Lemma 3.5. For each odd integer k ≥

Lemma 3.5. For each odd integer k ≥ 3, Fk has a (γ (k) + ε)-realization for every ε > 0.
Proof. Consider the set of ⌈k2
⌉ points U = {ti = (i · k
k+1 , c) : i ∈ {1, 3, . . . , k − 2, k}} and the set of ⌊k2
⌋ points D = {ti =
(i · k
k+1 , 0) : i ∈ {2, 4, . . . , k − 3, k − 1}}, and the set of k + 1 points B = {bi = (i, 0) : i ∈ {0, 1, . . . , k − 1, k}}. We will
show that if we set c = γ (k)+ε with 0 < ε ≤ 1/(3(k+1)), then U ∪D∪B is a realization of Fk for each odd integer k ≥ 3.
See Fig. 2.
To verify that the realization indeed represents Fk, first observe that B induces the path b0, . . . , bk. Next we show that
U ∪ D = {t1, t2, . . . , tk} is an independent set. Clearly, U and D are independent sets because ∥ti, ti+2j∥ ≥ 2k/(k + 1) > 1
for j ≥ 1. Let ti ∈ U and tj ∈ D. Then, we have ∥ti, tj∥ > 1 as follows:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทแทรก 3.5 สำหรับแต่ละจำนวนเต็มคี่ k ≥ 3 Fk มี (γ (k) + ε) -realization ทุกε> 0
หลักฐาน พิจารณาชุดของ⌈k2
⌉จุด U = {ทิ = (i · k
k + 1, c): ฉัน∈ {1, 3, . . , k - 2, k}} และชุดของ⌊k2
⌋จุด D = {ทิ =
(i · k
k + 1, 0): ฉัน∈ {2, 4, . . , k - 3, k - 1}} และชุดของ k + 1 คะแนน B = {สอง = (i, 0): ฉัน∈ {0, 1, . . , k - 1, k}} เราจะ
แสดงให้เห็นว่าถ้าเราตั้ง c = γ (k) + ε 0 <ε≤ 1 / (3 (k + 1)) แล้ว U ∪D∪Bเป็นสำนึกของ Fk สำหรับแต่ละจำนวนเต็มคี่ k ≥ 3
ดูรูป 2.
การตรวจสอบว่าสำนึกจริงแสดงให้เห็นถึง Fk แรกสังเกตได้ว่า B เจือจาง b0 เส้นทาง . . , BK ต่อไปเราจะแสดงให้เห็นว่า
U ∪ D = {t1, t2, . . , TK} เป็นชุดที่เป็นอิสระ เห็นได้ชัด, U และ D เป็นชุดที่เป็นอิสระเพราะ∥ti, TI + 2j∥≥ 2k / (k + 1)> 1
สำหรับเจ≥ 1. ให้ทิ∈ U และ TJ ∈ดีแล้วเรามี∥ti, tj∥> 1 ดังนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แทรก 3.5 . สำหรับแต่ละจำนวนเต็มคี่ k ≥ 3 , FK มี ( γ ( K ) ε ) - รับทุกε > 0 .
พิสูจน์ พิจารณาชุดของ⌈ K2
⌉จุด U = { TI ( ผมด้วย K
k = 1 , C ) : ผม∈ { 1 , 3 . . . . . . . . , K − 2 K } } และชุด⌊ K2
⌋จุด D = { TI =
( ผมด้วย K
K 1 , 0 ) : ผม∈ { 2 , 4 , . . . . . . . . , K − 3 , − 1 } } K , และชุดของ K 1 จุด B = { บี = ( , 0 ) : ผม∈ { 0 , 1 , . . . . . . . . K K − 1 } } เราจะ
แสดงว่าถ้าเราตั้งค่า C = γ ( K ) ε 0 < ε≤ 1 / 3 ( k 1 ) ) แล้วคุณ∪ D ∪ B เป็นสำนึกของ FK สำหรับแต่ละจำนวนเต็มคี่ k ≥ 3

เห็นรูปที่ 2 . เพื่อตรวจสอบว่าจริงแท้เป็น FK ก่อนสังเกตว่า B ) เส้นทาง B0 , . . . . . . . . แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับหนังสือต่อไป , เราแสดงให้เห็นว่า
U ∪ D = { T1 , T2 , . . . . . . . . TK } เป็นเซตที่เป็นอิสระ อย่างชัดเจน และ D เป็นชุดอย่างอิสระ เพราะ∥ Ti Ti 2j ∥≥ 2K / ( K ( 1 ) 1
สำหรับเจ ≥ 1 ให้ตี∈ u และ TJ ∈ ดี แล้ว เราได้∥ Ti , เช่น∥ > 1 ดังนี้