where the partial quotients a¡ are

where the partial quotients a¡ are integers, positive for / > 0. We write
a = [a0, fli, ... ], and the truncated expression at the ith step is then a
rational number /?//#/ called the /th convergent for a. Although some facts
on such expansions were known to, and used by, the Indian astronomer
Aryabhata (circa 450), Bombelli (1526-1573) and Huygens (1629-1695), it
is clear that Euler was quite unaware of their work. In fact Euler was the
first person to give a general account of the subject, which initially appeared
in his correspondence in connection with Riccati's differential equation. He
soon became interested in them for their own sake, observing that rational
numbers have finite continued fractions obtained by a process identical with
the Euclidean algorithm, that periodic continued fractions represent
quadratic irrationals, and noting also that the expansion of any real number
into a continued fraction supplies the best rational approximations for that
number. Besides deriving the iterative formulae for p¡ and q¿ in terms of the
partial quotients at he also gave 'Euler's rule' for the explicit expressions for
them as sums of certain products formed out of these a¡. It was natural for
him to compare the approximations to ÍÑ from his new-found theory to
those obtained from the solutions to Pell's equation, and he discovered that
the two algorithms are in fact identical. It was inevitable that he also
discovered the 'palindromic' property of the expansion, namely that the
expansion has the form

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

a¡ quotients บางส่วนอยู่เต็ม ค่าบวกสำหรับ / > 0 เราเขียน= [a0, fli,...], และนิพจน์ตัดในระยะขั้นตอนจากนั้นจะเป็นจำนวนตรรกยะ / ? / #/ เรียก /th ใน convergent สำหรับการ แม้ว่าบางข้อเท็จจริงบนเช่นขยายได้รู้จัก และใช้ โดย นักดาราศาสตร์อินเดียAryabhata (เซอร์กา 450), Bombelli (1526-1573) และ Huygens (1629-1695), มันเป็นที่ชัดเจนว่า ออยเลอร์ได้ค่อนข้างต่ำทำงาน ในความเป็นจริงออยเลอร์ได้คนแรกให้บัญชีทั่วไปของเรื่อง ซึ่งเริ่มปรากฏในการติดต่อของเขากับสมการเชิงอนุพันธ์ของ Riccati เขาเร็ว ๆ นี้ กลายเป็นสนใจในสาเกตน สังเกตที่เชือดเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดที่ได้รับจากกระบวนการเหมือนกับมีตัวเลขอัลกอริธึม Euclidean ที่แสดงเศษส่วนต่อเนื่องเป็นระยะ ๆirrationals กำลังสอง และสังเกตยังที่การขยายตัวของจำนวนจริงใด ๆวัสดุเป็นเศษส่วนต่อเนื่องที่สุดเชือดเพียงการประมาณการหมายเลข นอกจากนี้บริษัทฯ สูตรซ้ำสำหรับ p¡ และ q¿ในแง่ของการquotients บางส่วนที่เขายังให้ 'กฎของออยเลอร์' สำหรับนิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับพวกเขาเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์บางอย่างเกิดขึ้นจาก a¡ เหล่านี้ มันเป็นธรรมชาติสำหรับเขาเปรียบเทียบการเพียงการประมาณการÍÑจากทฤษฎีของเขาใหม่พบกับผู้ที่ได้รับจากโซลูชั่นให้สมการของ Pell และเขาค้นพบที่อัลกอริทึมทั้งสองเหมือนกันในความเป็นจริงได้ ก็หลีกเลี่ยงไม่ได้ที่เขายังdiscovered the 'palindromic' property of the expansion, namely that theexpansion has the form

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่ฉลาดมีบางส่วน¡ integers บวก / > 0 เราเขียน : = [ A0 FLI , . . . ] และตัดทอนการแสดงออกที่ ith ก้าวแล้ว
/ หมายเลขที่เป็นเหตุเป็นผล / / # / โทร / th การ . แม้ว่าข้อเท็จจริงบางอย่าง
เช่นขยายเป็นที่รู้จักและใช้โดย , อินเดียนักดาราศาสตร์
คุณความดี ( ประมาณ 450 ) บอมเบลลี่ ( 1526-1573 ) และเกน ( 1629-1695 ) ,
เป็นที่ชัดเจนว่าทั้งค่อนข้างไม่รู้ตัวว่าพวกเขาทำงาน ในความเป็นจริง ออยเลอร์ คือ
คนแรกให้บัญชีทั่วไปของหัวเรื่อง ซึ่งเริ่มปรากฏ
ในจดหมายของเขาในการเชื่อมต่อกับ riccati ของสมการเชิงอนุพันธ์ . เขากลายเป็นที่สนใจในพวกเขา
เร็วๆนี้เพื่อประโยชน์ของพวกเขาเอง สังเกตว่ามีเหตุผล
ตัวเลขจำกัดเศษส่วนต่อเนื่องได้ด้วยกระบวนการเดียวกันกับ
การใช้ขั้นตอนวิธีกำลังสองเศษส่วนต่อเนื่องเป็นระยะที่เป็นตัวแทน
irrationals และสังเกตว่า การขยายตัวของจำนวนจริง
เป็นเศษส่วนต่อเนื่องวัสดุใกล้เคียงที่มีเหตุผลที่ดีที่สุดสำหรับหมายเลขนั้น

นอกจากใช้สูตร¡ตัว P และ Q ¿ในแง่ของ
ฉลาดบางส่วนที่เขายังให้ ' กฎ ' ออยเลอร์สำหรับการแสดงออกที่ชัดเจนสำหรับ
พวกเขาเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์บางอย่างเกิดขึ้นจากเหล่านี้¡ . มันเป็นธรรมชาติ
เขาเปรียบเทียบการ N ÍÑจากทฤษฎีที่พบใหม่

ที่ได้จากโซลูชั่นสมการ เพล และเขาค้นพบว่า
สองขั้นตอนวิธีในความเป็นจริงเหมือนกัน มันหลีกเลี่ยงไม่ได้ที่เขายัง
ค้นพบ ' พาลินโดรมิค ' คุณสมบัติของการขยายตัว ได้แก่ ที่ขยายตัวได้

แบบฟอร์ม