Jorge Mart´ın-Morales (jorge@unizar

Jorge Mart´ın-Morales ([e-mail]) and Antonio M. Oller-Marc´en ([e-mail]), Centro Universitario de la Defensa–IUMA, Zaragoza, Spain
The computation of the volume of solids of revolution in calculus courses is usually presented by two methods, namely: 1. The disk method, which consists roughly of decomposing the solid into slices that are perpendicular to the axis of revolution. 2. The shell method, which considers the solid as a series of concentric cylindrical shells wrapping the axis. From a geometrical point of view, these two methods look quite different, and it is the shape of the solid that motivates the choice between one or another. Nevertheless, from an analytical point of view, both methods produce the same result, as is shown using integration by parts [1], inverse functions [3], and even Rolle’s theorem [2]. We wondered if there was an even deeper relation between the above methods, and we looked at computing the volume of a solid of revolution as a double integral in a very intuitive way. We show that the classical methods (disks and shells) are recovered if this double integral is computed by each of the two possible applications of Fubini’s theorem. Furthermore, we can also obtain Pappus’ volume theorem from the formula. Let S be a bounded and closed region in the yz-plane, and let ` be any straight line in the same plane such that ` is exterior to S. For every point P = (x, y) ∈ S, let d`(x, y) be the distance from P to `. Let us denote by V(S,`) the volume of the solid obtained by rotating the region S around the line `; see Figure 1.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Jorge Mart´ın-ราเลส ([e-mail]) และ Antonio M. Oller-Marc´en ([e-mail]), เซนโทร Universitario de la Defensa – IUMA ซาราโกซา สเปนการคำนวณปริมาตรของการปฏิวัติของของแข็งในคอร์สแคลคูลัสมักจะนำเสนอ โดยวิธีสอง ได้แก่: 1. วิธีดิสก์ ซึ่งประกอบด้วยหยาบ ๆ ของพืชพันธุ์ของแข็งที่เป็นชิ้นที่ตั้งฉากกับแกนของการปฏิวัติ 2.เปลือกวิธี ซึ่งพิจารณาของแข็งที่เป็นชุด concentric เปลือกทรงกระบอกตัดแกน จาก geometrical จุดของมุมมอง วิธีการสองวิธีเหล่านี้ดูแตกต่าง และเป็นรูปร่างของของแข็งที่แรงบันดาลใจทางเลือกระหว่างหนึ่ง หรืออีก อย่างไรก็ตาม จากการวิเคราะห์มุมมอง วิธีการทั้งผลิตผลลัพธ์เดียวกัน แสดงใช้รวมชิ้นส่วน [1], ฟังก์ชันผกผัน [3], และแม้กระทั่ง Rolle ของทฤษฎีบท [2] เราสงสัยว่า ถ้า มีความสัมพันธ์ลึกซึ้งได้ระหว่างวิธีการข้างต้น และเรามองที่คำนวณปริมาตรของการปฏิวัติของของแข็งเป็นทฤษฎีบูรณาการคู่ในวิธีง่ายมาก เราแสดงว่า วิธีคลาสสิก (ดิสก์และเชลล์) จะกู้ถ้าทฤษฎีบูรณาการนี้คู่ที่คำนวณ โดยโปรแกรมได้ที่สองของทฤษฎีบทของ Fubini แต่ละ นอกจากนี้ เราสามารถยังได้รับทฤษฎีบทของปัปปุสปริมาณจากสูตร ให้ S เป็นกี่ และปิดพื้นที่ในระนาบ yz และปล่อยให้ ' เป็นเส้นตรงในระนาบเดียวกันเช่นที่ ' เป็นภายนอกไปยัง s สำหรับทุก ๆ จุด P = (x, y) ∈ S, d ให้ '(x, y) ต้องห่างจาก P ' เราแสดง โดย V(S,') ปริมาตรของของแข็งได้ ด้วยการหมุนภาค S รอบบรรทัด '; ดูรูปที่ 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Jorge Mart'ın-โมราเลส ([e-mail]) และอันโตนิโอเอ็ม Oller-Marc'en ([e-mail]), ยูนิเวอร์ Centro de la-Defensa IUMA, ซาราโกซา, สเปน
