The proof of Lemma 1 is given in Ap

The proof of Lemma 1 is given in Appendix.
Remark 1: Part 1 of Lemma 1 indicates that, within one iteration
of the proposed algorithm, if the stepsizes are sufficiently
small (meaning the dual variables ϕ(t + 1) and ϕ(t) are not
far apart), the primal variables q(t) and q(t) are not far apart.
Similarly in Part 2, with sufficiently small stepsizes, the real
part of the cross product (∇f(q(t))−∇f(w∗))H(q(t)−w∗)
will not be far below zero. Notice that if ϕ(t+1) = ϕ(t) then
q(t) = q(t), and Part 2 degenerates into the common result
(34) for convex functions. Hence Part 2 implies that ∇f(q(t))
will not be far away from ∇f(q(t)), either.
Now we are ready to present a brief proof for Theorem 1.
Proof for Theorem 1: First, a metric is needed to measure
the “distance” between the intermediate solution (ϕ(t),w(t))
and the stationary point (ϕ∗,w∗). For this purpose, we define
the Lyapunov function

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน 1 หน่วยการถูกกำหนดในภาคผนวกหมายเหตุที่ 1: ตอนที่ 1 1 หน่วยการบ่งชี้ว่า ภายในซ้ำหนึ่งของวิธีการนำเสนอ ถ้า stepsizes ไม่เพียงพอขนาดเล็ก (หมายถึง ϕตัวแปรคู่ (t + 1) และ ϕ(t) ไม่ได้ไกลกัน), ตัวแปรปฐม q (t) และ q(t) ไม่ได้ห่างกันในทำนองเดียวกันในตอนที่ 2 มีขนาดเล็กพอ stepsizes จริงส่วนของผลิตภัณฑ์ข้าม (∇f (q (t))−∇f(w∗))H(q(t)−w∗)จะไกลกว่าศูนย์ สังเกตว่า ถ้า ϕ(t+1) = ϕ(t) แล้วq (t) = q(t) และ degenerates ส่วนที่ 2 เป็นผลทั่วไป(34) สำหรับฟังก์ชันนูน ดังนั้น ส่วนที่ 2 หมายถึงว่า ∇f (q (t))จะห่างจาก ∇f(q(t)) อย่างใดอย่างหนึ่งตอนนี้ เรามีพร้อมที่จะแสดงหลักฐานโดยย่อสำหรับทฤษฎีบท 1พิสูจน์ทฤษฎีบท 1: ครั้งแรก การวัดจะต้องวัดการ "ระยะห่าง" ระหว่างการแก้ปัญหาระดับกลาง (ϕ(t),w(t))และจุดอยู่นิ่ง (ϕ∗ w∗) สำหรับวัตถุประสงค์นี้ ที่เรากำหนดการทำงานของเลียปูนอฟ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักฐานการแทรก 1 จะได้รับในภาคผนวก.
หมายเหตุ 1: 1 ส่วนของบทแทรก 1 บ่งชี้ว่าภายในหนึ่งซ้ำ
ของขั้นตอนวิธีการเสนอถ้า stepsizes มีเพียงพอ
ขนาดเล็ก (หมายถึงตัวแปรคู่φ (T + 1) และφ (T ) จะไม่
ห่างไกลกัน) ตัวแปรปฐม Q? (T) และ Q (T) ไม่ได้ห่างไกลกัน.
ในทำนองเดียวกันในส่วนที่ 2 ที่มีขนาดเล็กพอ stepsizes จริง
ส่วนหนึ่งของสินค้าข้าม (∇f (Q? (T )) - ∇f (w *)) H (Q (T) -w *)
จะไม่ต่ำกว่าศูนย์ ขอให้สังเกตว่าถ้าφ (T + 1) = φ (T) แล้ว
Q (t) = Q (t) และส่วนที่ 2 เสื่อมลงไปในผลทั่วไป
(34) สำหรับการทำงานนูน ดังนั้นส่วนที่ 2 แสดงให้เห็นว่า∇f (Q (t)?)
จะไม่ห่างไกลจาก∇f (Q (T)) อย่างใดอย่างหนึ่ง.
ตอนนี้เรามีความพร้อมที่จะนำเสนอหลักฐานสั้น ๆ สำหรับทฤษฎีบท 1.
พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 1: แรก ซึ่งเป็นตัวชี้วัดที่เป็นสิ่งจำเป็นในการวัด
"ระยะทาง" ระหว่างทางออกกลาง (φ (T), W (T))
และจุดที่นิ่ง (φ * W *) เพื่อจุดประสงค์นี้เรากำหนด
ฟังก์ชั่น Lyapunov