที่(A ∪ B) c = Ac ∩ Bc และ (A ∩ B) c = Ac ∪ Bc. ที่มีทั้งหมดของเหล่านี้กฎเหล่านี้อยู่ในมือของเราอาจจะดำเนินการต่อเนื่องกับธุรกิจของการพิสูจน์บาง lemmas ที่เรียบง่ายของ ความน่าจะเป็น: 2 บทแทรก: น่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นโมฆะ ความจริงก็หมายความว่า 3 P (S ∪∅) = P (S) + P (∅) ตั้งแต่ S และ∅เป็นชุดเคลื่อนโดยความหมายคือ S ∩∅ = ∅ แต่ก็ยังมีS ∪∅ = S ดังนั้น P (S ∪∅) = P (S) = 1 ที่สองคือความเท่าเทียมกันจากความจริง 2. ดังนั้น P (S ∪∅) = P (S) + P (∅) = P (S) ดังนั้น P (∅) = 0 บทแทรก: น่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ถ้า A และ Ac เป็นเหตุการณ์ที่สมบูรณ์แล้วมี∪ Ac = S และ A ∩ Ac = ∅ ดังนั้นP (A ∪ Ac) = P (A) + P (Ac) = 1 เนื่องจาก P (A ∪ Ac) = P (S) = 1 ดังนั้น P (Ac) = 1 -. P (A) ทฤษฎีบท : ความเป็นอิสระและเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ถ้า A, B มีนัยสำคัญทางสถิติอิสระดังกล่าวว่าP (A∩B) = P (A) P (B) แล้ว A, Bc นอกจากนี้ยังมีสถิติที่เป็นอิสระดังกล่าวว่าP (A ∩ Bc) = P (A) P (BC) หลักฐาน พิจารณาA = ∩ (B ∪ Bc) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc). การแสดงออกสุดท้ายหมายถึงสหภาพของชุดเคลื่อนจึงมีP (A) = P (A ∩ B) + P ( . ให้∩ Bc) เนื่องจากโดยสมมติฐานที่มี P (A ∩ B) = P (A) P (B), มันตามที่P (A ∩ Bc) = P (A) - P (A ∩ B) = P (A) - P (A) P (B) = P (A) {1 - P (B)} = P (A) P (BC). ทฤษฎีบท: สหภาพของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ความน่าจะเป็นว่าทั้ง A หรือ B จะเกิดขึ้นหรือว่าทั้งสองจะเกิดขึ้นคือความน่าจะเป็นของที่เกิดขึ้นรวมทั้งน่าจะเป็นของขเกิดขึ้นน้อยลงน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันของA และ B: P (A B ∪) = P (A) + P (B)