where a, ..., f are the coefficient

where a, ..., f are the coefficients.[1] Note that quadratic functions, such as ax2 + bx + c in the one variable case, are not quadratic forms, as they are typically not homogeneous (unless b and c are both 0).

The theory of quadratic forms and methods used in their study depend in a large measure on the nature of the coefficients, which may be real or complex numbers, rational numbers, or integers. In linear algebra, analytic geometry, and in the majority of applications of quadratic forms, the coefficients are real or complex numbers. In the algebraic theory of quadratic forms, the coefficients are elements of a certain field. In the arithmetic theory of quadratic forms, the coefficients belong to a fixed commutative ring, frequently the integers Z or the p-adic integers Zp.[2] Binary quadratic forms have been extensively studied in number theory, in particular, in the theory of quadratic fields, continued fractions, and modular forms. The theory of integral quadratic forms in n variables has important applications to algebraic topology.

Using homogeneous coordinates, a non-zero quadratic form in n variables defines an (n−2)-dimensional quadric in the (n−1)-dimensional projective space. This is a basic construction in projective geometry. In this way one may visualize 3-dimensional real quadratic forms as conic sections.

A closely related notion with geometric overtones is a quadratic space, which is a pair (V,q), with V a vector space over a field K, and q: V → K a quadratic form on V. An example is given by the three-dimensional Euclidean space and the square of the Euclidean norm expressing the distance between a point with coordinates (x,y,z) and the origin:

q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^2=|(x,y,z)|^2=x^2+y^2+z^2.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ที่เป็น, ..., f มีสัมประสิทธิ์การ [1] หมายเหตุฟังก์ชันกำลังสอง เช่น ax2 + bx + c ในกรณีตัวแปรเดียว ไม่รูปแบบกำลังสอง พวกเขาเป็นปกติไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (ยกเว้น b และ c เป็น 0 ทั้งสอง)ทฤษฎีรูปแบบกำลังสองและวิธีที่ใช้ในการศึกษาในวัดที่มีขนาดใหญ่ขึ้นอยู่กับลักษณะของ สัมประสิทธิ์ ซึ่งอาจจะเป็นจริง หรือจำนวนเชิงซ้อน ตรรก หรือเต็ม ใน พีชคณิตเชิงเส้น เรขาคณิตวิเคราะห์ และส่วนใหญ่ของโปรแกรมประยุกต์ของฟอร์มกำลังสอง สัมประสิทธิ์ได้จริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีพีชคณิตของรูปแบบกำลังสอง สัมประสิทธิ์มีองค์ประกอบของเขตบาง ในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์รูปแบบกำลังสอง สัมประสิทธิ์เป็นแหวนสลับถาวร บ่อย Z เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนเต็ม p adic ที่ Zp [2] ไบนารีกำลังสองแบบฟอร์มมีการอย่างกว้างขวางศึกษาในทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะ ทฤษฎีกำลังสองฟิลด์ เศษส่วนต่อเนื่อง ฟอร์มโมดูลาร์ และการ ทฤษฎีรูปแบบกำลังสองเป็นในตัวแปร n มีโปรแกรมประยุกต์ที่สำคัญโทโพโลยีพีชคณิตใช้พิกัดเหมือน ฟอร์มกำลังสองไม่ใช่ศูนย์ในตัวแปร n กำหนด (n−2) -มิติผิวกำลังสองใน (n−1) -พื้นที่ projective มิติ โดยสร้างพื้นฐานในเรขาคณิต projective วิธีนี้ หนึ่งอาจเห็นภาพ 3 มิติจริงกำลังสองฟอร์มเป็นภาคตัดกรวยแนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับ overtones เรขาคณิตเป็นกำลังสองช่องว่าง ซึ่งเป็นคู่ (V, q), กับ V เป็นเวกเตอร์ฟิลด์ K และถาม V → K แบบกำลังสองบน V ตัวอย่างกำหนด โดยพื้นที่ Euclidean สามมิติและสองปกติ Euclidean ที่แสดงระยะห่างระหว่างจุดกับพิกัด (x, y, z) และจุดเริ่มต้น: q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0)) ^ 2 = | (x, y, z) |^2=x^2+y^2+z^2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ที่, ... , มีค่าสัมประสิทธิ์ฉ. [1] โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นการกำลังสองเช่น ax2 + BX + C ในกรณีหนึ่งตัวแปรไม่ได้รูปแบบสมการกำลังสองเช่นที่พวกเขามักจะไม่ได้เป็นเนื้อเดียวกัน (ยกเว้นกรณีที่ B และ C มี ทั้ง 0). ทฤษฎีของรูปแบบสมการกำลังสองและวิธีการที่ใช้ในการศึกษาของพวกเขาขึ้นอยู่ในวัดขนาดใหญ่ในลักษณะของค่าสัมประสิทธิ์ซึ่งอาจจะเป็นตัวเลขจริงหรือซับซ้อนสรุปตัวเลขหรือจำนวนเต็ม ในพีชคณิตเชิงเส้นเรขาคณิตวิเคราะห์และในส่วนของการใช้งานในรูปแบบสมการกำลังสองค่าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงหรือซับซ้อน ในทฤษฎีเกี่ยวกับพีชคณิตของสมแบบฟอร์มค่าสัมประสิทธิ์เป็นองค์ประกอบของสนามบางอย่าง ในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบสมการกำลังสองค่าสัมประสิทธิ์เป็นสับเปลี่ยนแหวนคงบ่อยจำนวนเต็ม Z หรือจำนวนเต็ม p- อำนวย Zp. [2] ไบนารีรูปแบบสมการกำลังสองได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางในทฤษฎีจำนวนโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีของ สาขาสมเศษส่วนอย่างต่อเนื่องและรูปแบบโมดูลาร์ ทฤษฎีของรูปแบบสมการกำลังสองตัวแปรที่สำคัญในการ n มีการใช้งานที่สำคัญในการ topology เกี่ยวกับพีชคณิต. ใช้พิกัดเป็นเนื้อเดียวกันไม่เป็นศูนย์ในรูปแบบสมการกำลังสองตัวแปรกำหนด n (n-2) ในมิติ quadric (n-1) มิติ projective พื้นที่ . นี้คือการก่อสร้างขั้นพื้นฐานในเรขาคณิต projective ในทางหนึ่งอาจจะเห็นภาพ 3 มิติรูปแบบสมการกำลังสองจริงเป็นรูปกรวยส่วน. ความคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหวือหวาทางเรขาคณิตเป็นพื้นที่กำลังสองซึ่งเป็นคู่ (V, Q) กับวีปริภูมิเวกเตอร์สนาม K และคิว : V → K รูปแบบสมการกำลังสองในโวลต์เช่นจะได้รับจากปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติและสองของบรรทัดฐานยุคลิดแสดงระยะห่างระหว่างจุดพิกัด (x, y, z) และที่มา: Q (x , y, z) = d ((x, y, z), (0,0,0)) ^ 2 = | (x, y, z) | ^ 2 = x ^ 2 + y ที่ ^ 2 + ซี ^ 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่ , . . . , F เป็นสัมประสิทธิ์ [ 1 ] ทราบว่าฟังก์ชันกำลังสอง เช่น ax2 BX C ในตัวแปรหนึ่งกรณี ไม่ใช่รูปแบบกำลังสอง เช่นที่พวกเขามักจะไม่ได้เป็นเนื้อเดียวกัน ( ถ้า B และ C มีทั้ง 0 )

