5.3.4. Minimum value of the Gamma o

5.3.4. Minimum value of the Gamma order. The relative roughness of the ligament ζ = d2 0/ξ 2 sets the width of the resulting drop size distribution, since the order n is n = ξ 2 d2 0 − ξ 2 . (302) The strongest corrugations of the initial ligament are bounded by the ligament diameter. Thus estimating the maximum roughness by d2 0 − ξ 2 ≈ ξ/2, one finds the minimum value of n to be nmin ≈ 4 (303) or slightly above. This is close to the value found for liquid sheets (for which n ≈ 5) as seen in figure 93. This reflects the strong corrugation of the sheet’s rim, which have reached their saturation level, independent of the injection parameters (see figure 78 and [278, 450]). 5.4. Origin of roughness: the case study of merging jets. The roughness of jets and ligaments sets the width of the resulting drop size distribution. This roughness has multiple origins in various practical situations and it is difficult to anticipate a priori. However, in the model problem of the merging of two identical jets, parameters can be controlled more carefully. Consider the inelastic collision of two identical jets with diameter d1 and velocity u1, merging at an angle 2θ, and thus forming another free ligament. Let the jets Weber number We be moderate, between 5 to 10 (figure 94); it must in fact be smaller than 4(1 + cos θ )/(sin θ )2, the value above which the jets form a sheet [456]. We show that an energy balance explains the corrugations amplitude of the resulting jet, and consequently the width of the drop size distribution. We take the jets as initially smooth, and call u and p the resulting ligament velocity and internal pressure, and d its diameter (figure 92). Momentum and mass conservation give ρu1 cos θ • 2u1d2 1 − ρu • ud2 = (p − p1)d2 , (304) 2u1d2 1 = ud2 . (305) Surface tension enters through the internal pressures p1 = 2d1/γ and p = 2d/γ . The pressure difference before and after merging is, according to (304), (305), given by p1 − p = ρu(u − u ) with u = u1 cos θ. (306) On a pressure scale given by the incident kinetic pressure ρu2 1, the pressure difference p1 − p = 2/γ (1/d1 − 1/d) is of order W e−1. The velocity of the resulting jet u is thus u ≈ u = u1 cos θ , (307) up to terms of order W e−1 1 = O(1/10), so that typically d/d1 ≈ √2/ cos θ. However, the loss of energy q during the collision q = 