คำนวณปริมาณของของแข็งของการปฏิวัติ ในหลักสูตรแคลคูลัสมักจะถูกนำเสนอโดยสองวิธีคือ 1. วิธีดิสก์ซึ่งประกอบด้วยประมาณของการย่อยสลายเป็นชิ้นของแข็งที่ตั้งฉากกับแกนของการปฏิวัติ 2. วิธีการเปลือกซึ่งถือว่าเป็นชุดที่แข็งแกร่งของเปลือกหอยทรงกระบอกศูนย์กลางการตัดแกน จากจุดทางเรขาคณิตในมุมมองของทั้งสองวิธีมีลักษณะแตกต่างกันมากและมันก็เป็นรูปของของแข็งที่กระตุ้นทางเลือกระหว่างหนึ่งหรืออีก อย่างไรก็ตามจากการวิเคราะห์จุดในมุมมองของทั้งสองวิธีการผลิตเดียวกันผลเป็นที่แสดงโดยใช้บูรณาการโดยส่วน [1], ฟังก์ชั่นผกผัน [3] และแม้กระทั่งทฤษฎีบท Rolle ของ [2] เราสงสัยว่ามีความสัมพันธ์ลึกระหว่างวิธีการดังกล่าวข้างต้นและเรามองไปที่การคำนวณปริมาณของของแข็งของการปฏิวัติเป็นหนึ่งในสองวิธีที่ง่ายมาก เราแสดงให้เห็นว่าวิธีคลาสสิก (ดิสก์และเปลือกหอย) จะกู้คืนได้ถ้าหนึ่งคู่นี้คำนวณโดยแต่ละของทั้งสองเป็นไปได้ของการใช้งาน Fubini ทฤษฎีบทของ นอกจากนี้เรายังสามารถได้รับปริมาณทฤษฎีบท Pappus จากสูตร ให้ S เป็นภูมิภาค จำกัด และปิดในระนาบ YZ และให้ `เป็นสายใด ๆ ตรงในระนาบเดียวกันเช่นที่เป็นภายนอก` เอสสำหรับทุกจุด P = (x, y) ∈ S ให้ d` ( x, y) เป็นระยะทางจาก P จะ ` ขอให้เราแสดงโดย V (S, `) ปริมาณของแข็งที่ได้จากการหมุน S บริเวณรอบ ๆ เส้น`; ดูรูปที่ 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

จอร์จ มาร์ท´ı n-morales ( [e-mail] ) และอันโตนิโอ ม. อัลเลอร์มาร์คใหม่ en ( อัลเลอร์ @ unizar ES ) universitario Centro de la การป้องกัน iuma Zaragoza , สเปน ) ,
การคำนวณปริมาตรของของแข็งของการปฏิวัติในวิชาแคลคูลัสมักจะนำเสนอโดย 2 วิธีคือ 1 . ดิสก์วิธีการซึ่งประกอบด้วยประมาณของของเป็นชิ้นที่เป็นของแข็งตั้งฉากกับแกนของการปฏิวัติ 2 .เปลือกหอยที่ใช้พิจารณาทึบเป็นชุดแบบทรงกระบอกเปลือกตัดแกน จากจุดทางเรขาคณิตในมุมมองของทั้งสองวิธีนี้ดูแตกต่าง และมันเป็นรูปร่างของของแข็งที่ให้เลือกระหว่างหนึ่งหรืออีก อย่างไรก็ตาม จากจุดวิเคราะห์มุมมอง วิธีทั้งสองให้ผลลัพธ์เดียวกัน เป็นการแสดงโดยใช้การผสมผสานด้วยส่วน [ 1 ]ฟังก์ชันผกผัน [ 3 ] และทฤษฎีบทของโรลล์ [ 2 ] เราสงสัยว่ามีแม้ลึกความสัมพันธ์ระหว่างวิธีการข้างต้น เราดูที่การคำนวณปริมาตรของของแข็งของการปฏิวัติเป็นคู่หนึ่งในวิธีที่ง่ายเราแสดงให้เห็นว่าวิธีการคลาสสิก ( ดิสก์และหอย ) จะกู้ถ้าคู่หนึ่งจะคำนวณโดยแต่ละของทั้งสองโปรแกรมที่เป็นไปได้ของทฤษฎีบทฟิวบีนี่ . นอกจากนี้ เรายังสามารถได้รับทฤษฎีบทแพปพัส ' ปริมาณจากสูตร ให้ S เป็นมัดและปิดในภูมิภาค yz เครื่องบินและให้ ` เป็นเส้นตรงในระนาบเดียวกัน เช่น นั่นคือภายนอก s สำหรับทุกจุด P = ( x ,∈ Y ) S ไป D ` ( x , y ) มีระยะห่างจาก P ' ให้เราแสดงโดย V ( S , ` ) ปริมาณของแข็งที่ได้จากการหมุนของภูมิภาครอบบรรทัด ` ;
ดูรูปที่ 1