ทฤษฎีรูปแบบกำลังสองและวิธีการที่ใช้ในการศึกษาของพวกเขาขึ้นอยู่กับ ในการวัดขนาดใหญ่ในธรรมชาติของน้ำ ซึ่งอาจจะจริงที่ซับซ้อนหรือตัวเลขที่มีตัวเลขหรือจำนวนเต็ม . ในพีชคณิตเชิงเส้น เรขาคณิตวิเคราะห์ และในส่วนของการประยุกต์ใช้รูปแบบกำลังสอง ค่าสัมประสิทธิ์เป็นจริงที่ซับซ้อนหรือตัวเลข ในพีชคณิตทฤษฎีรูปแบบกำลังสอง ค่าสัมประสิทธิ์เป็นองค์ประกอบของเขตข้อมูลที่แน่นอน ในคณิตศาสตร์ทฤษฎีรูปแบบกำลังสอง ค่าสัมประสิทธิ์ของถาวรที่เกี่ยวกับการสับเปลี่ยนแหวนบ่อยจำนวนเต็มจำนวนเต็มอำนวยการ - p Z หรือไข่ .[ 2 ] กำลังสองรูปแบบไบนารีได้รับอย่างกว้างขวางใช้ในทฤษฏี จํานวนเฉพาะในทฤษฎีของกำลังสองเศษส่วนต่อเนื่องฟิลด์ และรูปแบบโมดูล่าร์ ทฤษฎีปริพันธ์กำลังสองรูปแบบ n ตัวแปรมีการใช้งานที่สำคัญทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

ใช้พิกัดเป็นเนื้อเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์กำลังสองตัวแปรกำหนดรูปแบบใน n ( n − 2 ) มิติ - ผิวกำลังสองใน ( − 1 ) - พื้นที่ projective มิติ นี้คือการสร้างพื้นฐานในเรขาคณิตเชิงภาพฉาย . วิธีนี้อาจจะเห็นภาพ 3 มิติจริงไม่มีรูปแบบเป็นภาคตัดกรวย .

ความคิดทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับ overtones คือพื้นที่กำลังสองซึ่งเป็นคู่ ( V , Q ) กับวีปริภูมิเวกเตอร์เหนือสนาม k ,และ Q : V → keyboard - key - name k สมแบบฟอร์มใน V . ตัวอย่างจะได้รับโดยการใช้อวกาศสามมิติและตารางของใช้บรรทัดฐานแสดงระยะห่างระหว่างจุดกับจุดพิกัด ( x , y , z ) และที่มา :

Q ( x , y , z ) = d ( x , y , ) Z ( 0,0,0 ) )
2 = | ( x , y , z ) |
2 = x
2 y
2 z
2