mathematics requires.so far as I kn

mathematics requires.
so far as I know.
only two other primitive propositions.
the one that material implication is a relation.
the orther that e ( the relation of a term to a class to which it belongs ) is a relation.
We can now develop the whole of mathematics withont further assumptions or indefinables.
Certain propositions in the logic of relations deserve to be mentioned,
Since they are important, and it might be doubted whether they were capable of formal proof.
If be any two classes ,
there is a relation R the assertion of which between any two terms x and y is equivalent
to the assertion that x belongs to u and y to v .
if u be any class which is not null,
there is a relation which all its terms have to it ,
and which holds for no other pairs of terms.
If R be any relation, and u any class contained in the class of referents with respect to R,
There is a relation which has u for the class of its referents, and is equivalent to R throughout
that class ; this relation is the same as R where it holds, but has a more restricted domain.
(I use domain as synonymous with class of referents.)
From this point onwards, the development of the subject is technical :
หpecial types of relations are considered, and special branches of mathematics result.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คณิตศาสตร์ต้องดังนั้นเท่าที่ทราบเพียงสอง propositions ดั้งเดิมอื่น ๆความสัมพันธ์หนึ่งนัยว่าวัสดุได้orther ว่า e (ความสัมพันธ์ของระยะเวลาที่เรียนซึ่งจะเป็นสมาชิก) เป็นความสัมพันธ์ตอนนี้เราสามารถพัฒนาทั้งหมดของคณิตศาสตร์สมมติฐานเพิ่มเติม withont หรือ indefinablesบางข้อเสนอในตรรกะความสัมพันธ์ของสมควรที่จะกล่าวตั้งแต่พวกเขามีความสำคัญ และอาจสงสัยว่า พวกเขามีความสามารถในการพิสูจน์อย่างเป็นทางการถ้าจะมีสองชั้นเรียน มีความสัมพันธ์จะตรวจสอบเงื่อนไขซึ่งเงื่อนไขสองระหว่าง x และ y จะเท่ากับ การตรวจสอบเงื่อนไขว่า x เป็นสมาชิกของคุณและ y เป็น vถ้าคุณเรียนใด ๆ ซึ่งไม่ว่างมีความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไขของมันและที่ถือสำหรับคู่อื่น ๆ ไม่มีเงื่อนไขถ้า R เป็นความสัมพันธ์ใด ๆ และคุณทุกชั้นอยู่ในระดับของ referents เกี่ยวกับ Rมีความสัมพันธ์ซึ่งมี u สำหรับชั้นของ referents และเทียบเท่ากับ R ตลอด ชั้นที่เรียน ความสัมพันธ์นี้จะเหมือนกับ R ที่มันถือ แต่มีมากขึ้นจำกัดโดเมน(ผมใช้โดเมนเป็นตรงกันกับระดับของ referents)จากจุดนี้เป็นต้นไป การพัฒนาตัวแบบเป็นทางเทคนิค: หpecial ชนิดของความสัมพันธ์จะพิจารณา และพิเศษสาขาคณิตศาสตร์ผล

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คณิตศาสตร์ต้อง.
ดังนั้นเท่าที่ผมรู้.
เพียงสองข้อเสนอดั้งเดิมอื่น ๆ .
หนึ่งที่หมายวัสดุที่มีความสัมพันธ์ที่.
orther ที่ E (ความสัมพันธ์ของคำที่ไปเรียนที่ที่มันเป็น) เป็นความสัมพันธ์.
ตอนนี้เราสามารถพัฒนา ทั้งของคณิตศาสตร์ withont สมมติฐานเพิ่มเติมหรือ indefinables.
ข้อเสนอบางอย่างในตรรกะของความสัมพันธ์สมควรที่จะถูกกล่าวถึง
เนื่องจากพวกเขามีความสำคัญและมันอาจจะสงสัยว่าพวกเขามีความสามารถในการพิสูจน์อย่างเป็นทางการ.
ถ้าเป็นสองชั้นเรียน
มีความสัมพันธ์ R ยืนยันที่ใด ๆ ระหว่างสองแง่ x และ y เทียบเท่า
เพื่อยืนยันว่า x เป็น U และ Y เพื่อ v.
ถ้า u จะเป็นระดับใด ๆ ที่ไม่ได้เป็นโมฆะ
มีความสัมพันธ์ซึ่งเงื่อนไขทั้งหมดมีมัน
และ ซึ่งถือไม่มีคู่อื่น ๆ ของข้อตกลง.
ถ้า R เป็นความสัมพันธ์ใด ๆ และ u ระดับใด ๆ ที่อยู่ในชั้นเรียนของ referents เกี่ยวกับการวิจัยที่
มีความสัมพันธ์ที่มี U สำหรับการเรียนของ referents ของตนเป็นและเทียบเท่ากับ R ตลอด
ชั้นที่มิ . นี้มีความสัมพันธ์เป็นเช่นเดียวกับ R ที่มันถือ แต่มีโดเมนที่ จำกัด มากขึ้น
(. ฉันใช้โดเมนเป็นตรงกันกับชั้นเรียนของ referents)
จากจุดนี้เป็นต้นไปการพัฒนาเรื่องนี้เป็นเทคนิค:
หประเภทและรองรับความสัมพันธ์ได้รับการพิจารณา และสาขาพิเศษของคณิตศาสตร์ส่งผลให้เกิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คณิตศาสตร์มีเท่าที่ผมรู้เพียงสองอื่น ๆแบบดั้งเดิมเรื่องหนึ่งที่เกี่ยวพันกับวัสดุที่เป็นญาติกันส่วนชุด E ( ความสัมพันธ์ของระยะเวลาที่จะเรียน ซึ่งมันเป็นของ ) คือ ความสัมพันธ์ตอนนี้เราสามารถพัฒนาทั้งปราศจากคณิตศาสตร์สมมติฐานเพิ่มเติมหรือ indefinables .บางข้อเสนอในตรรกะของความสัมพันธ์ที่ควรกล่าวถึงเนื่องจากพวกเขาจะสำคัญ และมันอาจจะสงสัยว่าพวกเขามีความสามารถในการพิสูจน์อย่างเป็นทางการถ้าเป็นสองชนชั้นมีความสัมพันธ์ R ยืนยันซึ่งระหว่าง x และ y เท่ากับสองแง่เพื่อยืนยันว่า x เป็น y u และ v .ถ้าคุณเป็นระดับใด ซึ่งไม่ใช่ nullมีความสัมพันธ์ซึ่งเงื่อนไขทั้งหมดต้องมันและที่ถือไม่มีคู่อื่น ๆของเงื่อนไขถ้า r เป็นความสัมพันธ์ใด ๆและคุณเรียนอยู่ในชั้นเรียนของ referents ด้วยความเคารพ R ,มีความสัมพันธ์ที่คุณ สำหรับชั้นเรียนของ referents และเทียบเท่ากับ R ตลอดชั้นว่า ความสัมพันธ์นี้จะเหมือนกับ R ที่มันถือ แต่ได้เพิ่มเติมจำกัดโดเมน( ผมใช้โดเมนเป็นตรงกันกับรุ่น referents )จากจุดนี้เป็นต้นไป การพัฒนาเรื่องทางเทคนิค :ห pecial ประเภทของความสัมพันธ์จะพิจารณาพิเศษของผลและสาขาคณิตศาสตร์