Theorem 3.2. Let one consider the u

Theorem 3.2. Let one consider the unvaccinated version of model (2.1) and (2.2), that is, with and , and let us further assume that .
If , then the disease-free equilibrium with and exists and is globally stable.

Proof. In view of Remark 3.1, this theorem is a direct consequence of [4, Theorem 1].

Turning to the more general model (2.1) and (2.2), with vaccination and without the assumption , we can identify three possible equilibrium points.

Proposition 3.3. () If , then the disease-free equilibrium is locally asymptotically stable and its coordinates ar

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบท 3.2 ให้หนึ่งในการพิจารณารุ่น unvaccinated รุ่น (2.1) และ (2.2), นั่นคือ กับ และ และให้เราเพิ่มเติมสมมุติว่าถ้า แล้วปราศจากโรคสมดุลมีอยู่ และมีเสถียรภาพทั่วโลกหลักฐานการ มุมมองหมายเหตุ 3.1 ทฤษฎีบทนี้เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงของ [4 ทฤษฎีบท 1]เปิดรูปแบบทั่วไป (2.1) และ (2.2), มีการฉีดวัคซีน และไม่ มีอัสสัม ชัญ เราสามารถระบุจุดสมดุลได้สามเสนอ 3.3 ()ถ้า แล้วสมดุลปราศจากโรคเป็น asymptotically ภายในคอกและ ar ของพิกัด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 3.2 ให้หนึ่งพิจารณารุ่นที่ไม่ได้รับวัคซีนของรูปแบบ (2.1) และ (2.2), ที่อยู่, ที่มีและให้เราต่อไปคิดว่า.
ถ้าแล้วปลอดโรคสมดุลกับการมีอยู่และมีเสถียรภาพทั่วโลก. หลักฐาน ในมุมมองของหมายเหตุ 3.1 ทฤษฎีบทนี้เป็นผลโดยตรงจากการ [4 ทฤษฎีบท 1]. เปลี่ยนเป็นรูปแบบทั่วไปมากขึ้น (2.1) และ (2.2) โดยมีการฉีดวัคซีนและไม่สมมติฐานที่เราสามารถระบุสามจุดสมดุลที่เป็นไปได้. โจทย์ 3.3 () หากแล้วสมดุลปลอดโรคเป็นในประเทศที่มีเสถียรภาพและ asymptotically พิกัด ar

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ของ 3.2 . ให้พิจารณารุ่น unvaccinated รูปแบบ ( 2 ) และ ( 3 ) , คือ , และ , ให้เราต่อไปสมมติว่า .
ถ้าแล้วปลอดโรค และสมดุลกับที่มีอยู่ทั่วโลกมีเสถียรภาพ .

หลักฐาน ในมุมมองของหมายเหตุ 3.1 , ทฤษฎีบทนี้เป็นผลโดยตรงของทฤษฎีบท 1 [ 4 ] .

เปลี่ยนรูปแบบทั่วไปมากขึ้น ( 2 ) และ ( 3 ) พร้อมฉีดวัคซีนและมีสมมุติฐานเราสามารถระบุสามจุดสมดุลที่สุด

) 3.3 . ( ) ถ้าแล้วปลอดโรคในประเทศ asymptotically สมดุล มั่นคง และพิกัดของ AR