The final result is that we can wri

The final result is that we can write each of these mock theta-functions as the sum of two functions ? and G, where: - ? is a real-analytic modular form of weight 1/2 and is an eigenfunction of the appropriate Casimir operator with eigenvalue 3/16 (this is also the eigenvalue of holomorphic modular forms of this weight); and - G is a theta series associated to a negative definite unary quadratic form.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ผลสุดท้ายคือ เราสามารถเขียนแต่ละทีเยาะเย้ยฟังก์ชันเป็นผลรวมของสองฟังก์ชัน และ G ซึ่ง: - แบบโมดูลาร์วิเคราะห์จริงของน้ำหนัก 1/2 และมีการ eigenfunction ของผู้ประกอบการ Casimir เหมาะกับ eigenvalue 3/16 (นี่ก็ eigenvalue holomorphic รูปแบบโมดูลาร์ของน้ำหนักนี้); และ - G เป็นชุดทีเกี่ยวข้องกับฟอร์มกำลังสองเอกลบแน่นอน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ผลสุดท้ายคือการที่เราสามารถเขียนแต่ละจำลอง theta ฟังก์ชั่นเหล่านี้เป็นผลรวมของทั้งสองฟังก์ชั่นหรือไม่ และ G ที่: -? เป็นรูปแบบโมดูลาร์จริงการวิเคราะห์ของน้ำหนัก 1/2 และเป็น eigenfunction ของผู้ประกอบการที่เหมาะสมกับเมีย eigenvalue 3/16 (นี้ยังเป็นค่าเฉพาะของรูปแบบ modular holomorphic ของน้ำหนักนี้); และ - G เป็นชุด theta ที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบสมการกำลังสองเอกที่ชัดเจนในเชิงลบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ผลลัพธ์สุดท้าย คือ เราสามารถเขียนแต่ละเหล่านี้เยาะเย้ย theta เป็นหน้าที่รวมของทั้งสองฟังก์ชั่น ? และ G ซึ่ง : - ? เป็นแบบโมดูลาร์จริงรูปแบบของน้ำหนัก 1 / 2 เป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของแคซีเมียผู้ประกอบการที่เหมาะสมกับค่า 3 / 16 ( นี้ยังเป็นค่าของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกรูปแบบพิกัดน้ำหนักนี้ ) ; และ - G เป็น Theta ชุดเกี่ยวข้องกับลบแน่นอนนารีสมแบบฟอร์ม