Let mA befl a(r)b(s) ik kj=a(r)b(s)

Let mA be
fl a(r)b(s) ik kj
=
a(r)b(s), 1≤i≤m, 1≤ j≤ p. ik kj
mA = min 2 min1≤k≤n,aik̸=0 |aik|, 1≤i≤m max1≤k≤n |aik|
then
Finally, we obtain nA as
u2β+1 nA < umA. nA > log2 u + log2 mA .
log2 u + β + 1
Therefore, nA should be the smallest integer satisfying the above-mentioned inequality. Using similar arguments, it is possible to obtain the upper bound of nB. Let mB be
Then we have
mB = min 2 min1≤k≤n,bkj̸=0 |bkj|. 1≤j≤p max1≤k≤n |bkj|
nB > log2 u+log2 mB. log2 u + β + 1
Therefore, the matrix product AB can be calculated as nA nB
(r) (s) AB=A B.
r=1 s=1
Now we present the following theorem stating that there is no roundoff
error in fl A(r)B(s) ,1 ≤ r ≤ nA,1 ≤ s ≤ nB.
Theorem 1 Let A ∈ Fm×n and B ∈ Fn×p. Applying (14) and (15) repeatedly, (16) is satisfied for A and B, and there is no roundoff error in fl A(r) B(s) , 1 ≤
r≤nA, 1≤s≤nB,i.e.
Proof For all (i, j) elements in AB, we aim to show
n n
fl A(r) B(s) = A(r) B(s).
k=1
From (15), A(r) and B(s) are generated using σ(r) and τ(s), respectively. From
k=1
(14), we can use the relations (3)–(5). From (2) we have
|a(r)|≤2−β ·σ(r), |b(s)|≤2−β ·τ(s), 1≤i≤m, 1≤ j≤ p, ik i kj j
1≤k≤n, (17)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้เป็น mAfl เป็น ik b(s) (r) kj=เป็น (r) b(s), 1≤i≤m, 1≤ j≤ p. ik kjmA = min1≤k≤n นาที 2, aik̸ = 0 | aik กรุนด์ฟอส 1≤i≤m max1≤k≤n | aik กรุนด์ฟอส จากนั้นในที่สุด เราได้รับ nA เป็น u2β + นา 1 < อุมา นา > log2 u log2 mA +log2 u + β + 1 ดังนั้น นาควรเป็นจำนวนเต็มเล็กที่สุดพอใจความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวข้างต้น ใช้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกัน ได้รับขอบเขตบนของ nB. MB ที่จะให้ แล้ว เรามีmB = min1≤k≤n นาที 2, bkj̸ = 0 | bkj ส 1≤j≤p max1≤k≤n | bkj กรุนด์ฟอสnB > log2 u + log2 mB log2 u + β + 1 ดังนั้น สามารถคำนวณสินค้าเมตริกซ์ AB เป็น nA nB (r) (s) AB = B. การr = 1 s = 1ตอนนี้ เรานำเสนอทฤษฎีบทต่อไปนี้ที่ระบุว่า ไม่มีไม่มี roundoffข้อผิดพลาดใน fl เป็น (r) B(s), 1 ≤ r ≤นา 1 ≤ s ≤ nB.ทฤษฎีบท 1 ให้∈ Fm × n และ B ∈ Fn ×นำ p. (14) และ (15) ซ้ำ ๆ, (16) จะพอใจสำหรับ A และ B และมีข้อผิดพลาด roundoff ไม่ใน fl A(r) B(s), 1 ≤r≤nA, 1≤s≤nB,i.eหลักฐานสำหรับทั้งหมด (i, j) องค์ประกอบใน AB เราจะแสดง n nfl A(r) B(s) = A(r) B(s)k = 1(15), A(r) และ B(s) จะถูกสร้างขึ้นโดยใช้ σ(r) และ τ(s) ตามลำดับ จากk = 1(14), เราสามารถใช้ความสัมพันธ์ (3)–(5) จาก (2) เรามีกรุนด์ฟอส (r) | ≤2−β ·σ(r), | b(s) | ≤2−β 1≤ j≤ p, 1≤i≤m, ·τ(s), ik ผม kj j1≤k≤n, (17)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ขอให้ได้รับการ mA
ฟลอริด้า (R) B (s) IK กิโลจูล
=
A (R) B (s), 1≤i≤m, 1≤j≤ P IK kJ
mA = ต่ำสุด 2 min1≤k≤n, AIK = 0 | AIK |, 1≤i≤mmax1≤k≤n | AIK |
แล้ว
สุดท้ายเราได้รับ nA เป็น
u2β + 1 nA <UMA nA> log2 U + log2 mA.