1 2 ρu2 1(1 − cos2 θ ) + 2γ d1 1 − d1 d (308) Figure 92. Average diameter of the drop’s dispersion normalized by the ligament initial average radius d /ξ , as a function of n according to (297) for N (0) = 125. An initially strongly corrugated ligament gives rise to an average droplet size appreciably larger than its average initial diameter. Inset: corresponding distributions p(d/ d ) as a function of d/ d for n = 1, 2, 5, 10, 25. is of order one, and dominated by the surface energy term. Namely, the destruction of surface area in the collision is q = 2γ d1 1 − 1 √2 + O(θ 2 ), (309) as illustrated in figure 95. We know of no ab initio principle that determines how this energy will be dissipated. Irregular motions in the bulk of the resulting jet will excite capillary waves at its surface, which ultimately decay by viscous friction. We proceed by invoking an equipartition between bulk agitation and surface energy [520], although we are not describing an equilibrium situation. The change of surface energy E of a cylinder of radius h = d/2, perturbed at wavenumber k with amplitude
k, is given by (49). We attribute the amount of energy ultimately dissipated to the (transient) excess of surface energy (implying de facto that k > 2/d): E ∼ q π d2 4 , (310) with an unknown prefactor, presumably of order unity. This gives the relative amplitude of the corrugations thus formed as
2 k d2 = 1 2 √2 − 1 kd 2 2 − 1 , (311) independent of surface tension. In the confluence region, the resulting jet is excited essentially at a scale given by the size of the incoming jets d1. Putting therefore k = 2π/d1, and remembering that the width of the drop size distribution is set by the order n = d2/
2 k , one finds that n = 4π2 − 2 √2 − 1 ≈ 90. (312) 65

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

5.3.4 การต่ำสุดค่าสั่งแกมมา ความหยาบญาติของζเอ็น = d2 0/ξ 2 ชุดความกว้างของการกระจายขนาดหล่นได้ เนื่องจากสั่ง n n =ξ 0 − d2 ξ 2 2 (302) corrugations ที่แข็งแกร่งของเอ็นเริ่มต้นล้อมรอบ ด้วยเส้นเอ็น ดังนั้นจึง ประเมินความหยาบสูงสุด โดย d2 0 −ξ 2 ≈ ξ/2 หนึ่งหาค่าต่ำสุด ของ n จะ ≈ nmin 4 (303) หรือเล็กน้อยข้างต้น อยู่ใกล้กับค่าที่พบเห็นในรูปที่ 93 แผ่นเหลว (สำหรับ≈ n ที่ 5) นี้สะท้อนให้เห็นถึงลอนที่แข็งแกร่งของแผ่นงานริม ซึ่งได้ถึงระดับความอิ่มตัว ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ฉีด (ดูรูปที่ 78 และ [278, 450]) 5.4 การกำเนิดของความหยาบ: