In principle, the generalized Eq. (

In principle, the generalized Eq. (4) represent the equation of the pendulum without dissipation and for any possible
motion of the pivot on a plane. When dissipation is taken into account, traditionally dissipative forces are introduced
ad hoc in the equations of motion, although a Lagrangian and Hamiltonian formalism for the case of linear damping is
known [35]. The Lagrangian and Hamiltonian functions when linear dissipation is considered are, of course, timedependent,
and obviously do not have the same meaning as for conservative systems. The phenomenological model of
the dissipative forces mostly appearing in the literature is assumed to be linear. However, and in order to offer a more
general view of the equations of the pendulum, we will introduce here nonlinear damping terms. These terms have been
used for several engineering applications, such as ship dynamics and vibration engineering (see for instance [36–38] and
other references therein). One of the reasons why nonlinear damping in engineering and other applied sciences is important
stems from the fact that it can be used as an effective passive control strategy to suppress various instabilities.
Moreover, different effects of nonlinear damping on the dynamics of some nonlinear oscillators, including erosion of
fractal basins and how they affect the routes to chaos, among others, have been shown recently. The nonlinear dissipative
forces we consider are strictly proportional to the Nth power of the velocity, and consequently we use a general
polynomial function of Nth degree of the form

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลัก Eq. เมจแบบทั่วไป (4) แสดงถึงสมการของลูกตุ้มโดย ไม่กระจาย และสุดใด ๆการเคลื่อนไหวของสาระสำคัญบนเครื่องบิน เมื่อกระจายจะพิจารณา dissipative ประเพณีกองมีการแนะนำเป็นกิจในสมการของการเคลื่อนไหว แม้ formalism เป็น Lagrangian และ Hamiltonian สำหรับกรณีของการลดเสียงรบกวนแบบเส้นตรงรู้จักกัน [35] ฟังก์ชัน Lagrangian และ Hamiltonian เมื่อพิจารณาเชิงกระจายได้ แน่นอน timedependentและแน่นอนไม่มีความหมายเดียวกันสำหรับระบบหัวเก่า รุ่น phenomenological ของกอง dissipative ที่ปรากฏในวรรณคดีส่วนใหญ่จะสรุปให้เป็นเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม และ เพื่อให้มากขึ้นมุมมองทั่วไปของสมการของลูกตุ้ม เราจะแนะนำนี่ไม่เชิงเส้นตสากรรมการเงื่อนไข เงื่อนไขเหล่านี้ได้ใช้สำหรับวิศวกรรมใช้งาน เรือ dynamics และสั่นสะเทือนวิศวกรรม (ดูตัวอย่าง [36 – 38] และอื่น ๆ อ้างอิง therein) หนึ่งในเหตุผลที่ว่าทำไมลดไม่เชิงเส้นในวิศวกรรมและอื่น ๆ ใช้ศาสตร์เป็นสำคัญรับอิทธิพลจากความจริงที่ว่า มันสามารถใช้เป็นกลยุทธ์การควบคุมมีประสิทธิภาพแฝงบีฑา instabilities ต่าง ๆนอกจากนี้ ผลต่างของการไม่เชิงเส้นตสากรรมการบนของบาง oscillators ไม่เชิงเส้น รวมถึงการพังทลายของอ่างล่างหน้าเศษส่วนและผลเส้นทางให้วุ่นวาย หมู่คนอื่น ๆ มีการแสดงล่าสุด การไม่เชิงเส้น dissipativeเราพิจารณากำลังเคร่งครัดสัดส่วนอำนาจความเร็ว และดังนั้น การที่เราใช้ทั่วไปฟังก์ชันพหุนามของปริญญาที่ของแบบฟอร์ม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โดยหลักการแล้วสมการทั่วไป (4)
