Function SpaceβHelpLog InSign Upf(x

Function Spaceβ
Help
Log In
Sign Up

f(x)Function Space
Feed
Discussions
News
Learn
Challenges
Compute
Stats
Show all
Share2
Rolling Coin Problem
IntermediatePhysicsClassical-Physics2 answersclosed Posted about a year ago by Function Space Team
A coin idealised as a uniform disk of radius a with negligible thickness and mass m rolls in a circle. The center of mass of the coin C moves in a circle of radius b and the axis of the coin is tilted at an angle θ with respect to the vertical. Find the angular velocity Ω of the center of mass of the coin.

rollingcoinproblem

18.52
Luage Posted 11 months ago
NOTE. THIS IS GETTING EMBARRESING. THIRD ANSWER. I COULD REALLY USE A WAY TO EDIT MY ANSWERS.TIME TO POST A MORE THOROUGH ONE

First we want to evaluate the instantaneous angular momentum around an axis going out perpendicular of the center of coin. We notice that if there was no gravity the coin would just proceed in a straight line (and not roll in a circle) and therefore, even though it also in our case rotates around a vertical axis, it only has angular momentum as shown. Notice that the angular speed, since the coin is not slipping, must be the speed of a point on the edge of the coin dividen by the circumference of the coin times 2π.

img

Now we look at what forces are acting on the coin. A normal force upvards proportional to that of gravity will prevent it from sinking into the ground, and another force, acting towards the origin of the coordinate system, will keep the coin in 'orbit'. This second force til follow the equation:
acceleration=velocity2radius of orbit
A fundamental equation for circular motion. case, by muliplying with mass on both sides we get:
Fnc=m(Ωb)2b=mΩ2b
We project these forces perpendicular onto the coin and multiply with its radius to get the torque on the system.

img2

The last thing we need to notice is that in a full revolution the angular momentum has to change with a certain amount:

img3

The only way to change the angular momentum is by applying a torque. This allows us to write the equation:

τT=2πcos(θ)L
Where T is the time it takes to perform one revolution. With the above equalities, and the fact that T=2πΩ, we are now able to solve for Ω.:

Ω=2tan(θ)g3b+asin(θ)−−−−−−−−−−−√
1Marked as Insightful Link
284.02
Robert Posted 9 months ago
Let N be the normal reaction at the point of contact of the coin with the base. Let the friction be f directed toward the z axis. Let ϕ be the angular velocity of the coin about its center C in the direction already indicated in the given figure.

Assuming that the coin is rolling without slipping,
aϕ=(b+asinθ)Ω
From vertical and horizontal equilbrium we have :
N=mg
and
f=mΩ2b
. The angular velocity of the coin in a reference frame translating with the center of mass is
(Ω−ϕsinθ)k^−ϕcosθ[cos(Ωt)j^−sin(Ωt)i^]
where i^, j^ and k^ are unit vectores in x,y,z directions respectively. Thus the angular accerelation
α=ϕcosθ Ω[cos(Ωt)i^+sin(Ωt)j^]
. For simplicity of notation consider that at time t=0 we have
αt=0=ϕcosθ Ω i^
Note that this angular acceleration vector lies in the plane of the of the coin. Thus the relevant moment of inertia is
Ix=ma24
. The torque of the forces N and f about the center of mass of the coin is given by
τ=(mgasinθ−mΩ2bacosθ)i^
. Therefore from rotational equilibrium we have :
τ=Ixαt=0
Thus
mgasinθ−mΩ2bacosθ=ma24ϕcosθ Ω
We now use the relationship between ϕ and Ω in the above equation. Thus
mgasinθ−mΩ2bacosθ=ma(b+asinθ)4cosθ Ω2
Thus
Ω=4gtanθ5b+asinθ−−−−−−−−−−√
2Marked as Insightful Link
Function Space Team
34.05
Follow
Sign up for free to share your answer. Already have an account? Sign in to post answer