กรณีศึกษาของการผสาน jets ความหยาบของ jets และเอ็นและตั้งค่าความกว้างของการกระจายขนาดหล่นได้ ความหยาบนี้มีต้นกำเนิดหลายในสถานการณ์ต่าง ๆ ปฏิบัติ และยากต่อการคาดการ priori อย่างไรก็ตาม ในปัญหารูปแบบของการรวมของสองเหมือน jets พารามิเตอร์สามารถควบคุมอย่างระมัดระวังมากขึ้น พิจารณาชน inelastic ของ jets สองเหมือนกับเส้นผ่าศูนย์กลางตั้งแต่ง 1 และความเร็ว u1 ผสานที่ 2θ เป็นมุม และดัง ขึ้นเอ็นฟรีอีก ให้ฉีดแบ่งแยกเลขเราจะปานกลาง ระหว่าง 5-10 (เลข 94); ในความเป็นจริงต้องน้อยกว่า 4 (1 + cos θ) /(sin θ) 2 ค่าข้างต้นซึ่งฉีดแบบแผ่น [456] เราแสดงว่า สมดุลพลังงานการอธิบายคลื่น corrugations ของเจ็ทผลลัพธ์ และดังนั้นความกว้างของการกระจายขนาดหล่น เราใช้ฉีดเป็นครั้งแรกเรียบ และโทรหาคุณและ p ผลเอ็นความเร็ว และความดันภายใน และ d เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง (92 รูป) โมเมนตัมและการอนุรักษ์มวลให้ ρu1 cos θ• 2u1d2 1 − ρu • ud2 d2 (p − p1) 2u1d2 (304) = 1 = ud2 แรงตึงผิว (305) ป้อนผ่าน p1 ความดันภายใน = d 2 1/γ และ p = 2d/γ ดันความแตกต่างก่อน และหลัง จากที่ผสาน ตาม (304), (305), โดย p1 − p = ρu (u − u) กับคุณ = u1 cos θ (306) บนความดันขนาดกำหนด โดย ρu2 ปัญหาเดิม ๆ ดัน 1 ความดันแตกต่าง p1 − p 2/γ = (− 1/ง 1 1/d) เป็น e−1 สั่ง W ความเร็วของยูเจ็ทผลลัพธ์จึง u ≈ u = u1 cos θ, (307) ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขการสั่งซื้อ W e−1 1 = O(1/10) ดังนั้นที่ √2 ≈ปกติ d/ง 1 / cos θ อย่างไรก็ตาม การสูญเสียพลังงาน q ระหว่างคิวชน = 1 2 ρu2 1 (1 − cos2 θ) + 2γ ง 1 1 −ง 1 d (308) 92 รูป เส้นผ่าศูนย์กลางเฉลี่ยของของหล่นกระจายตัวตามปกติ โดยรัศมีเฉลี่ยเริ่มต้นเอ็น/ξ d เป็นฟังก์ชันของ n ตาม (297) N (0) = 125 เอ็นเป็นลูกฟูกเริ่มขอก่อให้ขนาดหยดเฉลี่ย appreciably มากกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางเริ่มต้นเฉลี่ยของ แทรก: สอดคล้องกับการกระจาย p (d/d) เป็นฟังก์ชันของ d / d สำหรับ n = 1, 2, 5, 10, 25 เป็นของสั่ง และครอบงำ โดยคำพลังงานพื้นผิว คือ ทำลายพื้นที่ผิวในการชนคือ q =ง 1 2γ 1 − 1 √2 + O (θ 2), (309) ดังที่แสดงในรูปที่ 95 เรารู้ว่าของไม่มี ab initio หลักที่กำหนดว่าจะ dissipated พลังงานนี้ เคลื่อนไหวผิดปกติจำนวนมากของเจ็ทผลลัพธ์จะกระตุ้นคลื่นที่ผิวมัน เส้นเลือดฝอยที่เสื่อมสลายในที่สุด โดยแรงเสียดทานความหนืด เราดำเนินการ โดยเรียกการ equipartition ระหว่างอาการกังวลต่อกลุ่มพลังงานพื้นผิว [520], แม้เราจะไม่อธิบายสถานการณ์การสมดุล การเปลี่ยนแปลงของพลังงาน E ที่ผิวของทรงกระบอกรัศมี h = d/2, perturbed ที่ k wavenumber มีคลื่น k, is given by (49). We attribute the amount of energy ultimately dissipated to the (transient) excess of surface energy (implying de facto that k > 2/d): E ∼ q π d2 4 , (310) with an unknown prefactor, presumably of order unity. This gives the relative amplitude of the corrugations thus formed as 2 k d2 = 1 2 √2 − 1 kd 2 2 − 1 , (311) independent of surface tension. In the confluence region, the resulting jet is excited essentially at a scale given by the size of the incoming jets d1. Putting therefore k = 2π/d1, and remembering that the width of the drop size distribution is set by the order n = d2/2 k , one finds that n = 4π2 − 2 √2 − 1 ≈ 90. (312) 65

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

5.3.4 มูลค่าขั้นต่ำของการสั่งซื้อแกมมา ขรุขระญาติของเอ็นζ = d2 0 / ξ 2 ชุดความกว้างของผลการจัดจำหน่ายลดลงขนาดตั้งแต่ n เพื่อเป็น n = ξ 2 d2 0 - 2 ξ (302) เดอะ corrugations แข็งแกร่งของเอ็นเริ่มต้นจะถูกล้อมรอบด้วยเส้นผ่าศูนย์กลางเอ็น ดังนั้นการประมาณความหยาบสูงสุดโดยการ d2 0 - 2 ≈ξξ / 2 หนึ่งที่พบว่าค่าต่ำสุดของ n ที่จะ nMin ≈ 4 (303) หรือสูงขึ้นไปเล็กน้อย นี้อยู่ใกล้กับค่าที่พบแผ่นเหลว (ซึ่ง n ≈ 5) เท่าที่เห็นในรูปที่ 93 ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงลูกฟูกที่แข็งแกร่งของขอบแผ่นซึ่งได้มาถึงระดับความอิ่มตัวของพวกเขาเป็นอิสระของพารามิเตอร์ฉีด (ดูรูปที่ 78 และ [278, 450]) 5.4 ต้นกำเนิดของความหยาบ: กรณีศึกษาของเครื่องบินการรวม ขรุขระของเครื่องบินและเส้นเอ็นกำหนดความกว้างของผลลดลงการกระจายขนาด ความหยาบกร้านนี้มีต้นกำเนิดในหลายสถานการณ์จริงต่างๆและมันเป็นเรื่องยากที่จะคาดการณ์เบื้องต้น อย่างไรก็ตามในรูปแบบของปัญหาการผสมของสองทีมเจ็ตส์ที่เหมือนกันพารามิเตอร์สามารถควบคุมได้มากขึ้นอย่างระมัดระวัง พิจารณาชนไม่ยืดหยุ่นของทั้งสองทีมเจ็ตส์เหมือนกันกับ d1 เส้นผ่าศูนย์กลางและความเร็ว u1 กลมกลืนที่มุม2θและจึงสร้างอีกเอ็นฟรี ให้จำนวนเครื่องบินไอพ่น Weber เราจะปานกลางระหว่าง 5-10 (รูป 94); มันจะต้องในความเป็นจริงมีขนาดเล็กกว่า 4 (1 + cos θ) / (บาปθ) 2 มูลค่าดังกล่าวข้างต้นซึ่งทีมเจ็ตส์ในรูปแบบแผ่นที่ [456] เราแสดงให้เห็นว่ามีความสมดุลพลังงานอธิบายความกว้างของเจ็ corrugations ที่เกิดขึ้นและทำให้ความกว้างของการกระจายขนาดที่ลดลง เราใช้ทีมเจ็ตส์เป็นไปอย่างราบรื่นในขั้นต้นและเรียกท่านและความเร็วพีเอ็นที่เกิดขึ้นและความดันภายในและ d เส้นผ่าศูนย์กลาง (รูปที่ 92) โมเมนตัมและการอนุรักษ์มวลให้ρu1 cos θ• 2u1d2 1 - ρu• UD2 = (พี - p1) d2 (304) 2u1d2 1 = UD2 (305) ความตึงผิวผ่านเข้าสู่แรงกดดันภายใน p1 = 2d1 / γและ p = 2d / γ แตกต่างความดันก่อนและหลังการควบรวมมีตาม (304) (305) ที่กำหนดโดย p1 - p = ρu (ยู - ยู) กับยู = cos θ u1 (306) ในระดับความดันที่ได้รับจากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นความดันการเคลื่อนไหวρu2 1, ความแตกต่าง p1 ความดัน - p = 2 / γ (1 / d1 - 1 / d) คือการสั่งซื้อ E-W 1 ความเร็วของเครื่องบินที่เกิดขึ้นจึงเป็นยูยูยู≈ u1 = cos θ (307) ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของการสั่งซื้อ E-W 1 1 = O (1/10) ดังนั้นที่มักจะ d / d1 ≈√2 / cos θ . แต่การสูญเสียของคิวพลังงานในระหว่างการปะทะกัน Q = 1 2 ρu2 1 (1 - cos2 θ) + 2γ d1 1 - d1 ง (308) รูปที่ 92 ขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางเฉลี่ยของการกระจายตัวลดลงของปกติโดยเอ็นเริ่มต้นรัศมีเฉลี่ย d / ξ, เป็นหน้าที่ของ n ตาม (297) สำหรับ N (0) = 125 ครั้งแรกเอ็นลูกฟูกอย่างยิ่งก่อให้เกิดขนาดหยดเฉลี่ยประเมินมีขนาดใหญ่กว่าขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางเฉลี่ยเริ่มต้น ภาพประกอบ: การกระจายพีที่สอดคล้องกัน (d / d) เป็นหน้าที่ของ d / d = n 1, 2, 5, 10, 25 เป็นคำสั่งหนึ่งและโดดเด่นด้วยพื้นผิวระยะพลังงาน คือการทำลายของพื้นที่ผิวในการปะทะกันเป็นคิว = 2γ d1 1-1 √2 + O (θ 2) (309) ดังแสดงในรูปที่ 95 เรารู้ว่าไม่เริ่มแรกหลักการที่กำหนดว่าพลังงานนี้จะเป็น สำมะเลเทเมา. การเคลื่อนไหวที่ผิดปกติในกลุ่มของเจ็ทที่เกิดขึ้นจะกระตุ้นคลื่นของเส้นเลือดฝอยที่พื้นผิวของมันซึ่งในที่สุดสลายตัวโดยแรงเสียดทานที่มีความหนืด เราจะดำเนินการโดยการเรียก equipartition ระหว่างกลุ่มกวนและพลังงานพื้นผิว [520] ถึงแม้ว่าเราจะไม่ได้อธิบายสถานการณ์สมดุล การเปลี่ยนแปลงของพื้นผิว E พลังงานของกระบอกสูบชั่วโมงรัศมี = d / 2, ตกอกตกใจที่ wavenumber k ที่มีความกว้าง
k, จะได้รับจาก (49) เราเชื่อปริมาณของพลังงานที่กระจายไปในท้ายที่สุดได้ (ชั่วคราว) ส่วนเกินของพลังงานพื้นผิว (หมายความพฤตินัยที่ k> 2 / d): E ~ คิวπ d2 4 (310) ที่มี prefactor ไม่รู้จักสันนิษฐานของความสามัคคีเพื่อ นี้จะช่วยให้ความสัมพันธ์ของความกว้าง corrugations ที่เกิดขึ้นจึงเป็น
2 k d2 = 1 2 √2 - 1 KD 02-01 กุมภาพันธ์ (311) ที่เป็นอิสระจากแรงตึงผิว ในภูมิภาคบรรจบกันที่ส่งผลให้เจ็ทตื่นเต้นเป็นหลักในระดับที่กำหนดโดยขนาดของเครื่องบินเจ็ทที่เข้ามา d1 ที่ จึงวาง k = 2π / d1 และจดจำว่าความกว้างของการกระจายขนาดลดลงจะถูกกำหนดโดยคำสั่ง n = d2 /
2 k หนึ่งพบว่า n = 4π2 - 2 √2 - 1 ≈ 90 (312) 65

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