เป็นตัวแทนของสมการของลูกตุ้มโดยไม่ต้องกระจายและเป็นไปได้การเคลื่อนไหวของเดือยบนเครื่องบิน เมื่อกระจายเป็นที่เข้าบัญชีกองกำลัง dissipative
ประเพณีที่จะนำเฉพาะกิจในสมการของการเคลื่อนไหวแม้พิธีลากรองจ์และมิลสำหรับกรณีของการทำให้หมาดๆ
เชิงเส้นเป็นที่รู้จักกัน[35] ฟังก์ชั่นและมิลลากรองจ์เมื่อการกระจายเชิงเส้นเป็นที่ยอมรับว่าเป็นของหลักสูตร timedependent,
และเห็นได้ชัดไม่ได้มีความหมายเช่นเดียวกับระบบอนุรักษ์นิยม รูปแบบปรากฏการณ์วิทยาของกองกำลัง dissipative ส่วนใหญ่ที่ปรากฏในวรรณกรรมจะถือว่าเป็นเชิงเส้น
อย่างไรก็ตามและเพื่อที่จะนำเสนอมากขึ้นมุมมองทั่วไปของสมการของลูกตุ้มที่เราจะแนะนำที่นี่ไม่เชิงเส้นแง่การทำให้หมาด ๆ
เงื่อนไขเหล่านี้ได้ถูกนำมาใช้สำหรับการใช้งานทางด้านวิศวกรรมต่างๆเช่นการเปลี่ยนแปลงเรือและวิศวกรรมการสั่นสะเทือน (ดูตัวอย่าง [36-38] และอ้างอิงอื่นๆ นั้น) หนึ่งในเหตุผลที่ว่าทำไมไม่เป็นเชิงเส้นหมาด ๆ ในงานวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ประยุกต์อื่น ๆ เป็นสิ่งที่สำคัญเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันสามารถนำมาใช้เป็นกลยุทธ์ที่มีประสิทธิภาพการควบคุมเรื่อยๆ เพื่อให้การปราบปรามความไม่เสถียรต่างๆ. นอกจากนี้ยังมีผลกระทบที่แตกต่างกันของการไม่เชิงเส้นหมาด ๆ ในการเปลี่ยนแปลงของบาง oscillators ไม่เชิงเส้นที่ รวมถึงการพังทลายของอ่างเศษส่วนและวิธีที่พวกเขาส่งผลกระทบต่อเส้นทางไปสู่ความวุ่นวายในหมู่คนอื่นๆ ได้รับการแสดงเมื่อเร็ว ๆ นี้ dissipative ไม่เชิงเส้นกองกำลังที่เราพิจารณาเป็นอย่างเคร่งครัดสัดส่วนกับอำนาจของความเร็วชับและดังนั้นเราจะใช้ทั่วไปฟังก์ชั่นพหุนามการศึกษาระดับปริญญาชับของแบบฟอร์ม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โดยหลักการแล้ว อีคิว ทั่วไป ( 4 ) เป็นตัวแทนของสมการของลูกตุ้มและไม่มีการใด ๆเป็นไปได้
เคลื่อนไหวของเดือยบนเครื่องบิน เมื่อมีการพิจารณาตามเกณฑ์ dissipative กำลังแนะนำ
เฉพาะกิจในสมการของการเคลื่อนไหว แม้ว่าระบบ และแอมพลิจูดแบบสำหรับกรณีแบบเชิงเส้นคือ
รู้จัก [ 35 ]ลากรางเจียนและฟังก์ชันการกระจายเชิงแอมพลิจูดเมื่อพิจารณา แน่นอน timedependent
, และแน่นอนไม่ได้มีความหมายเหมือนกันสำหรับระบบอนุรักษ์นิยม แบบจำลองเชิงปรากฏการณ์วิทยาของ
dissipative กองกำลังส่วนใหญ่ปรากฏในวรรณคดี สันนิษฐานได้ว่าเป็นเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม ในการเสนอเพิ่มเติม
ทั่วไปมุมมองของสมการของลูกตุ้มพวกเราจะแนะนำที่นี่ไม่เชิงเส้นแบบเงื่อนไข เงื่อนไขเหล่านี้ได้ถูก
ใช้สำหรับการประยุกต์ทางวิศวกรรมต่างๆเช่นพลศาสตร์ของเรือและวิศวกรรมการสั่นสะเทือน ( เห็นตัวอย่าง [ 36 - 38 ]
อ้างอิงอื่น ๆอยู่ในนั้น ) หนึ่งในเหตุผลที่ไม่เชิงเส้นแบบในงานวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ประยุกต์มีความสำคัญ
เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันสามารถใช้เป็นกลยุทธ์เพื่อให้การปราบปรามมีประสิทธิภาพเรื่อยๆควบคุมเสถียรภาพต่างๆ
นอกจากนี้ ผลกระทบที่แตกต่างกันของเส้นที่เกิดบนพลวัตแบบไม่เชิงเส้นบาง oscillators , รวมทั้งการพังทลายของ
เศษส่วนอ่างและวิธีที่พวกเขาส่งผลกระทบต่อเส้นทางสู่ความวุ่นวายในหมู่คนอื่น ๆ ที่ได้แสดงเมื่อเร็ว ๆ นี้ dissipative
ไม่เชิงเส้นบังคับให้เราพิจารณาเป็นสัดส่วนอย่างเคร่งครัดเพื่อแลกพลังความเร็ว และจากนั้น เราใช้ฟังก์ชันพหุนามทั่วไป
ของแลกระดับรูปแบบ