2. Review of Garc´ ıa’s results and

2. Review of Garc´ ıa’s results and some extensions
Consider triangle Δ=ΔABC; symmetries of a point P in the midpoints of Δ
gives Δ1 =Δ1(P) with vertices A1,B1,C1. A second triangle Δ2 =Δ2(P) is
constructed with vertices A2,B2,C2 which are the reflections of the vertices of Δ1
in corresponding sides of triangle Δ (see Figure 1).
We review Garc´ ıa’s Theorems and develop some useful corollaries.
The triangles Δ and Δ1 have centroids G and G1.
Let Z be obtained by application of the similarity σ = σG,−1
2
(centered at G
with scale factor −1
2 )to P.
Theorem 1 (Garc´ ıa). Triangle Δ1 is a symmetry of Δ about Z.
Corollary 2. The points P, G, Z, G1 lie on a line.
Proof. σ transforms P to Z,so P, Z, G lie on a line. Then also G1 lies on this line
since it is a symmetry about Z of G. 
Publication Date: April 8, 2015. Communicating Editor: Paul Yiu.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2. ทบทวนผล Garc' IA
และนามสกุลบางพิจารณารูปสามเหลี่ยมΔ = ΔABC; symmetries ของจุด P
ในจุดกึ่งกลางของΔให้Δ1 = Δ1 (P) มีจุด A1, B1, C1 Δ2สามเหลี่ยมสอง = Δ2 (P)
จะถูกสร้างขึ้นด้วยจุดA2, B2, C2 ซึ่งเป็นอีกชั้น ections
ของจุดของΔ1ในด้านที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมΔ (ดูรูปที่ 1).
เราทบทวนทฤษฎีบท IA Garc' และพัฒนาผลกระทบที่มีประโยชน์บาง .
สามเหลี่ยมΔและΔ1มี centroids G และ G1.
ให้ Z ได้โดยการประยุกต์ใช้ความคล้ายคลึงกันσ = σG, -1
2
(ศูนย์กลางที่ G
กับปัจจัยระดับ -1
2)
พีทฤษฎีบทที่1 (Garc' IA) สามเหลี่ยมΔ1เป็นสมมาตรของΔเกี่ยวกับซีควันหลง 2. จุด P, G, Z โกหก G1 ในบรรทัด. หลักฐาน σแปลง P ถึง Z ดังนั้น P, Z โกหก G ในบรรทัด แล้วยัง G1 อยู่บนบรรทัดนี้เนื่องจากเป็นสัดส่วนประมาณZ ของจี? วันที่ตีพิมพ์: วันที่ 8 เมษายน 2015 การสื่อสารบรรณาธิการ: พอลยู

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 . รีวิวของ garc ใหม่ıของผลลัพธ์และบางนามสกุล
พิจารณาสามเหลี่ยมΔ = Δ ABC ; สมมาตรของจุด P ใน midpoints ของΔ
ให้Δ 1 = Δ 1 ( P ) กับจุด A1 , B1 , C1 . สองΔสามเหลี่ยมΔ 2 = 2 ( P )
สร้างด้วยจุด A2 , B2 , C2 ซึ่งเป็นอีกfl ections ของจุดยอดของΔ 1 ในด้านของสามเหลี่ยมที่Δ

( รูปที่ 1 )เราตรวจสอบ garc ใหม่ıของทฤษฎีบทและพัฒนาผลที่ตามมาที่มีประโยชน์บาง .
สามเหลี่ยมและΔΔ 1 จุดเซนทรอยด์ G G1 Z .
มาได้โดยการประยุกต์ใช้ ความเหมือนσ = σ G − 1
2
( ศูนย์กลางที่ g
กับสเกลแฟคเตอร์− 1
2 ) P .
ทฤษฎีบท 1 ( garc ใหม่ı ) สามเหลี่ยมΔ 1 เป็นสมมาตรของΔเกี่ยวกับ Z .
ควันหลง 2 จุด P , G , Z , G1 นอนบนบรรทัด
พิสูจน์ σแปลง P Z , P , Z ,กรัม วางอยู่บนบรรทัด แล้วยังสามารถอยู่ในบรรทัดนี้
เนื่องจากเป็นสมมาตรเกี่ยวกับ Z จากวันที่ตีพิมพ์กรัม 
: 8 เมษายน 2015 การแก้ไข : พอล
หยู