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฟังก์ชัน Spaceβวิธีใช้เข้าสู่ระบบไซน์อัพf (x) มาก ตัวดึงข้อมูล สนทนา ข่าว เรียนรู้ ความท้าทาย คำนวณ สถิติ แสดงทั้งหมดShare2กลิ้งเหรียญปัญหาAnswersclosed IntermediatePhysicsClassical-Physics2 ลงเกี่ยวกับปีผ่านมาโดยทีมงานพื้นที่ฟังก์ชันเหรียญ idealised เป็นดิสก์รูปของรัศมีที่ มีความหนาระยะและมวล m กลิ้งเป็นวงกลม ย้ายศูนย์กลางมวลของเหรียญ C ในวงกลมรัศมี b และยืดแกนของเหรียญที่θเป็นมุมกับแนวการ ค้นหาΩความเร็วเชิงมุมของศูนย์กลางมวลของเหรียญrollingcoinproblem18.52Luage ลง 11 เดือนที่ผ่านมาหมายเหตุ นี้จะได้รับ EMBARRESING คำตอบที่ 3 ฉันสามารถใช้วิธี A การแก้ไขคำตอบของฉันเวลาลงหนึ่งอย่างละเอียดมากครั้งแรก เราต้องประเมินกำลังโมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนไปออกเส้นตั้งฉากของศูนย์กลางของเหรียญ เราสังเกตว่า ถ้ามีแรงโน้มถ่วงไม่ เหรียญจะเพียงดำเนินต่อเป็นเส้นตรง (และไม่ม้วนเป็นวงกลม) และดังนั้น แม้ว่ามันยังในกรณีหมุนรอบแกนแนวตั้ง มีเพียงโมเมนตัมเชิงมุมมาก สังเกตว่า ความเร็วแองกูลาร์ เนื่องจากเหรียญไม่ลื่นไถล ต้องเป็นความเร็วของจุดบนขอบของ dividen เหรียญ โดยเส้นรอบวงของ 2π เวลาเหรียญใช้ได้ imgตอนนี้ เราดูที่ว่ากองทัพจะทำหน้าที่บนเหรียญ Upvards แรงปกติสัดส่วนกับแรงโน้มถ่วงจะทำให้จมลงในพื้นดิน และกองทัพอื่น กระทำต่อต้นกำเนิดของระบบพิกัด จะเก็บเหรียญใน 'โคจร' สองนี้บังคับ til ตามสมการ:ความเร่ง = velocity2radius ของวงโคจรสมการพื้นฐานสำหรับการเคลื่อนไหวแบบวงกลม กรณี muliplying กับมวลทั้งสองด้านเราได้รับ:Fnc = 2b m (Ωb) = mΩ2bเราโครงการเหล่านี้กองเส้นตั้งฉากลงบนเหรียญ และคูณกับรัศมีการรับแรงบิดในระบบimg2สิ่งสุดท้ายที่เราจำเป็นต้องแจ้งให้ทราบได้ว่า ในการปฏิวัติเต็ม โมเมนตัมเชิงมุมมีการเปลี่ยนแปลงค่าด้วย:img3วิธีเดียวที่จะเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม โดยใช้แรงบิดได้ นี้ช่วยให้เราสามารถเขียนสมการ:ΤT = 2πcos L (θ)โดยที่ T คือ เวลาที่จะทำการปฏิวัติหนึ่ง Equalities ข้างต้น และความจริงที่ ว่า T = 2πΩ เราก็สามารถหาค่าΩ.:Ω = 2tan (θ) g3b + −−−−−−−−−−−√แมน (θ)1Marked เป็นการเชื่อมโยงแบบลึกซึ้ง284.02โรเบิร์ตลง 9 เดือนที่ผ่านมาให้ N เป็นปฏิกิริยาปกติณขณะที่มีผู้ติดต่อของเหรียญกับฐาน ให้แรงเสียดทานที่จะตรงไปทางแกน z f ให้ϕมีความเร็วเชิงมุมของเหรียญเกี่ยวกับจุดศูนย์กลาง C ในทิศทางที่ระบุในแบบรูปที่กำหนดแล้วสมมติว่า เหรียญจะกลิ้งโดยไม่ลื่นไถลaϕ = (b + asinθ) Ωจากแนวตั้ง และแนวนอน equilbrium เรามี:N = mgและf = mΩ2b. ความเร็วเชิงมุมของเหรียญในกรอบอ้างอิงแปลกับศูนย์กลางมวลคือเค (Ω−ϕsinθ) ^ −ϕcosθ [cos j (Ωt) ^ −sin (Ωt) ฉัน ^]ที่ฉัน ^, j ^ และ k ^ มีหน่วย vectores ใน x, y, z ทิศตามลำดับ ดังนั้น accerelation แองกูลาร์Α =Ω ϕcosθ [cos (Ωt) ฉัน ^ + j บาป (Ωt) ^]. สำหรับความเรียบง่ายของสัญกรณ์พิจารณาว่า ที่เวลา t = 0 เราได้Αt = 0 =Ω ϕcosθ ฉัน ^โปรดสังเกตว่า นี้เวกเตอร์ความเร่งเชิงมุมอยู่ในระนาบที่ที่ของเหรียญ จึง เป็นความเฉื่อยของช่วงเวลาที่เกี่ยวข้องIx = ma24. แรงบิดของกองกำลัง N และ f เกี่ยวกับศูนย์กลางมวลของเหรียญถูกกำหนดโดยΤ = (mgasinθ−mΩ2bacosθ) ฉัน ^. ดังนั้น จากสมดุลในการหมุน มี:Τ = Ixαt = 0ดังนั้นmgasinθ−mΩ2bacosθ =Ω ma24ϕcosθเราตอนนี้ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างϕΩในสมการข้างต้น ดังนั้นmgasinθ−mΩ2bacosθ = ma (b + asinθ) 4cosθ Ω2ดังนั้นΩ = 4gtanθ5b + asinθ−−−−−−−−−−√2Marked เป็นการเชื่อมโยงแบบลึกซึ้งทีมงานพื้นที่ฟังก์ชัน34.05ต่อไปนี้สมัครสมาชิกฟรีเพื่อแบ่งปันคำตอบของคุณ มีองค์กรหรือไม่ เข้าสู่ระบบลงคำตอบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ฟังก์ชันบีตา


