Modern theory of packing spheres be

Modern theory of packing spheres began with the two papers (Levenshtein 1979) and
(Odlyzko and Sloane 1979). More recent developments are chronicled in (Conway and
Sloane 1999), (Cohn and Elkies 2003), and (Cohn 2002). The last two are a sequence, which,
like Beethoven’s first two piano concerti, became published in reverse order. These are good
foundational studies for the present œuvre, and are recommended with references within.
We begin with some rudimentary definitions. The n-sphere is the sphere of dimension
n considered embedded in R
n+1
. The 1-sphere is the circle; the 2-sphere is the common
sphere; all others carry the dimension as part of the name. Unless otherwise qualified, all
spheres have radius one.
Think of the circle S1 with six circles around it. One could form six equilateral triangles
— 2-simplexes — joining the center of S1 with the centers of the surrounding circles, joining
those centers to form a hexagon. The insight looking forward is that the interior angles of
these triangles — π/3 each — exactly complete a circle. In this case note that n = 1, and that
arcsec(n + 1) divides 2π six times. The concept of tightness appears, meaning that any circle
touching S1, say T1, also touches two others.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีสมัยใหม่ของบรรจุภัณฑ์ทรงกลมเริ่ม ด้วยเอกสารสอง (Levenshtein 1979) และ(Odlyzko และสโลน 1979) พัฒนาล่าสุดเป็น chronicled ใน (Conway และสโลน 1999), (คอห์นและ Elkies 2003), และ (คอห์น 2002) ลำดับสองล่าสุด ที่เช่นของบีโธเฟน first สองเปียโน concerti กลายเป็นเผยแพร่ในลำดับย้อนกลับ เหล่านี้ได้ดีการศึกษา foundational สำหรับ œuvre ปัจจุบัน และแนะนำอ้างอิงภายในเราเริ่มต้น ด้วย definitions บาง rudimentary N-ทรงกลมเป็นทรงกลมของมิติn R ที่ฝังตัวอยู่ในการพิจารณาn + 1. 1-ทรงกลมเป็นวงกลม เขต 2 มีมวลทรงกลม อื่น ๆ ทั้งหมดมีขนาดเป็นส่วนหนึ่งของชื่อ ยกเว้นว่าอย่างอื่น qualified ทั้งหมดทรงกลมมีรัศมีหนึ่งคิดถึงวงกลมที่ S1 มีวงกลม 6 รอบ หนึ่งอาจเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า 6— 2 simplexes ตัวรวมศูนย์ S1 กับศูนย์กลางของวงกลมโดยรอบ เข้าร่วมที่ศูนย์เพื่อเป็นหกเหลี่ยม ความเข้าใจการมองไปข้างหน้าคือ มุมภายในของสามเหลี่ยมเหล่านี้ — π/3 แต่ละตัวตรงทำวงกลม ในหมายเหตุนี้กรณีที่ n = 1 และที่arcsec (n + 1) แบ่ง 2π หกครั้ง แนวคิดของชูปรากฏ ความหมาย ที่วงกลมใด ๆสัมผัส S1 ว่า T1 ยังสัมผัสผู้อื่น 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีสมัยใหม่ของบรรจุทรงกลมเริ่มด้วยสองเอกสาร ( levenshtein 1979 )
( odlyzko สโลนและ 1979 ) ความคืบหน้าล่าสุดเพิ่มเติมจะลงมือใน ( คอนเวย์และ
สโลน 1999 ) , ( โคห์นและ elkies 2003 ) และ ( โคน 2002 ) สองตัวสุดท้ายเป็นลำดับ ซึ่ง
ชอบบีโธเฟ่นเปียโนสองจึงตัดสินใจเดินทาง concerti กลายมาเผยแพร่เพื่อย้อนกลับ เหล่านี้คือการศึกษาพื้นฐานที่ดี
สำหรับ uvre œปัจจุบันและแนะนำให้ใช้กับการอ้างอิงภายใน เราเริ่มต้นด้วยพื้นฐาน
เดอ จึง nitions . ส่วนมอรมอนเป็นทรงกลม n มิติ

ถือว่าฝังตัวอยู่ใน r n 1

การ 1-sphere เป็นวงกลม ; 2-sphere เป็นบ่อย
ทรงกลม ; คนอื่น ๆทั้งหมดมีมิติเป็นส่วนหนึ่งของชื่อ เว้นแต่ quali จึงเอ็ดทั้งหมด
ทรงกลมมีรัศมี 1 .
คิดถึงวงกลม S1 กับหกวงกลมรอบ ๆมันหนึ่งอาจฟอร์มหก สามเหลี่ยมด้านเท่ากันหมด
- 2-simplexes - เข้าศูนย์ของ S1 กับศูนย์ของรอบวงกลม เข้าร่วม
ศูนย์เหล่านั้นในรูปแบบหกเหลี่ยม . ความเข้าใจ มองไปข้างหน้าเป็นมุมสามเหลี่ยม - ตกแต่งภายใน
เหล่านี้π / 3 แต่ละถูกต้องสมบูรณ์เป็นวงกลม ในกรณีนี้ทราบว่า n = 1 , และ
arcsec ( 1 ) แบ่งเป็น 2 πหกครั้ง แนวคิดของความหนาแน่นปรากฏความหมายว่า วงกลม
สัมผัส S1 ว่า T1 , ยังสัมผัสกับอีกสองคน