log2 U + β + 1
ดังนั้นนาควรจะเป็นเลขที่เล็กที่สุดความพึงพอใจของความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวข้างต้น ใช้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันก็เป็นไปได้ที่จะได้รับขอบเขตบนของ NB ให้ mB เป็น
แล้วเรามี
mB = ต่ำสุด 2 min1≤k≤n, BKJ = 0 | BKJ | 1≤j≤pmax1≤k≤n | BKJ |
NB> log2 U + log2 mB log2 U + β + 1
ดังนั้นผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ AB สามารถคำนวณได้ nA NB
(R) (s) AB = a B.
r = 1 s = 1
ตอนนี้เรานำเสนอต่อไปนี้ทฤษฎีบทที่ระบุว่าไม่มี roundoff
ผิดพลาดในฟลอริด้า A (R) B (s), 1 ≤ R ≤นา 1 ≤≤ s NB.
ทฤษฎีบท 1 ให้∈ Fm × n และ B ∈ Fn × P การประยุกต์ใช้ (14) และ (15) ซ้ำ ๆ (16) เป็นที่พอใจสำหรับ A และ B และไม่มีข้อผิดพลาด roundoff ในฟลอริด้า (R) B (s), 1 ≤
r≤nA, 1≤s≤nBคือ
หลักฐานทั้งหมด (I, J) องค์ประกอบใน AB เรามุ่งมั่นที่จะแสดง
NN
ฟลอริด้า (R) B (s) = a (R) B (s).
K = 1
จาก (15), A (R) และ B (s) จะถูกสร้างขึ้นโดยใช้σ (R) และτ (s), ตามลำดับ จาก
K = 1
(14) เราสามารถใช้ความสัมพันธ์ (3) - (5) จาก (2) เรามี
| A (R) | ≤2-β·σ (R) | B (s) | ≤2-β·τ (s), 1≤i≤m, 1≤j≤ P, IK ฉัน kJ J
1≤k≤n, (17)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้มาเป็นFL ( R ) B ( s ) คุณจูล=( R ) B ( s ) , 1 ≤ผม≤ M 1 ≤ J ≤หน้าคุณจูลMA = มิน 2 min1 ≤ K ≤ N ̸ = 0 | ฮอกกี้ฮอกกี้ | 1 ≤ผม≤ M max1 ≤ K ≤ N | | ฮอกกี้จากนั้นสุดท้ายเราได้รับนาเป็นU2 บีตา + 1 นา < อุมา . na > LOG u + LN maLOG u + บีตา + 1ดังนั้น นาน่าจะเล็กจำนวนเต็มเพียงความดังกล่าวข้างต้น โดยใช้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกัน มันเป็นไปได้ที่จะได้รับไปด้านบนของ NB . บางครั้งจะให้แล้วเรามีMB = มิน 2 min1 ≤ K ≤ N , bkj ̸ = 0 | bkj | . 1 ≤ J ≤ P max1 ≤ K ≤ N | bkj |หมายเหตุ > LOG u + LN MB LOG u + บีตา + 1ดังนั้น ผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ เอบี สามารถคำนวณได้เป็น นา นบี( R ) ( s ) AB = BR = 1 S = 1ตอนนี้เรานำเสนอต่อไปนี้ระบุว่าไม่มี roundoff ทฤษฎีบทข้อผิดพลาดใน FL ( R ) B ( s ) , 1 ≤ R ≤ na , 1 ≤ S ≤ NB .ทฤษฎีบท 1 ให้∈ FM × N และ B ∈ FN ×หน้าใช้ ( 14 ) และ ( 15 ) ซ้ำ ( 16 ) พอใจสำหรับ A และ B และไม่มี roundoff ข้อผิดพลาดใน FL ( R ) B ( s ) , 1 ≤r ≤ na , 1 ≤ S ≤ NB )หลักฐานทั้งหมด ( i , j ) องค์ประกอบใน AB , เรามุ่งมั่นที่จะแสดงn nFL ( R ) B ( s ) = a ( R ) B ( s )K = 1( 15 ) , ( R ) และ B ( s ) จะถูกสร้างขึ้นโดยใช้σ ( R ) และτ ( s ) , ตามลำดับ จากK = 1( 14 ) เราสามารถใช้ความสัมพันธ์ ( 3 ) และ ( 5 ) จาก ( 2 ) เรามี| ( R ) | ≤ 2 −β·σ ( R ) , | B ( s ) | ≤ 2 −β·τ ( s ) , 1 ≤ผม≤ M 1 ≤ J ≤ P , I ฉัน KJ เจ1 ≤ K ≤ N ( 17 )