พื้นที่ช่วยลงชื่อเข้าสู่ระบบ

f ( x )


อาหารฟังก์ชั่นพื้นที่การสนทนาข่าว



หาความท้าทายเรียนรู้สถิติ


แสดงทั้งหมด share2 กลิ้งเหรียญปัญหา
intermediatephysicsclassical-physics2 answersclosed โพสต์เมื่อปีที่แล้วโดยการทำงานทีมพื้นที่
เหรียญ idealised เป็นดิสก์ เครื่องแบบของ รัศมีที่มีความหนาเล็กน้อยและมวล m ม้วนเป็นวงกลมจุดศูนย์กลางมวลของเหรียญ C เคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมีของ B และแกนของเหรียญคือ เอียงเป็นมุมθตามแนวตั้ง หาΩเชิงมุมความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของเหรียญ




rollingcoinproblem ย่อย luage โพสต์ 11 เดือนที่แล้ว
หมายเหตุ นี้ได้รับ embarresing . ตอบ 3 ผมใช้วิธีแก้ไข answers.time ของผมอย่างละเอียดมากขึ้น

โพสต์แรกเราต้องการประเมินโมเมนตัมเชิงมุมทันทีรอบแกนไปตั้งฉากกับศูนย์กลางของเหรียญ เราสังเกตเห็นว่า ถ้าไม่มีแรงโน้มถ่วง เหรียญก็จะดำเนินการในแนวเส้นตรง ( และไม่ม้วนเป็นวงกลม ) และดังนั้นแม้ว่านอกจากนี้ยังในคดีของเราหมุนรอบแกนแนวตั้งเท่านั้นมีโมเมนตัมเชิงมุม ดังรูป สังเกตเห็นว่าความเร็วเชิงมุมเนื่องจากเป็นเหรียญที่ไม่ลื่นไถล ต้องความเร็วของจุดบนขอบของเหรียญ dividen โดยรอบเหรียญครั้งที่ 2 π

}

ตอนนี้เรามาดูสิ่งที่กำลังจะทำเหรียญ แรงปกติ upvards สัดส่วนของแรงโน้มถ่วงจะป้องกันไม่ให้จมลงในดิน และบังคับอื่น แสดงต่อจุดเริ่มต้นของระบบพิกัด จะเก็บเหรียญใน ' วงโคจร 'จนวินาทีนี้บังคับตามสมการความเร่ง =

velocity2radius วงโคจรของสมการพื้นฐานสำหรับการเคลื่อนไหวแบบวงกลม . กรณี โดย muliplying กับมวลชนทั้งสองฝ่าย เราได้ :
FNC = m ( Ω B ) 2B = M Ω 2B
เราโครงการบังคับเหล่านี้ตั้งฉากลงบนเหรียญ คูณด้วยรัศมีได้แรงบิดในระบบ .



img2สิ่งสุดท้ายที่เราต้องการจะสังเกตได้ว่าในการปฏิวัติเต็มโมเมนตัมเชิงมุมมีการเปลี่ยนแปลงกับจํานวนหนึ่ง :

img3

วิธีเดียวที่จะเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม คือ โดยการใช้แรง นี้ช่วยให้เราสามารถเขียนสมการ :

τ t = 2 π cos ( θ ) L
เมื่อ t คือเวลาที่ใช้ในการทำการปฏิวัติ 1 กับ equalities ข้างต้น และที่ t = 2 πΩ เราก็สามารถแก้Ω :

Ω = 2tan ( θ ) g3b ASIN ( θ ) −−−−−−−−−−−√
1marked เป็นลิงค์

ลึกซึ้ง 284.02 โรเบิร์ตโพสต์เมื่อ 9 เดือนก่อน
ให้ n เป็นปฏิกิริยาปกติที่จุดของการติดต่อของเหรียญกับฐาน ให้แรงเสียดทานเป็น F ตรงไปยังแกน Z . ให้ϕเป็นความเร็วเชิงมุมของเหรียญรวมศูนย์องศาเซลเซียส ในทิศทางที่ได้พบได้รับในรูป

สมมติว่าเป็นเหรียญที่กลิ้งโดยไม่ไถล : ϕ = ( B , เกลือθ ) Ω
จากแนวตั้งและแนวนอน equilbrium เรามี :
n = มก

F = m และΩ 2B

และความเร็วเชิงมุมของเหรียญในกรอบอ้างอิงการแปลกับศูนย์กลางของมวล
( Ω−ϕบาปθ ) K
−ϕเพราะθ [ COS ( Ω t ) J
−บาป ( Ω t )
]
ผม
J
k
เป็นเวกเตอร์และหน่วยใน X , Y , Z เส้นทาง ตามลำดับ ดังนั้น accerelation
เชิงมุมα = ϕเพราะθΩ [ COS ( Ω t )
บาป ( Ω t ) J
]

สำหรับความเรียบง่ายของสัญกรณ์พิจารณาที่เวลา t = 0 เราได้
α t = 0 = ϕเพราะθΩผม

หมายเหตุเวกเตอร์เชิงมุม ความเร่งนี้อยู่ในระนาบของเหรียญ ดังนั้นที่เกี่ยวข้อง โมเมนต์ความเฉื่อย คือ ma24 =
9
แรงบิดของพลัง N และ F เรื่องจุดศูนย์กลางมวลของเหรียญให้
τ = ( mgasin θ− M Ω 2bacos θ )