5.3.4 . ค่าต่ำสุดของรังสีแกมมา เพื่อ ความขรุขระสัมพัทธ์ของเอ็นζ = D2 0 / ξ 2 ชุดกว้างของผลลดลงการกระจายขนาด ตั้งแต่การสั่งซื้อ n n = ξ 2 D2 0 ξ− 2 ( 302 ) ลังที่แข็งแกร่งของเอ็นเริ่มต้นถูกล้อมรอบโดยเอ็นเส้นผ่าศูนย์กลาง ดังนั้นการประมาณค่าสูงสุดโดย D2 0 ξ≈ξ− 2 / 2หนึ่งที่พบว่าค่าต่ำสุดของการเป็น nmin ≈ 4 ( 303 ) หรือเล็กน้อยข้างต้น นี้อยู่ใกล้กับค่าพบแผ่นเหลว ( ที่ N ≈ 5 ) ตามที่เห็นในรูปที่ 93 นี้สะท้อนให้เห็นถึงความแข็งแกร่งของขอบของแผ่นลูกฟูกซึ่งมีถึงระดับความเข้มของตัวแปรอิสระของการฉีด ( ดูรูปที่ 78 และ 450 [ 278 ] ) 5.4 . จุดเริ่มต้นของความขรุขระ : ศึกษากรณีการรวมเครื่องบินความขรุขระของเครื่องบินและเอ็นชุดกว้างของขนาดผลหล่นกระจาย ความนี้มีหลายต้นกำเนิดในสถานการณ์การปฏิบัติต่าง ๆและเป็นการยากที่จะคาดการณ์ priori . อย่างไรก็ตาม ปัญหาในรูปแบบของการผสานสองเครื่องบินเหมือนกันค่า สามารถถูกควบคุมอย่างระมัดระวังพิจารณาการชนแบบไม่ยืดหยุ่นเจ็ตสองที่เหมือนกันกับ D1 U1 เส้นผ่าศูนย์กลางความเร็วรวมกันที่มุม 2 θจึงเป็นอีกฟรีเอ็น ให้เครื่องบินเวเบอร์นัมเบอร์เราได้ปานกลาง ระหว่าง 5 ถึง 10 ตัวเลข ( 94 ) ; มันในความเป็นจริงจะเล็กกว่า 4 ( 1 คอสθ ) / ( บาปθ ) 2 ค่าข้างต้น ซึ่งเครื่องบินรูปแบบแผ่น [ 456 ]เราแสดงให้เห็นว่าการสมดุลพลังงานอธิบายคลื่นล่าสุดของผลเจ็ท และจากนั้น ความกว้างของการกระจายขนาดหยด . เราใช้เครื่องบินเรียบในตอนแรก และเรียกเธอ และ P ซึ่งเอ็นความเร็วและความดันภายในและ D เส้นผ่านศูนย์กลาง ( รูปที่ 1 ) อนุรักษ์มวลโมเมนตัมและให้ρ U1 เพราะθ - 2u1d2 1 −ρ U - ud2 = ( − P1 P ) D2 ,( 304 ) 2u1d2 1 = ud2 . ( 305 ) แรงตึงผิวเข้ามาผ่านภายในความดัน P1 = 2d1 / γและ P = 2D / γ . ความดันความแตกต่างก่อนและหลังการรวมคือ ตาม ( 304 ) ( 305 ) ให้โดย P1 P = −ρ U ( u u u = − ) กับองค์กร เพราะθ . ( 306 ) ในระดับความดันให้ จากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจากความดันρ U2 1 , ความดันแตกต่าง P1 P = 2 / γ− ( − 1 / D1 1 / D ) มีคำสั่ง w e − 1ความเร็วของเครื่องบินจึงเป็น≈ U U ( U = U1 เพราะθ ( 307 ) ขึ้นในแง่ของการสั่งซื้อ W E − 1 = O ( 1 / 10 ) , ดังนั้นโดยทั่วไป D / D1 ≈√ 2 / cos θ . อย่างไรก็ตาม การสูญเสียพลังงานในการชน Q Q = 1 2 ρ U2 1 ( 1 − cos2 θ ) 2 γ D1 1 − D1 D ( 308 ) รูป 92 เส้นผ่านศูนย์กลางเฉลี่ยของหล่นกระจายปกติโดยเอ็นเริ่มต้นเฉลี่ย D / ξรัศมี ,เป็นฟังก์ชันของ n ตาม ( 297 ) n ( 0 ) = 125 . เป็นเอ็นลูกฟูกขอเริ่มต้นให้สูงขึ้นเฉลี่ยขนาดหยดที่ได้มีขนาดใหญ่กว่าขนาดเริ่มต้นเฉลี่ย ภาพประกอบ : สอดคล้องกับการแจกแจง P ( D / D ) เป็นฟังก์ชันของ D / D n = 1 , 2 , 5 , 10 , 25 เป็นลำดับหนึ่ง และโดดเด่นด้วยพื้นผิวพลังงานระยะยาว คือการทำลายของพื้นที่ผิวในการชนคือ Q = 2 γ D1 1 − 1 √ 2 O ( θ 2 ) ( 309 ) ดังแสดงในรูปที่ 95 เรารู้ว่าไม่มี Ab initio หลักการกําหนดวิธีการนี้พลังงานจะลดลง การเคลื่อนไหวผิดปกติ ในกลุ่มของผล Jet จะกระตุ้นเส้นเลือดฝอยที่คลื่นพื้นผิวของมันซึ่งในที่สุดการสลายตัวโดยแรงเสียดทานหนืด